巧構中位線解題

趙軍 鄭麗娜

【摘要】三角形是平面幾何的基本圖形，也是日常生活中的常見圖形，三角形中位線定理在平面幾何中有著舉足輕重的地位，是中考試題的“嘉賓”，中位線定理及其應用值得同學們學習和研究.

【關鍵詞】平面幾何;三角形中位線;構造中位線

三角形中位線定理是平面幾何的一個重要結論，它在解題中應用廣泛，當題目的條件中有中點或能產生中點時，可考慮構造三角形的中位線，進而運用三角形的中位線定理解題，下面介紹五種常見的構造中位線的方法，供大家參考.

1直接連兩邊中點

例1如圖1所示，△ABC中，點D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，求證：AF與DE互相平分.

分析圖中共有三個中點，因此可連接DF，EF，則DF，EF都是△ABC的中位線.

證明連接DF，EF，則DF∥AC，EF∥AB，所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以AF與DE互相平分.

2構造三角形中線

分析條件中雖然給出了兩個中點E、B，但它們不在同一個三角形中，因而不能發揮中位線的作用，故可取AC的中點F，連接BF，則BF是△ADC的中位線.

由題意可知AF=AE，∠A=∠A，AB=AC，

所以△AFB≌△AEC，

所以BF=CE，

所以CE=CD.

3利用中位線作底邊

例3如圖3是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直，設B點的最大高度為h₁.若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設B′點的最大高度為h₂，則下列結論正確的是（）

（A）h₂=2h₁.（B）h₂=1.5h₁.

（C）h₂=h₁.（D）h₂=h₁.

分析首先根據題意畫出示意圖，抓住OC是△ABD，△A′B′D′的中位線，利用中位線定理可得出結論.

解因為OC∥BD∥B′D′，且O為中點，

所以C是AD，A′D′的中點，

所以OC是△ABD，△A′B′D′的中位線，

所以h₁=h₂=2OC，

故選（C）.

4條件中無中點時，完善圖形找中位線

例4如圖4所示，在△ABC中，BE，CF都是角平分線，AG⊥FC，AH⊥BE，G，H為垂足，求證GH∥BC.

分析條件中沒有中點，延長AG，AH分別交BC于點M，N，易得G，H分別是AM，AN的中點，則GH是△AMN的中位線.

證明延長AG，AH分別交BC于點M，N，

因為∠ACG=∠MCG，

CG=CG，

∠AGC=∠MGC=90，

所以△AGC≌△MGC，

所以AG=GM.

同理AH=MN.

所以GH是△AMN的中位線，

所以GH∥BC.

5作四邊形對角線

例5如圖5所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AF交BD的延長線于點E，且AE=EF，連接CF，求證BE∥CF.

分析連接平行四邊形的對角線AC，交BD于點H，則H為AC的中點，由此得HE是△ACF 的中位線.

證明連接AC，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以對角線AC與BD互相平分，

所以AH=HC，

因為AE=EF，

所以HE是△ACF的中位線，

所以BE∥EF.