巧用中線解周長與面積

王炳力

【摘要】三角形的中線把三角形某個頂點的對邊平均分成了兩份.這一幾何特征，在解答有關三角的面積與周長的問題有著不可替代的作用.

【關鍵詞】中線;平分;面積與周長

三角形的中線就是連接三角形的頂點與對邊中點的線段，是三角形中的主要線段之一，它的特征就是把三角形某個頂點的對邊平均分成了兩份.利用這一特征，我們可以解決某些有關三角的面積與周長的問題，下面舉例說明.

1利用三角形的中線解決周長問題

例1如圖1，AD為△ABC的中線，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為________.

分析根據三角形的中線的概念得到BD=DC，根據三角形的周長公式計算，得到答案.

解因為AD為△ABC的中線，

所以BD=DC，

因為△ACD的周長28cm，

所以AC+AD+CD=28（cm），

因為AC=10cm，

所以AD+CD=18（cm），

即AD+BD=18（cm），

因為AB=13cm，

所以△ABD的周長=AB+AD+BD=31（cm）.

注本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

例2如圖2，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上.

（1）若△BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長.

（2）若△ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，求線段AE的長.

分析（1）根據三角形和四邊形的周長相等列出等式，代入已知量即可得AE的長.

（2）需分兩種情況討論求解.

解（1）由圖可知△BDE的周長=BE+BD+DE，

四邊形ACDE的周長=AE+AC+DC+DE，又△BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，D為BC中點，

所以BD=DC，

BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，

即BE=AE+AC，

因為AB=10cm，AC=6cm，

所以10-AE=AE+6，

所以AE=2cm.

（2）由△ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，可得方程

BE=AE+AC+2，①

或BE=AE+AC-2.②

解①得AE=1cm，

解②得AE=3cm.

故AE長為1cm或3cm.

注本題考查了三角形中線性質，三角形周長的計算，關鍵是要學會分類討論的思想思考問題.

2利用三角形的中線解決面積問題

例3如圖3，BD是△ABC的中線，點E，F分別為BD，CE的中點，若△AEF的面積為3，則△ABC的面積是（）

（A）9.（B）10.

（C）11.（D）12.

分析根據三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可.

解因為F是CE的中點，△AEF的面積為3，

所以S_△ACE=2S_△AEF=6cm²，

因為E是BD的中點，

所以S_△ADE=S_△ABE，

S_△CDE=S△_BCE，

所以S_△ACE=S_△ADE+S_△CDE

=S_△ABE+S_△BCE

所以△ABC的面積=12.

故選（D）.

注本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等.

例4如圖4，點D，E分別是△ABC邊BC，AC上的點，BD=2CD，AE=CE，連接AD，BE交于點F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S_△BDF-S_△AEF等于（）

分析由△ABC的面積為18，根據三角形的面積公式和等積代換即可求得.

=18，

=18，

同理：因為BD=2CD，

BD+CD=BC，

即S_△BDF+S_△ABF=12，②

①-②得S_△BDF-S_△AEF

=（S_△BDF+S_△ABF）-（S_△AEF+S_△ABF）

=12-9=3，

故選（A）.

注本題主要考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關鍵是等積代換.