圓的特殊弦——切線

趙平

【摘要】切線可以看作是圓的特殊弦，這樣我們研究一些定理、解決一些問題便會輕松簡潔起來.

【關鍵詞】圓的特殊弦;圓的切線;兩個定理達成一致

我們熟知圓的特殊弦是直徑，筆者研究發現，事實上切線也可以看成是圓的一條特殊弦，有了這條特殊弦之后，可以使不同的定理達成一致.

1認識特殊弦

如圖1，AB是⊙O的弦，我們把AB向下方平移，隨著平移則點A，B之間的距離逐漸縮小，當A，B之間的距離縮小到0時，AB變成了⊙O的切線，如圖2，此時切點事實上是弦的兩個端點重合了，即圖2中的切點不但是點A同時也是點B.

2運用特殊弦使垂徑定理的推論與切線的性質定理得到統一

垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，如圖3，D是弦AB的中點，則OD⊥AB，當弦AB向下平移成為圓的切線時如圖4，顯然點A，D，B均重合于。點，所以連接OD，即為OA，如圖4，則OA⊥AM，這即為切線的性質定理，圓的切線垂直于過切點的半徑.

3運用特殊弦使圓內接四邊形的性質和弦切角定理得到統一

圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角，如圖5，有∠MCD=∠A，我們把圖5中的弦BC向下平移，使其成為圓的切線，如圖6，此時點B，C重合，仍然有∠MCD=∠A，即弦切角定理，弦切角等于所夾弧所對的圓周角.事實上在圖5中，∠A為弧BCD所對的圓周角，而在圖6中仍然為弧BCD所對的圓周角，雖然角的大小發生了改變，但是∠MCD=∠A這一關系沒有改變，即圓內接四邊形的性質和弦切角定理達到了高度統一.

4運用特殊弦使垂徑定理的推論得到推廣

5使一類問題得到統一

例1如圖9，⊙O₁與⊙O₂相交于點A，B，過點A，B的兩直線分別與⊙O₁，⊙O₂相交點C，E，D，F，則CE∥DF.

方法1由圓內接四邊形的性質得

∠DAB=∠E，∠DAB+∠F=180°，

即∠E+∠F=180°

所以CE∥DF.

我們把直線CD，EF繞點A，B旋轉，使得弦DF逐漸縮短為一點D（F），如圖10，此時我們過點D作⊙O₂的切線DM，如圖10，仍然有CE∥DM.

方法2根據弦切角定理有∠MDA=∠ABD，根據圓內接四邊形的性質有∠ABD=∠C，

所以∠MDA=∠C，

所以CE∥DM.

例2（1）如圖11，⊙O₁與⊙O₂相內切于點A，大圓的弦BC與小圓相切于點D，連接AB，AD，AC分別交小圓于點E，F.求證：∠BAD=∠CAD.

解如圖11，作兩圓的公切線AM，連接DE，則∠MAE=∠ADE=∠C，由BC與小圓相切于點D得∠ADC=∠AED，

所以△AED∽△ADC，

所以∠BAD=∠CAD.

（2）當BC向小圓的方向移動，由相切變為相交時，如圖12，交點分別為D₁，D₂，則此時仍然有∠BAD₁=∠CAD₂.

解作兩圓的公切線AM，連接D，E，則∠MAE=∠AD₁E=∠C，由四邊形AED₁D₂是小圓的內接四邊形得∠AD₂C=∠AED₁，

所以△AED₁∽△AD₂C，

所以∠BAD₁=∠CAD₂.