計及氣泡誘導與剪切湍流的氣泡破碎、湍流相間擴散及傳質模型

施煒斌，龍姍姍，楊曉鋼，蔡心悅

（1 華僑大學機電及自動化學院，福建 廈門 361021； 2 寧波諾丁漢大學機械、材料與制造工程系，浙江 寧波 315100）

引 言

對于氣液鼓泡流而言，包括相間作用力、相間傳熱、傳質在內的相間相互作用過程一方面受到氣泡動力學行為的影響，另一方面又受到液相湍流渦旋的作用。這兩個方面的影響和作用是相輔相成的，不應割裂開來看待。

在數值模擬研究工作中，已有大量工作聚焦于氣泡動力學行為對相間相互作用的重要影響，并有部分數學模型能夠用于描述渦旋-氣泡碰撞導致的聚并破碎過程[1-8]。但是，這些數學模型大多基于柯爾莫哥洛夫-5/3 定律來近似獲得存在于慣性子區的湍流脈動和耗散。該近似方法對剪切湍流占主導的流動較為有效，但對由氣泡誘導湍流（BIT）占據大量湍流結構的氣液兩相流動而言，該近似或存在不甚完善之處。雖然也有部分模型如Sato 模型、Rzehak and Krepper 模型等試圖從湍流模型的角度描述氣泡對液相湍流的整體作用從而影響聚并破碎過程，但問題的根本還是在于缺乏準確的數學模型對BIT 的能譜函數進行構建。因此，也難以精確刻畫BIT作用下的湍流渦旋與氣泡的碰撞過程。

上升氣泡誘導形成的尾渦湍流對氣液兩相流的數值模擬工作也具有極為重要的作用。特別是如鼓泡塔這類主要由氣泡上升引起的湍流流動，氣泡的尾渦從產生、脫落、傳遞、耗散均會對氣液相間相互作用產生重大影響。Risso等[9]用空間中隨機分布的小球陣列誘導形成的湍流渦旋尾跡衰減類比氣泡在均勻湍流中形成的尾渦，并發現即便小球體積分數上升到13%，在同樣能量輸入和積分尺度的情況下，這種尾跡的衰減比標準湍流流動中的湍流渦旋衰減更快。Mercado 等[10]使用自主研發的相敏恒溫熱線（CTA）探針，并輔以激光多普勒測速儀（LDA）同步校準，在氣泡群尾渦中測得了以湍流渦旋波數-3 次冪斜率為特性的湍流動能能譜。Riboux 等[11]使用粒子成像測速儀（PIV）測量氣泡群尾渦中的湍流能譜，并肯定其波數的指數冪非常接近-3。Mendez-Diaz 等[12]同時使用熱膜探針和光纖探針對氣泡尾跡的湍流特性進行測量，發現氣含率從0.5%逐漸上升到6%的實驗條件下，在脈動頻率高達3000 Hz 范圍內湍流能譜函數的斜率始終保持在波數的-3 次冪。Prakash 等[13]同樣使用CTA 探針測量了液相的速度脈動并再次確認κ-3的特性不只適用于氣泡誘導湍流而且能夠普適性地描述湍動鼓泡流動。在這些實驗證據的基礎上，他們提出了由于氣泡存在導致的能量生成和黏性耗散的能量平衡關系，與Lance等[14]在早期工作中基于熱線風速儀和LDA 實驗得到指數冪為-8/3 的結果并由此推斷指數冪為-3 的結論相符。還有，Roghair 等[15]和Riboux 等[16]使用完整解析自由上升變形氣泡的直接數值模擬方法，同樣清晰地指出氣泡誘導湍流的湍流動能能譜具有波數的-3 次指數冪的特性。基于上述研究可以認為：①氣泡誘導湍流和剪切湍流在湍流動能能譜慣性子區的范圍內基本處于長期并存的狀態，二者共同影響氣液相間相互作用過程；②盡管氣泡誘導尾渦湍流能量級串過程尚未被完全理解和驗證，其與單相均勻湍流二者在行為特征上的區別已經能夠在湍流能譜圖像上清晰識別。因此，如果能對上述實驗現象加以總結歸納，并建立物理意義明確清晰的理論模型，能夠為深入認識BIT作用下聚并破碎過程提供良好基礎。

對于氣泡聚并破碎行為發生的頻率和概率都較低的緩慢流動，除了主要流動方向上的曳力作用，氣泡誘導湍流引起的湍流擴散作用也不容忽視。Sommerfeld 等[17]在歐拉-拉格朗日模擬中全面考察了各種相間作用力對相間作用過程的影響程度，并明確指出在數值模擬中準確描述氣泡搖擺上升的行為特點也非常關鍵。在歐拉-拉格朗日框架下，Basset 力對氣泡搖擺行為的影響相對明確，但Basset 力是一個瞬時的力，其作用效果會因為歐拉-歐拉模擬中的短時平均而嚴重弱化。在歐拉-歐拉模擬中，湍流渦旋作用在氣泡上并使其左右搖擺通常可以通過湍流擴散力模型進行描述。Laviéville等[18]指出湍流擴散會導致氣泡在徑向上從較高相含率的區域向較低相含率的區域遷移。 de Bertodano[19]提出了早期的湍流擴散力模型，模型參數取決于比例系數與氣含率梯度的乘積，但是該比例系數對1～ 5 mm 的氣泡的取值由0.1～ 0.5 變化。Drew[20]通過考慮湍流渦時間尺度和氣泡弛豫時間的比率，提出了較為適用于鼓泡流動的湍流擴散力模型。Lucas 等[21]指出對于在管道中的鼓泡流動，其氣泡相含率徑向分布的預測有必要額外考慮氣泡變形誘導的湍流導致的擴散作用。但是，這些通過系綜平均獲得的湍流擴散力模型只是部分地反映了BIT 在徑向上的作用效果，還有相當一部分的作用在平均化的過程中被平滑而消失。由此可見，氣泡誘導的湍流渦旋的湍流擴散作用確實是準確描述氣泡在徑向上的搖擺行為的關鍵，但如何充分反映其作用機制需要進一步的深入研究。

氣液相間傳質同樣是氣泡-渦旋相互作用的過程。研究人員對氣泡尺寸、氣液滑移速度、湍流耗散率、擴散速率等影響氣液相間傳質因素的作用進行了大量的研究，并分別發展了對流傳質模型、停滯膜模型、雙膜理論模型、溶質滲透模型、表面更新模型等理論模型[22-23]。隨著研究的逐步深入，部分研究工作中逐漸反映出了湍流渦旋對氣液相間傳質過程的重要影響，并建立了Eddy Cell 模型[24]、Eddy Contact 模型[5,25]等能夠直接反映湍流渦旋對相間傳質作用的數學模型。尤其是Eddy Contact模型通過考慮湍流能譜含能區、慣性子區、耗散區的全能譜函數，從理論上解釋了從大到小的所有湍流渦旋對氣液相間傳質的貢獻。與聚并破碎模型的問題相似，上述相間傳質模型也僅考慮了剪切湍流的渦旋。但是氣泡誘導湍流的湍流渦旋同樣會參與相間傳質，用于描述氣液相間傳質的模型也需要對氣泡誘導湍流和剪切湍流的共同作用加以考慮。

因此，為深入認識氣泡誘導湍流與剪切湍流的共同作用機理及其對相間傳質過程的影響，本研究采用理論建模、大渦模擬（LES）、雷諾平均模擬、群平衡模型（PBM）等研究方法，揭示BIT 在鼓泡塔氣液兩相流數值模擬研究工作中的重要作用。

1 數學模型

1.1 雙流體模型

本研究中氣液兩相流采用歐拉-歐拉雙流體模型，對連續相和離散相都有一組質量和動量守恒方程。LES 模型可通過對動量方程的空間濾波獲得。控制方程如下：

式中，ρ、α、u、τ、MF分別代表密度、相含率、速度矢量、黏性剪應力張量、相間動量交換項；k為氣相g或液相l，二者相含率之和為1。

1.2 湍流模型

本研究采用Reynolds 應力方程(RSM)和LES 兩種湍流模型對氣液鼓泡流動展開研究。當采用RSM 湍流模型時，BIT 的各向異性特點能夠通過不同方向上的源項有所反映[26-29]。本研究采用的RSM湍流模型見表1。

表1 RSM湍流模型方程Table 1 Reynolds stress equation model

在RSM 模型中，湍流耗散率是一維標量，其源項表達式見下[30]：

此處的湍動能源項相應的也為標量，其表達式如下[31]：

Reynolds 應力輸運方程中，由于BIT 的作用導致的源項SBITij在主方向和其他方向上有所不同，其表達式為[26]：

對于LES湍流模型，應力項可寫為：

式中，μeff代表連續相的有效黏度，由分子動力黏度μl、湍流黏度μt和描述BIT貢獻項μBIT共同構成。

其中，BIT 的影響其中一部分可以通過Sato 模型有所反映。

更為重要的是，考慮到氣泡由周圍湍流渦旋的剪切作用導致其動態響應，Long 等[32]詳細考察了LES 模擬中氣泡對液相湍流渦黏度的貢獻，其修正的液相亞格子尺度湍流渦黏度模型如下：

1.3 相間作用力模型

本研究中選擇曳力、升力、虛擬質量力為基本的相間作用力，表達式見表2。其中，曳力系數為Grace 模型[33]、升力系數為Tomiyama 模型[34]，虛擬質量力系數為0.5。

表2 相間作用力模型方程Table 2 Interphase momentum exchange models

1.4 群平衡模型

群平衡模型是描述氣泡尺寸分布的方法之一。氣泡尺寸分布決定了氣液相間接觸面積，對相間傳熱、傳質、化學反應等過程有重要影響。氣液鼓泡流動的群平衡方程主要考慮氣泡的聚并、破碎。氣泡根據直徑被分成不同組，di為第i組氣泡直徑。因此，可將群平衡方程寫為：

式中，ni為第i組氣泡數密度;ui為速度矢量;Si為代表因氣泡破碎聚并導致氣泡生成和消亡的源項。Si的表達式可寫為：

因此，局部氣含率可通過以下表達式計算：

式中，fi是第i組氣泡占總氣含率的分數；Vi為第i組氣泡的體積。Sauter 平均直徑d32的表達式可寫為：

本文采用Luo 聚并模型[35]，氣泡聚并速率可表示為：

氣泡間碰撞頻率的表達式為：

聚并概率的表達式為：

其中

氣泡誘導湍流對氣泡聚并過程有部分影響，具體表現主要有：(1)對于湍流碰撞形式的氣泡聚并，其氣泡-氣泡碰撞筒中兩氣泡所攜帶的湍動能都會受到周圍湍流渦旋的控制，不同湍流機制作用下的湍流渦旋的平均脈動速度和耗散率很不相同，即氣泡誘導湍流作用下的氣泡可能具有更大的碰撞速度和更短的作用時間；(2)對于大氣泡尾渦卷吸夾帶形式的氣泡聚并，其尾渦作用時空范圍內的小氣泡在氣泡誘導湍流的作用下發生聚并，但不同尺寸的氣泡對氣泡誘導湍流渦旋的響應又有所不同。由此可見，與氣泡破碎的渦旋-氣泡直接碰撞相比，雖然氣泡誘導對氣泡聚并過程的影響較為間接，但是同樣十分復雜，也無法通過簡單地調節模型參數實現。因此，為了更加深入揭示氣泡誘導對破碎過程的作用機制，本研究中將問題進行了一定的簡化，暫時忽略了氣泡誘導對聚并過程的影響。希望在后續的研究中再建立考慮氣泡誘導對氣泡聚并過程復雜作用機制的理論模型。

2 BIT模型

2.1 考慮BIT渦旋的氣泡破碎模型

氣液鼓泡流動中氣泡破碎主要是由湍流渦旋與氣泡碰撞引起。因此，來流渦旋的特性尤為重要。氣泡聚并破碎模型中對于來流渦旋的描述，大多基于柯爾莫哥洛夫的湍流-5/3 次方律推導獲得湍流平均脈動速度和耗散率等重要參數。但是，-5/3次方律的適用范圍是各向同性均勻湍流，對于BIT這種在主流方向上有著更強脈動和更快耗散的湍流流動而言，其適用性值得商榷。

Shi 等[28]在目前應用最為廣泛的Luo and Svendsen 破碎模型基礎上，從BIT 湍流能譜的波數κ-3特性和BIT湍動能產生和消亡的等效平衡關系出發，詳細推導了BIT 湍流動能能譜函數的基本形式，并建立了考慮氣泡誘導湍流和剪切湍流共同作用的氣泡破碎模型。關于該模型的理論求解等詳細討論，可以參考文獻[29]。該模型與Luo and Svendsen模型表達式的對比見表3。

表3 氣泡破碎模型方程的比較Table 3 Comparison of bubble breakage models

2.2 考慮氣泡渦旋響應的湍流相間擴散模型

為在LES中充分反映氣泡上升過程中的搖擺行為特征[17]，并研究其作用和影響，對于亞格子尺度的湍流耗散作用模型應通過對曳力的空間濾波進行修正。

如圖1所示，在亞格子尺度下，液相脈動可以形象地認為是小尺度湍流渦持續擊打氣泡表面，遠小于氣泡尺寸的湍流渦引起氣泡表面變形從而引起質心振蕩，同時氣泡會因氣泡尺寸相近的湍流渦產生動態形變從而引起質心位置移動。質心改變會在一定程度上導致氣泡在非主流方向上的搖擺運動，從而影響液相的湍流運動，這種小范圍的振蕩行為可以在大渦模擬中有所反映。

圖1 亞格子尺度液相湍流脈動引起的氣泡質心改變示意圖Fig.1 Schematic diagram of bubble mass centre movement caused by sub-grid scale liquid fluctuations

曳力的表達式可簡化并分解寫為如下形式：

其中

經過空間濾波后：

對后一項使用渦流擴散假定：

Favre平均后的速度可寫為：

值得注意的是，與RANS 模擬中湍流擴散力的系綜平均不同，此處的湍流耗散力相當于空間平均和相平均后的量，其擾動信息在每個單位時間內都需要實時計算。因此，再經過一定的數學變換后，式(41)可寫為：

再考慮式(14)氣泡對渦旋相應的液相亞格子尺度湍流渦黏度模型，可將亞格子尺度湍流相間擴散模型寫為：

3 模型求解方法

本研究采用三維非穩態壓力求解器求解模型方程。入口邊界條件為速度入口，出口邊界條件為壓力出口，壁面條件為無滑移。模擬的時間步長根據模擬的體系和采用的模型在0.001～0.005 s范圍內動態取值，并認為在100～120 s后達到了準穩態。當鼓泡塔內的模擬達到穩定后，獲取了充分發展段處截面的時均氣含率徑向分布和氣泡直徑分布等數據。PBM 模型采用離散方法將氣泡大小按照等體積比方法離散求解。其中，BIT 氣泡破碎模型通過用戶自定義函數(UDF)植入時，涉及破碎速率表達式的一重積分和子氣泡尺寸分布概率密度函數表達式的二重積分。本研究中采用的重積分數值積分算法經過嚴格的檢驗，與計算平臺內置的通過Gamma 函數對Luo and Svendsen 破碎模型求解所得的氣泡尺寸分布結果非常相近。

3.1 模擬的氣液體系

表4為模擬的氣液體系的各項參數。實驗選取的氣相為空氣，液相為水，環境溫度為室溫。為了能夠清晰地比較模擬參數的改變，表4 中還簡要列出了各模擬中主要模型的選擇。

表4 模擬的氣液體系實驗參數及主要模型選擇Table 4 Experimental details of gas-liquid systems and model selections

3.2 網格合理性驗證

圖2(a)為CFD-PBM 模擬采用的網格，該網格在半徑、圓周、高度方向上分別采用28(r)×64(θ)×100(z)個均勻分布節點。圖2(b)為LES 所采用的網格，與RANS模擬采用的劃分方式整體相似，但考慮到LES對于網格密度的要求，該鼓泡塔網格劃分在高度方向上保持均勻的Δz+= 100，在橫截面中心處網格大小采用dmean/Δ= 0.6375，在徑向上由Δr+= 5 開始以1.2 的增長率逐漸變大。該網格的分辨率合理地接近Milleli 限制標準，并被認為足夠精細到可以解析湍流的大尺度結構。采用該網格設置，該鼓泡塔的總網格數量約為95400個。

圖2 網格設置示意圖Fig.2 Schematic diagram of mesh set-up

如圖3 所示，分別增加了兩種不同的網格密度對如圖2(a)中所示的Grid 2 網格進行網格合理性驗證：即Grid 1 采用了20(r)×40(θ)×80(z)個節點，總網格數量減半；Grid 3 采用了36(r)×72(θ)×126(z)個節點，總網格數量加倍。基于同樣范圍的時間平均和同樣徑向位置的空間平均，三組網格的敏感性基本相似。圖3(b)中的縱坐標為歸一化后的軸向液速，此處用的歸一化方法為“線性函數歸一化(Min-Max scaling)”，即Ynorm=(Y-Ymin)/(Ymax-Ymin)。其中，Grid 2 和Grid 3 無論在氣含率還是液相軸向速度的徑向分布結果從趨勢上看都較為接近實驗值，僅有Grid 1 的結果與實驗值呈現略大一些的偏離。可以認為，在后續模擬中采用的網格設置不僅有更高的計算效率，還能夠有效捕捉較為可靠的模擬結果。

圖3 網格合理性驗證結果Fig.3 Grid sensitivity test results

4 結果與討論

4.1 BIT氣泡破碎模型的影響

氣泡破碎速率對于氣泡尺寸分布的準確預測具有十分重要的意義。對于氣液鼓泡流動，采用Luo and Svendsen 破碎模型往往低估了破碎速率[40]，其原因很可能是該模型低估了與氣泡碰撞的湍流渦旋所攜帶的湍動能。這也導致了Case 1該模型模擬的氣含率和液相軸向速度遠低于實驗值，如圖4所示。為此，在數值計算中采用了Chen 等[41]提出的將Luo and Svendsen 模型的破碎速率人為提高10 倍的辦法之后，Case 2的模擬結果與實驗值非常接近。這說明在某些特定工況下，Luo and Svendsen 原模型確實無法準確地描述破碎速率，需要進行一定的參數調節。

圖4 不同破碎模型模擬結果與實驗結果對比Fig.4 Comparison of experimental results with simulation results by different breakage models

在鼓泡反應器的氣液流動中，氣體鼓入塔內前，體系處于沒有任何流動的靜止狀態。當氣泡通過氣體分布器鼓入塔內，液相湍流由氣泡或氣泡群誘導而成。尤其是當表觀氣速較大，塔內氣泡十分密集時，這種氣泡誘導形成的液相湍流會占據大量的湍流結構。因此，如果根據該情況修正原模型，將單相湍流能譜函數以具有波數κ-3特性的BIT 能譜函數式(29)進行替代，并且同時修正湍流脈動速度、渦旋數密度等相關參數，就能夠得到充分考慮BIT 的氣泡破碎模型。該模型無須人為調整破碎速率參數，但Case 3 中其模擬結果卻與Chen 等[40]的模擬結果非常相近。尤其在鼓泡塔中心區域，BIT 氣泡破碎模型的結果更為準確。這說明了在這種氣泡誘導湍流占據主導的工況下，在模擬中采用BIT湍流能譜，更能準確描述湍流渦旋的動態行為特征。

圖5比較了不同破碎模型獲得的氣泡尺寸分布模擬結果。原模型的模擬結果中，大氣泡組占據了大量的體積分率。采用BIT 氣泡破碎模型后，氣泡尺寸分布預測結果與人為將破碎速率提高10 倍的氣泡尺寸分布結果較為相似。但是，不能簡單認為二者起作用的機制相似。從子氣泡尺寸分布概率密度函數可以看出，人為提高破碎速率并不改變子氣泡尺寸分布概率密度；而采用BIT 湍流能譜對相關參數進行修正，子氣泡尺寸分布概率密度會隨誘導氣泡的特征長度尺度在每個計算網格中動態改變，從而改變整體的計算結果。該BIT 氣泡破碎模型的子氣泡尺寸分布概率密度特性的詳細論述可參見文獻[28-29]。

圖5 不同破碎模型模擬的氣泡尺寸分布對比Fig.5 Comparison of bubble size distributions by different breakage models

當鼓泡反應器的塔徑和表觀氣速都減小時，如Case 4和Case 5的工況下，該BIT氣泡破碎模型的準確性也同樣得到驗證。與Ug=0.16 m/s 的工況下鼓泡塔幾乎處于完全湍動狀態不同，在Ug= 0.08 m/s的工況下，鼓泡塔處于由均勻鼓泡向完全湍動轉化的中間狀態，湍流強度低于完全湍動狀態。此時，BIT 并不完全占據主導，剪切湍流在氣泡較為稀疏的局部時空中也有部分貢獻。但總體而言，氣泡誘導湍流的作用依然不容忽視。圖6比較了該工況下原模型和BIT氣泡破碎模型對氣含率、Sauter平均氣泡尺寸的模擬結果。從模擬結果來看，氣泡尺寸分布對于氣含率預測結果的準確性有著較強的相關性。由于原模型估算的剪切湍流渦旋與該工況下湍流渦旋的湍動能差距較大，導致聚并速率遠大于破碎速率，并因此大大高估了平均氣泡尺寸。其氣含率預測結果在鼓泡塔中心區域與實驗值的偏差極為突出，暗示中心區存在大量大于20 mm 的大氣泡，但事實上這一預測結果并不準確。而BIT 氣泡破碎模型在氣含率和平均氣泡尺寸兩個參數的模擬結果都較好地與實驗結果吻合。從表面上看，這是因為BIT 破碎模型預測的破碎速率和聚并速率較為匹配而取得的結果。但是，從更深的層次講，BIT破碎模型的準確性得益于其所采用的能譜函數既考慮了剪切湍流又考慮了氣泡誘導湍流在慣性子區的發展規律，較好地捕捉了該工況下參與氣泡碰撞和破碎過程的湍流渦旋的脈動與耗散的特性。在BIT 破碎模型中，分為剪切湍流和氣泡誘導湍流兩部分計算破碎速率，湍流耗散率ε僅影響剪切湍流渦旋導致的破碎，對氣泡誘導湍流造成的破碎并不直接以湍流耗散率計算湍流渦旋的湍動能，不受湍流模型計算所得的湍流耗散率的影響。因此，模擬結果中氣泡尺寸分布的改進基本上得益于BIT 氣泡破碎模型對湍流渦旋特性的準確描述。其影響機制可簡要概括為：（1）BIT 改變了與氣泡碰撞的湍流渦旋的平均脈動速度uλ的大小和數密度fλ的分布情況，從而動態地修正了氣泡破碎速率（對不同尺寸氣泡破碎速率的修正比例不同，不是都×10），這對于氣泡誘導湍流僅在部分時空范圍占據主導的工況而言具有更加重要且明確的物理意義；（2）BIT 破碎模型還隱性地改變了子氣泡尺寸分布，這對最終通過數值模擬獲得的氣泡尺寸分布結果也有一定影響，但影響程度還需要進一步研究。

圖6 不同破碎模型模擬的氣含率和氣泡尺寸分布對比Fig.6 Comparison of gas holdup and bubble size distributions by different breakage models

4.2 湍流相間擴散模型的影響

當鼓泡反應器的表觀氣速較小時，體系中氣泡數量相對較少。同時，氣泡與氣泡、氣泡與渦旋碰撞發生聚并、破碎的頻率很低，此時采用PBM 模擬的必要性較低。雖然湍流能量的整體來源還是鼓入液相的氣泡，但是由于氣泡誘導湍流快速耗散的特性，氣泡誘導湍流主要存在于氣泡尾渦中。氣泡尾渦伴隨著氣泡上升快速移動變化，其影響的局部時空范圍受限于氣泡上升路徑附近。雖然氣泡誘導湍流的各項異性特征并沒有發生變化，但這種局部的各項異性特征對整體流動而言可能并不占主導。考慮到這些因素，對于Case 6 和Case 7 工況的模擬可以采用LES 湍流模型，而BIT 的作用可以在SGS 湍流渦黏度修正及SGS 湍流相間擴散模型中進行反映。

圖7 為LES 模擬的鼓泡塔縱截面液相速度矢量圖，顏色深淺由氣含率分布標示。無論是從時間平均值、瞬態分布還是不同的時間序列來看，LES都能較好地解析大部分的大尺度湍流渦。尤其是從圖7(b)中能夠在氣含率較高的區域清晰分辨出氣泡誘導的局部湍流渦，并且這些局部渦結構隨著氣泡搖擺上升動態變化。因此可以認為，除主方向外，其他方向上也存在著較為強烈的氣液相間相互作用力。Sommerfeld 等[17]在歐拉-拉格朗日模擬中全面考察了曳力、壁面潤滑力、升力、浮力、虛擬質量力、Basset 力的重要性，并認為Basset 力是造成氣泡及其尾渦搖擺上升的關鍵。但是在歐拉-歐拉模擬中，由于其短時平均的特性，Basset 力的作用被嚴重弱化。Zhang等[42]在CFD-PBM 模擬中全面考察了除曳力外的其他相間作用力對模擬結果準確性的影響，并認為湍流擴散力對氣含率預測結果具有重要影響。

圖7 液相速度矢量圖Fig.7 Axial liquid velocity vectors

在大渦模擬中以不同湍流擴散模型預測的時間平均氣泡上升速度徑向分布對比如圖8所示。在表觀氣速Ug=0.0029 m/s、平均氣泡尺寸為2.55 mm的工況下，鼓泡塔整體氣含率較低，主方向上曳力的作用相對明顯，氣含率徑向分布的結果一般較為準確，但是氣泡上升速度這類受到局部作用影響較大的參數預測顯得尤為困難。由圖8 可見，采用Burns 湍流擴散力模型雖然能一定程度上提高預測的準確性，但依然較為偏離實驗值；而采用式(43)的湍流相間擴散模型進行模擬，其結果與實驗值更為接近。可以認為，該模型通過對曳力的空間濾波，較為精準地反映了氣泡和湍流渦旋在亞格子尺度的動態響應，如圖1 所示。因其捕捉到氣泡及其尾渦搖擺上升這一特性，所以能夠更準確地反映在氣泡上升速度這一重要參數。值得注意的是，因為氣泡發生聚并、破碎的頻率較低，體系中的氣泡尺寸分布幾乎完全取決于由于氣體分布器形成的氣泡尺寸分布。而且，氣泡誘導的尾渦在局部的影響范圍取決于跟氣泡尺寸高度相關的特征長度尺度Λ=d/CD。因此，如果再把體系中的氣泡尺寸分布加以考慮，則模擬結果更為接近實驗值。

圖8 氣泡上升速度徑向分布Fig.8 Time-averaged radial distribution of bubble rise velocity

從圖8可以看出，在Euler/Euler-LES 的工作中，無論是采用標準的Burns 湍流擴散力模型還是修正后的亞格子尺度湍流擴散模型（SGS-TD），在預測氣泡速度曲線時，在入口處使用多氣泡尺寸模型(considering BSD)比對單一氣泡尺寸(db=2.55 mm)表現更好。研究結果充分表明了不同尺寸的氣泡的瞬態行為實際上與指定一個等效的平均氣泡尺寸所描述的行為不同。針對Case 6 可以看出，采用Burns 湍流擴散力所預測的氣泡速度曲線顯示出與實驗結果的較大差異。相比之下，Case 7 模擬預測的氣相軸向速度分布的一致性雖然在反應器的中心區域仍與實驗數據稍有差距，但在近壁區域更為貼合，這表明在LES 模擬中加入修正的SGS-TD 模型對氣泡的徑向遷移有顯著影響。這可能是由于氣泡在中心區域更為集中，導致該區域等效氣泡直徑db變化較大。在考慮多氣泡尺寸模型的算例中，在中心區域分配了大約4 mm 的氣泡尺寸，相當于db/Δ∈(0.830,1.025)，該范圍與最佳的LES 網格標準db/Δ∈(0.670, 0.830)略有偏差，所以BSD 的使用可能高估了主流動方向上的氣泡波動。相對較小的氣泡更傾向于聚集在壁面區域附近，對周圍的湍流渦流響應更為敏感，從而更能準確模擬實驗中壁面附近的真實情況。這進一步表明，使用修正的SGSTD模型具有調節氣泡分散行為的功能，從而更準確地預測了氣含率梯度以及氣泡橫向分散行為。基于與Sommerfeld 等[17]的歐拉/拉格朗日LES 結果（Case B）的比較，表明歐拉/歐拉LES 加上修正的SGS-TD 模型在與實驗數據比較時仍能提供一致的氣泡動力學結果，并減少了計算量以及復雜的相間作用力封閉模型。

鼓泡塔中心區域某一點在主方向上的湍動能統計規律可以通過LES 中獲取該點軸向脈動速度，并進行時間關聯和快速傅里葉變換，從而獲得其湍流動能能譜。如圖9 所示，若在LES 中采用Smargorinsky 亞格子湍流渦黏度模型，其所得到的能譜曲線更接近由Pope[45]提出的標注能譜函數形式；若在LES 中考慮BIT 的作用，即采用考慮氣泡渦旋響應的亞格子湍流渦黏度模型，修正的能譜曲線在慣性子區內有一部分的斜率更加接近-3。雖然-5/3定律是針對高Reynolds數的各向同性均勻湍流，但是Pope[45]的model spectrum 指出，對于積分尺度Reynolds數Rel在100～100000范圍內，其慣性子區的斜率基本都符合-5/3。而對0.0029 m/s 工況下的模擬結果以量綱分析大致估算，Rel在100～1000 范圍內。因此，在不考慮BIT 作用的前提下對LES 結果進行處理得到了斜率接近-5/3 的湍流能譜曲線是較為合理的。

若將氣泡信號的特征頻率定義為fb=|ug-ul|/2πdb，則當氣泡尺寸為2.55mm時，該特征頻率為12.48 Hz。通過觀察圖9可知，修正的能譜曲線在慣性子區內斜率由-5/3 到-3 的轉變點f1在14.80 Hz左右，與氣泡信號的特征頻率極為接近。可以認為，氣泡所具有的湍動能在fb、f1頻率附近對液相湍動能進行了部分能量傳遞。但是，這部分的能量如何沿著能量級串以及湍流擬序結構進行傳遞，尚未有準確結論。

圖9 通過LES獲得的湍流動能能譜Fig.9 Turbulent energy spectrum at middle point of z=325 mm plane by LES

4.3 BIT對氣液相間傳質的作用

基于上述分析與討論，在氣液兩相鼓泡流動的幾種具有代表性的工況下，BIT 對于氣泡-渦旋相互作用的數學描述起著非常關鍵的作用。而氣液相間傳質同樣也是氣泡-渦旋相互作用的過程，因此在描述氣液相間傳質系數kla的模型中考慮BIT 的作用也有其必要性。本研究將kl和a分別進行考慮，其中氣液相間接觸面積可以通過PBM 模擬獲得氣泡尺寸分布，甚至可以在模擬中進一步對不同尺寸的氣泡形狀及其破碎過程中的形狀及表面積變化的影響進行考慮，Shi 等[43-44]對該部分工作進行了詳盡的討論。而對于kl，有較多因素會對其產生影響，如氣泡尺寸、氣液滑移速度、湍流耗散率、擴散速率等。研究人員對這些影響因素的作用進行了大量的研究，并分別發展了對流傳質模型、停滯膜模型、雙膜理論模型、溶質滲透模型、表面更新模型等理論模型[22-23]。隨著研究的逐步深入，部分研究工作中逐漸反映出了湍流渦旋對氣液相間傳質過程的重要影響。Lamont等[24]在表面更新模型的基礎上，通過假定湍流中從黏性渦到慣性渦都會對相間傳質過程起作用，并以通過柯爾莫哥洛夫時間尺度(εl/ν)-1/2計算了氣泡表面更新速率，并以此建立了Eddy Cell模型，其表達式為：

從這一角度看來，表面更新速率的計算，即湍流渦旋特性的合理描述是kl的決定性因素。Han等[5,25]在此基礎上，建立了Eddy Contact 模型。該模型通過考慮含能區、慣性子區、耗散區全范圍的能譜函數，把湍流渦旋的尺寸、數量、脈動速度等因素與相間傳質過程聯系起來，其表達式可寫為：

Eddy Contact模型中使用了全范圍的能譜函數，意味著從相當于柯爾莫哥洛夫長度尺度η的最小湍流渦旋到與鼓泡塔尺寸相當的最大湍流渦旋都對相間傳質過程產生了貢獻。該機制的明確對于建立描述氣液相間傳質過程的理論模型具有十分重要的價值。但在該模型中，湍流渦旋對氣泡表面的作用機制并不完全清晰。而且，從Pope[45]提出的能譜函數表達式E(κ)wide=E(κ)inertialfL(κL)fη(κη)中可以發現其關鍵核心在于慣性子區的能譜函數。若依然沿用柯爾莫哥洛夫-5/3 次方律作為慣性子區的能譜，對于氣液鼓泡流動而言，則無法正確體現出BIT 的動態行為特點。因此，基于上述考慮，本研究中建立了考慮BIT 的多尺度氣液相間傳質模型。

受到BIT 在不同工況下占據不同時空范圍內主導地位的思路啟發，與氣泡進行碰撞并發生物質傳遞的湍流渦旋大致可以分為三類：遠大于氣泡尺寸、與氣泡尺寸相當、遠小于氣泡尺寸。對尺寸遠大于氣泡的渦旋而言，其與氣泡的相互作用更多的是起到輸運作用，這類接觸導致的表面更新更多在于由剪切導致的氣泡表面的扭曲變形或小氣泡脫落，如圖10(a)所示。而對于尺寸與氣泡相當的湍流渦旋而言，其表面更新來源于氣泡破碎生成的子氣泡與母泡的面積差異，如圖10(b)所示。因此，當表觀氣速較大、氣泡聚并破碎活動較為劇烈時，可以假定這類型的表面更新對氣液相間傳質作主要貢獻。而對于遠小于氣泡尺寸的湍流渦旋而言，其在慣性力的作用下會擊打在氣泡表面并與氣泡表面張力或內部壓力對抗。雖然其攜帶的湍動能往往不足以將氣泡擊碎，但很容易在氣泡表面造成一個個“凹坑”，這類型的渦旋氣泡接觸引起的表面更新來源于氣泡表面的局部拉伸變形和質心振蕩導致的晃動變形，如圖10(c)所示。

圖10 不同尺度的氣泡與湍流渦旋接觸示意圖Fig.10 Schematic diagram for mass transfer due to bubble-eddy contact

若從能譜函數開始推導，式(44)中的液相湍流耗散率可寫為：

若直接采用式(29)中的BIT 湍流能譜函數，則BIT氣液相間傳質系數表達式可寫為：

式中，γST和γBIT分別代表剪切湍流渦旋和氣泡誘導湍流渦旋對整體相間系數的貢獻，其取值可以通過對應的湍動能和總湍動能之比近似估算：

圖11 中溶質對滲透模型、Eddy Cell 模型、Eddy Contact模型以及BIT氣液相間傳質模型的模擬結果與Terasaka 等[46]在不同表觀氣速下測量的單位體積傳質系數進行了比較。其中，氣液相間接觸面積a的預測結果通過CFD-PBM 模擬獲得。為體現在相間傳質模型中考慮湍流渦旋作用的重要性，同時也將溶質滲透模型(slip penetration model)的計算結果也列入比較。滲透模型的表達式可寫為kl=2F(Dl/πτe)0.5，其中τe為滲透的特征時間，可以用db/Uslip進行估算。溶質滲透模型和Eddy Cell 模型都需要通過調整模型參數才能夠獲得與實驗值接近的模擬結果。因此，這兩個模型中模型參數K與Zhang等[47]建議的取值保持一致。對比結果顯示，隨著表觀氣速增大，溶質滲透模型和Eddy Cell 模型預測獲得的相間傳質系數都低于實驗值。其原因有可能是這兩個模型都只考慮了與氣泡發生接觸的湍流渦旋的部分作用。與此相反，Eddy Contact 模型和BIT 氣液相間傳質模型通過能譜函數考慮了所有湍流渦旋對相間傳質過程的貢獻。當表觀氣速低于0.1 m/s時，Eddy Contact 模型和BIT 傳質模型的模擬結果在整體上都與實驗值較為接近；但更加值得注意的是，隨著表觀氣速的進一步增大，BIT 在氣液相間傳質過程中的重要性逐步顯現，特別是當表觀氣速高于0.1 m/s 后，BIT 傳質模型的模擬結果依然保持與實驗值的良好吻合。

BIT 傳質模型的物理意義可以認為是參與相間傳質的湍流渦旋的湍動能來源于剪切湍流和氣泡誘導湍流兩部分。當采用該模型進行數值計算時，困難之處在于式(47)計算的相間傳質系數是一個體系平均值，而由于氣泡誘導湍流的強烈時空不均勻性，模型參數的取值從理論上來說應該隨著BIT 在不同局部時空作用范圍變化。因此，此處BIT 傳質模型中模型參數的取值只好采用較為折中的方式，引入兩種湍流機制對相間傳質的貢獻因子，但是這一估算方式可能帶來一定的誤差。當表觀氣速較低時，剪切湍流對相間傳質的貢獻較大，氣泡誘導湍流的影響范圍和對相間傳質的作用效果逐漸加強直到與剪切湍流不相上下，式(49)在較低氣速的工況下可能略微過高估計了BIT的貢獻因子。而Eddy Contact 模型主要考慮剪切湍流的作用，其模擬結果在較低氣速工況下較為準確；當表觀氣速高于0.1 m/s時，氣泡誘導湍流的作用開始逐漸占據主導，BIT 傳質模型的作用逐漸凸顯出來。但是，從BIT傳質模型的理論框架而言，如果能夠在數值計算中全面考慮到BIT從局部時空對整個體系的作用，在較低氣速工況下也能夠提高傳質模型的準確性。

5 結 論

通過對不同直徑的鼓泡反應器不同工況的數值模擬，對氣泡誘導湍流在氣液鼓泡流動中的作用機理和氣液相間傳質特性展開了深入的探討。在氣液鼓泡流動中，氣泡誘導湍流的影響不容忽視，但其作用方式隨著BIT 在不同時空中的主導地位有所變化，具體結論如下。

（1）當氣泡誘導湍流在整個體系中占據主導時，其作用可以在CFD-PBM 模擬中通過描述氣泡-渦旋碰撞的BIT氣泡破碎模型體現。

（2）當氣泡誘導湍流僅在局部時空占據主導時，瞬態的氣泡-渦旋對湍流的調制作用可以在LES中通過亞格子尺度的BIT 湍流渦黏度模型體現。此外，通過LES空間濾波捕捉的瞬態擾動信息，并考慮氣泡-渦旋動態響應作用可以隱式地在修正后的亞格子尺度湍流相間擴散模型體現氣泡變形所引起的質心振蕩行為，進一步揭示BIT 在湍流能譜中所作貢獻的重要性。

（3）雖然不同尺度的湍流渦旋對氣液相間傳質的作用方式不盡相同，但隨著表觀氣速逐漸上升，BIT對氣液相間傳質過程的貢獻越發突出。

（4）通過正確描述氣泡誘導湍流的動態行為特征，在不同工況下對氣含率、液相軸向速度、氣泡尺寸分布、平均氣泡尺寸、氣泡上升速度、湍流動能、氣液相間傳質系數等關鍵流體力學參數的數值模擬均取得了與實驗測量非常接近的結果，充分體現了BIT在氣液鼓泡流動中的重要性。

符 號 說 明

a——界面面積濃度，m-1

CD——等效曳力系數

D——鼓泡塔直徑，m

Dl——擴散系數，m2/s

d——氣泡直徑，m

d32——Sauter平均直徑，m

es——表面能增量，kg·m2/s2

ē——平均湍動能，kg·m2/s2

MD——曳力，N/m3

Mlift——升力，N/m3

MVM——虛擬質量力，N/m3

fi——第i組氣泡占總氣含率的分數

g——重力加速度，m/s2

H——高度位置，m

k——湍動能，m2/s2

kl——液相傳質系數，m/s

l——長度尺度，m

n——單位體積數密度，m-3

t——時間，s

Re——Reynolds數

U——表觀氣速，m/s

Uslip——滑移速度,m/s

u——速度矢量，m/s

u′——u方向脈動速度，m/s

ūλ——湍流渦旋平均脈動速度，m/s

V——體積，m3

v′——v方向脈動速度，m/s

α——相含率

γ——部分湍動能與總湍動能之比

ε——湍流耗散率，m2/s3

η——柯爾莫哥洛夫長度尺度，m

κ——波數，m-1

λ——湍流渦旋特征長度尺度，m

Λ——氣泡誘導湍流特征尺度，m

μeff——有效動力黏度，Pa·s

μl——分子動力黏度，Pa·s

μt——湍流渦動力黏度，Pa·s

υ——運動黏度，m2/s

ξ——渦旋長度尺度與氣泡直徑之比

ρ——密度，kg/m3

σ——表面張力，N/m

τ——黏性剪切應力，Pa

下角標

B——破碎

BIT——氣泡誘導湍流

b——氣泡

C——聚并

g——氣體

i,j,k——氣泡組

l——液體

ST——剪切湍流