共線同高三角形的性質及推廣

牟娜

【摘要】共線同高的三角形是指兩個三角形的兩條邊在同一條直線，且這兩條邊的高為同一條線段.根據三角形的面積公式，得共線同高的三角形的面積比等于底的比，反過來，共線同高的三角形底的比等于三角形的面積比，這一性質是解答共線同高三角形面積問題的重要依據.

【關鍵詞】共線同高;面積比

例如圖1，延長△ABC的三邊分別至D，E，F，使AB=2BD，BC=2CE，CA=2AF，則△DEF與△ABC的面積比為________.

解因為S_△BDF：S_△ABF：S_△ABC=1：2：4，設S_△ABC=4，則

S_△ADF=S_△BED=S_△CEF=3，

于是S_△DEF=13，

故S_△DEF：S_△ABC=13：4.

變式1如圖1，延長△ABC的三邊分別至D，E，F，使，AB=nBD，BC=nCE，CA=nAF（n>0），則△DEF與△ABC的面積比為________.

解因為S_△BDF：S_△ABF：S_△ABC=1：n：n²，設S_△ABC=n²，則

S_△ADF=S_△BED=S_△CEF=n+1，

于是S_△D_EF=n²+3n+3，

所以△DEF與△ABC的面積之比為

（n²+3n+3）：n².

變式3如圖1，延長△ABC的三邊分別至D，E，F，使AB=mBD，BC=nCE，CA=tAF（m，n，t>0），則△DEF與△ABC的面積比為（mnt+mn+mt+nt+m+n+t）：mnt.

推廣如圖2，延長凸四邊形ABCD的四邊分別至E，F，G，H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n>0），求四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比.

解由變式1，得

S_△AEH：S_△ABD=S_△CFG：S_△BCD=（n+1）：n².

由等比定理，得

（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，

同理可得（S_△BEF+S_△DGH）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，

所以四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為（n²+2n+2）：n².

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