如何由圖象確定字母或代數式的符號

孫曉莉

【摘要】二次函數是初中數學的重點內容之一，其圖象是一種直觀形象的交流語言，含有大量有價值的信息，用好這些信息有助于培養和提高同學們分析問題，解決問題的能力.

【關鍵詞】圖象;系數;字母;代數式;符號

二次函數圖象與系數關系的相關考題是歷年各地中考的熱點，這是一類比較難的題型.特別是根據圖象來判斷字母或代數式的符號問題，不少同學感到困難，而此類問題是近年來中考中出現比較頻繁的一類題型，應該說它的再生力和潛在力比較強，應值得大家注意.這里對其常見考題進行解析，以便同學們在學習中能更好地去把握它.

1系數a，b，c符號的確定

1.1a的確定

二次函數y=ax²+bx+c中，a作為二次項系數，顯然a≠0.

①當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大;

②當a<0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大.

1.2b的確定

在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.

①在a>0的前提下，

②在a<0的前提下，結論剛好與上述相反，即

1.3c的確定

①當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正;

②當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0;

③當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負.

總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.

2判斷a與c，b與c的關系

解答策略：先根據對稱軸判斷a與b之間的關系.再結合①x=±1時，出現a±b+c;②x=±2時，出現4a±2b+c;③x=±3時，出現9a±3b+c;消元即可推出a與c，b與c的關系.

3出現2c時

解答策略：通常代入x=1或x=-1，然后將得到的式子乘2，出現2c后，再根據對稱軸找到a和b之間的關系，進行等量代換.

4含4cb，b²，8a等式子時與函數最值之間的關系

5判斷系數的取值范圍

解答策略：通常把要判斷的字母轉化成c，根據與y軸交點的范圍，判斷原系數的取值范圍.

6與不等式ax²+bx+c>n結合，求x的取值范圍

解答策略：結合圖象判斷而不是去解不等式.

7一元二次方程當y=n時根的情況或者求根與系數的關系

解答策略：令y=n，現察圖象對應x的情況.根據二次方程根與系數的關系

8判斷a+b≥m（am+b）時

解答策略：不等式左右兩邊分別加上c，不等式的左邊為函數的最值，右邊為x=m時對應y的值.

例1已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個結論：

①abc>0;

②b²<4ac;

③2c<3b;

④a+2b>m（am+b）（m≠1）;

（A）2個.（B）3個.（C）4個.（D）5個.

=m（m≠1）時，即a+b+c>am²+bm+c，則可對④進行判斷;由于方程ax²+bx+c=1有2個根，方程ax²+bx+c=-1有2個根，則利用根與系數的關系可對⑤進行判斷.

解①因為拋物線開口方向向下，所以a<0，因為拋物線與y軸交于正半軸，所以c>0，因為對稱軸在y軸右側，所以b>0，

所以abc<0，①錯誤;

②因為拋物線與x軸有兩個交點，

所以b²-4ac>0，

所以b²>4ac

故②錯誤;

③因為拋物線的對稱軸為直線x=1，

由圖象得，當x=-1時，y=a-b+c<0，

所以2c<3b，

故③正確;

④當x=1時，y=a+b+c的值最大，

所以當x=m（m≠0）時，a+b+c>am²+bm+c，

所以a+b>m（am+b）（m≠1），

因為b>0，

所以a+2b>m（am+b）（m≠1），

故④正確;

所以正確的結論是③④，故選（A）.

注本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側;當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側.常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）.拋物線與x軸交點個數由Δ決定：

Δ=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;

Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;

Δ=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

例2如圖2，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為x=-1，結合圖象給出下列結論：

①a+b+c=0;

②a-2b+c<0;

③關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為-3和1;

④若點（-4，y₁），（-2，y₂），（3，y₃）均在二次函數圖象上，則y₁23;

⑤a-b

（A）1個.（B）2個.（C）3個.（D）4個.

分析根據二次函數的圖象及性質逐項分析即可判斷.

解因為二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），所以當x=1時，a+b+c=0，故結論①正確;根據函數圖象可知，當x=-1，y<0，

即a-b+c<0，

根據拋物線開口向上，得a>0，

所以b=2a>0，

所以a-b+c-b<0，

即a-2b+c<0，

故結論②正確;

根據拋物線與x軸的一個交點為（1，0），

對稱軸為x=-1可知：拋物線與x軸的另一個交點為（-3，0），

所以關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為-3和1，故結論③正確;

根據函數圖象可知：y₂13，故結論④錯誤;當x=m時，y=am²+bm+c=m（am+b）+c，所以當m=-1時，a-b+c=m（am+b）+c，即a-b=m（am+b），故結論⑤錯誤.

綜上：①②③正確，故選（C）.

注本題主要考查二次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，正確理解二次函數與方程的關系.