挖掘經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)涵　彰顯經(jīng)典理性魅力

張麗穎

摘? ?要：以小學(xué)數(shù)學(xué)教材的創(chuàng)新性板塊“數(shù)學(xué)廣角”的經(jīng)典課“田忌賽馬”為例，探索廣角板塊滲透數(shù)學(xué)思想方法、凸顯數(shù)學(xué)思考與問題解決兩大目標(biāo)落實的策略。引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看問題，把實際問題數(shù)學(xué)化;激活數(shù)學(xué)思考，誘發(fā)數(shù)學(xué)探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“探索——交流——?dú)w納”的過程;在更為寬松的氛圍下實施更為開放的教學(xué)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能;指導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷方法、對策產(chǎn)生的心路歷程，增長智慧。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思考;數(shù)學(xué)探究;激活潛能

中圖分類號：G623.5? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2022）19/22-0122-04

“數(shù)學(xué)廣角”作為小學(xué)數(shù)學(xué)教材的創(chuàng)新性板塊，為學(xué)生提供了具有更大探索、思考空間的學(xué)習(xí)素材。其價值取向非常鮮明：滲透數(shù)學(xué)思想方法，凸顯數(shù)學(xué)思考與問題解決。其教學(xué)目標(biāo)定位是：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，從中獲得數(shù)學(xué)思想方法的感悟;體悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣，感受數(shù)學(xué)的價值，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。如何讓“數(shù)學(xué)廣角”板塊的目標(biāo)真正落到實處？如何在補(bǔ)足數(shù)學(xué)思維之鈣的基礎(chǔ)上筑牢數(shù)學(xué)思想之魂？我們圍繞這一主題，選取四年級 “數(shù)學(xué)廣角”第三課時“田忌賽馬”一課做了多次探討。

一、以數(shù)學(xué)的眼光看問題，把實際問題數(shù)學(xué)化

為什么人人都要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？因為人人都需要從數(shù)與形的角度去觀察、認(rèn)識世界，都需要數(shù)學(xué)的眼光。“田忌賽馬”的故事情節(jié)分為兩部分，一是齊王與田忌第一次賽馬，齊王三局三勝。其中隱含的信息是，齊王各檔賽馬都比田忌的馬戰(zhàn)力強(qiáng);二是孫臏獻(xiàn)上計策，田忌反敗為勝。其中隱含的信息是，齊王中等馬的戰(zhàn)力不及田忌的上等馬，齊王下等馬的戰(zhàn)力不及田忌的中等馬。因此，六匹馬的戰(zhàn)力從強(qiáng)到弱依次是：齊王上等馬>田忌上等馬>齊王中等馬>田忌中等馬>齊王下等馬>田忌下等馬。以上的數(shù)量關(guān)系隱藏在字里行間，需要透過故事情節(jié)大力挖掘。教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光透視故事，將條件數(shù)學(xué)化，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。因此，教學(xué)從引導(dǎo)審題、理解問題解決的條件開始。

師：今天的數(shù)學(xué)課從研讀一篇語文課文開始！（出示課文）請大家認(rèn)真閱讀，你能從課文中讀出哪些數(shù)學(xué)信息？（生閱讀思索然后交流）

師：根據(jù)前面的分析，你們能用數(shù)學(xué)符號把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強(qiáng)到弱排序嗎？試一試。（學(xué)生獨(dú)立嘗試，然后交流）

生1：齊上>田上>齊中>田下>齊下>田下。

生2：A>a>B>b>C>c。

師：大小寫的字母分別表示什么？A>a，B>b，C>c，是根據(jù)什么知道的a>B，b>C又是根據(jù)什么知道的呢？

小結(jié)：用數(shù)學(xué)分析問題，首先必須明確并理解條件。

有別于通常的動態(tài)視頻引入，本節(jié)課無論是經(jīng)典出示的方式還是出示經(jīng)典后的學(xué)生活動，都努力體現(xiàn)一個“靜”字。“能用數(shù)學(xué)符號把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強(qiáng)到弱排序嗎？”，教師直截了當(dāng)從數(shù)學(xué)的視角提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光尋找故事背后的數(shù)學(xué)信息。用數(shù)學(xué)符號或式子有效地表征故事中的關(guān)鍵條件，這是將實際問題數(shù)學(xué)化的第一步。有了將賽馬戰(zhàn)力符號化表達(dá)的過程，下面再研究六匹馬的對陣方式時，學(xué)生自然選擇用簡捷的符號代替文字描述。這樣教學(xué)，一方面激起并培養(yǎng)了學(xué)生在閱讀中尋找數(shù)學(xué)信息、發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的興趣和能力;另一方面，讓學(xué)生親身經(jīng)歷符號的探索、發(fā)明過程，切身體驗符號化表達(dá)的先進(jìn)性和優(yōu)越性，可以提高學(xué)生的符號意識及其符號化表達(dá)的能力。

（一）激活數(shù)學(xué)思考，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究

“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)重在過程，重在感悟數(shù)學(xué)思想方法與獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。“田忌賽馬”故事一共涉及6匹馬，每匹馬的戰(zhàn)力不一樣，在齊王不改變出馬順序（上、中、下）的前提下，田忌共有6種不同的出馬策略，其中只有下對上、上對中、中對下這種策略能夠取勝，因此稱之為“最優(yōu)策略”。如何讓學(xué)生的認(rèn)知達(dá)到這一高度并于其中發(fā)展思維、積累經(jīng)驗、感悟思想，最好的選擇就是以數(shù)學(xué)探究活動及其體驗為基本教學(xué)方式，放手讓學(xué)生動腦、動手、動口，充分展開“探索——交流——?dú)w納”的過程。

（二）初步感知孫臏對策

師：讓我們把目光聚焦第二次比賽。這次比賽田忌是如何贏了齊王的？請合理選擇數(shù)學(xué)符號填寫表格，然后結(jié)合表格清楚表述。（學(xué)生獨(dú)立填寫表格，然后交流）

小結(jié)：馬還是原來的馬，田忌只是調(diào)換了一下出馬的順序，就反敗為勝了，這就是對策。

（三）探究對策之唯一

師：假設(shè)驕傲的齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的對策是不是唯一能贏齊王的方法呢？（生意見不一）

師：看來取勝策略是否唯一，大家有不同看法。那么孫臏總共有多少種可采用的策略呢？聯(lián)想搭配知識中的有序思考，認(rèn)真填一填。（學(xué)生獨(dú)立完成填表，然后交流，確認(rèn)田忌總共有6種出馬策略，其中只有一種三局兩勝。）

小結(jié)：唯一能贏齊王的對策并不是孫臏一拍腦門就想出來的，他是利用數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過列舉分析，從中擇優(yōu)才找到了最佳策略。

（四）理解孫臏必勝策略的關(guān)鍵——以弱制強(qiáng)

師：這唯一能贏的策略有什么高明之處？它的制勝秘訣在哪里呢？

師：用下等馬去對上等馬，不是明擺著輸嗎！這還高明？

小結(jié)：犧牲最弱的下等馬，浪費(fèi)掉齊王最厲害的上等馬，用最小的代價和暫時的失利換取后兩場的勝利！這就是“以弱制強(qiáng)”！智者不計較一場的輸贏，而是走一步看兩步，全盤考慮問題，最終贏得整體的勝利！

任務(wù)驅(qū)動下的問題解決，是激活數(shù)學(xué)思考、誘發(fā)數(shù)學(xué)探究的最好手段。在初步感知孫臏對策后，教師以核心問題“對策是否唯一”，引發(fā)猜想與探究。聯(lián)想搭配中的有序思考，一一排列，學(xué)生找全了6種不同應(yīng)對策略，發(fā)現(xiàn)只有孫臏的對策能夠三局兩勝。既經(jīng)歷了“最優(yōu)策略”的產(chǎn)生過程，體會了何為運(yùn)籌、何為優(yōu)化及如何運(yùn)籌與優(yōu)化，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，同時也深刻地體會了“謀略在先、以弱勝強(qiáng)”的不易，感悟了“優(yōu)化”的魅力。接下來繼續(xù)拷問“唯一能贏的策略有什么高明之處？”“用下等馬去對上等馬，不是明擺著輸嗎！這還高明？”，有趣且直擊“命門”，頻頻引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，在不斷地質(zhì)疑、解疑中，學(xué)生的思考愈來愈清晰，愈來愈深入。

二、實施更為開放的教學(xué)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能

“數(shù)學(xué)廣角”與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四大領(lǐng)域內(nèi)容承擔(dān)的知識與技能教學(xué)的剛性任務(wù)不同，它本質(zhì)上屬于課程中用以開闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)興趣愛好的拓展部分。因此“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)應(yīng)該在“讓不同發(fā)展水平的學(xué)生可以有不同的‘獲得”上下功夫，應(yīng)該增加課程與教材的彈性，在更為寬松的氛圍下實施更為開放的教學(xué)，進(jìn)而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能。

在小學(xué)教學(xué)田忌賽馬，通常只講齊王固定出馬順序，孫臏有6種應(yīng)對策略，只有一種能使田忌三局兩勝，到此為止。如此教學(xué)充其量只是講解了一個決策論故事，構(gòu)不成真正的博弈論問題。因為博弈問題最基本的特征是“策略互相牽制對抗”，通俗地說就是讓決策雙方處于平等的策略對抗地位，雙方同時決策。而如果雙方同時決策，齊王3匹馬，三場比賽有6種不同的出馬順序，針對齊王的每種出馬順序，田忌都各有6種應(yīng)對策略，因此，共有6×6種對陣。如此復(fù)雜的對陣表，小學(xué)生是難以接受的。怎樣才能在不露痕跡中合理延展促學(xué)生深度思考體悟博弈，又避免超出學(xué)生接受水平呢？

師：如果齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？我們來試一試。假設(shè)齊王把出馬順序換成“下、中、上 ”（C、B、A），看看田忌贏的可能性會不會變？（出示上面表格2，將第一行改成C、B、A。師生共同逐一分析六種對陣結(jié)果，填寫表格，確認(rèn)贏的可能性不變）

師：這就是說，不管齊王怎樣出馬，田忌的出馬方案總是6種，其中只有一種能夠三局兩勝。是哪一種？

在學(xué)生理解孫臏最優(yōu)策略并明白其唯一后，教師大膽設(shè)疑，借此在故事之外再選一種對陣加以探究，通過再次列表分析，得出只要保證讓齊王先出馬，不管齊王怎樣出馬，田忌的出馬方案總是6種，其中只有下對上、中對下、上對中才能夠三局兩勝。既成功地把田忌賽馬擴(kuò)展為了一個博弈論問題，使數(shù)學(xué)模型更加精準(zhǔn)，而且以一當(dāng)五，得窺所有對陣情形之全貌，可謂四兩撥千斤，明智又巧妙。

三、經(jīng)歷對策產(chǎn)生的心路歷程，增長智慧

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：對書本中的某些原理、定律、公式、方法以及對策，學(xué)習(xí)的時候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論，懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來的。只有經(jīng)歷這樣的探索過程，數(shù)學(xué)的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。“田忌賽馬”作為一種策略，并不是“必勝寶典”，而是需要一定的前提。故事中孫臏之所以能夠利用最佳策略實現(xiàn)以弱勝強(qiáng)，足智多謀固然重要，但足智多謀的前提是對六匹馬戰(zhàn)力的精準(zhǔn)分析，是對齊王驕傲自大性格的細(xì)心揣摩，在此基礎(chǔ)上因勢造勢，全盤考慮，后發(fā)制人，才取得了以弱勝強(qiáng)的效果。因此教學(xué)中分析、理解孫臏實施最優(yōu)策略的基本條件，讓學(xué)生明晰孫臏決策的整個心路歷程，才能將策略升華為思想，同時提升智慧。基于此，教學(xué)的最后環(huán)節(jié)，教師把重點(diǎn)放在反復(fù)拷問、理解對策取勝的基本條件上。

（一）體會取勝條件之一——知己知彼

師：如果齊王按上、中、下的順序出馬，孫臏共有6種應(yīng)對策略，其中只有一種能贏齊王。也就是說田忌獲勝的可能性只有六分之一。為什么田忌原本獲勝的可能性很小，孫臏卻胸有成竹呢？

生：因為齊王正在得意忘形之際，以為自己實力強(qiáng)必勝，還是按上中下的順序出馬。

師：這叫知己知彼。

（二）體會取勝條件之二——后發(fā)制人

師：有了“以弱制強(qiáng)”的策略，田忌就一定能贏嗎？——請看田忌賽馬故事續(xù)集（課件出示《田忌賽馬續(xù)》視頻）

第二次比賽結(jié)束，太監(jiān)向齊王進(jìn)言：“大王明天再與他賽一次，調(diào)換出馬順序，肯定能贏。”第三次比賽：齊王派出中等馬，田忌派上等馬迎戰(zhàn);齊王派出下等馬，田忌派出中等馬;齊王派出上等馬，田忌派出下等馬。田忌2∶1勝。第三次比賽齊王又輸了。大臣們冥思苦想，恍然大悟：“大王明天再與他賽一次，一定讓田忌先出馬。”

師：田忌先出馬，齊王一定能贏嗎？（學(xué)生思考，然后交流）

小結(jié)：沒錯，要實現(xiàn)以弱勝強(qiáng)，必須后發(fā)制人。

（三）體會取勝條件之三——實力相近

師：問題又來了，有了知己知彼、后發(fā)制人，就一定能夠以弱勝強(qiáng)嗎？（生迷惑）

師：如果田忌和齊王馬的戰(zhàn)力不是A>a>B>b>C>c呢？（生恍然大悟）

師：要想戰(zhàn)勝齊王，田忌的馬至少是什么情況？

小結(jié)：要實現(xiàn)以弱勝強(qiáng)，前提必須是雙方實力相近。所以，知己知彼、后發(fā)制人、以弱制強(qiáng)這些策略固然重要，提高自身實力無疑更重要。

一連串的問題恰如一套組合拳，不停地將學(xué)生“逼入絕地”，學(xué)生在步步深入地思索中抽絲剝繭，逐漸感悟了孫臏“最優(yōu)策略”能夠順利實施并取得“以弱勝強(qiáng)”的結(jié)局需要滿足的三個基本條件，在這個過程中，學(xué)生的思考愈來愈全面，愈來愈合理。

本課自始至終圍繞“田忌賽馬”故事展開，從引導(dǎo)審題，理解問題解決的條件;定向探究，尋求分析最優(yōu)策略;到縱向延展，體悟博弈;再到橫向拓展，理解條件。四部曲曲曲以“凸顯數(shù)學(xué)價值”為主旋律，以“獲得數(shù)學(xué)思想方法”為目標(biāo)，以“數(shù)學(xué)探究及其體驗”為基本教學(xué)方式，以“問題驅(qū)動思考”為手段，充分挖掘了經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，彰顯了經(jīng)典的理性魅力，學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的淬火過程中觸摸到了對策思想的核心，在火熱的思考中切實體味到了運(yùn)籌優(yōu)化的味道。運(yùn)籌優(yōu)化思想的感悟如此，其他數(shù)學(xué)思想的感悟也應(yīng)如此。

參考文獻(xiàn)：

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