單元整體視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)
——以《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》為例

李平香 黃 勇

（1.三明市第二中學(xué)，福建 三明 365000；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

“數(shù)學(xué)思想方法”是數(shù)學(xué)的“靈魂”.幫助學(xué)生建構(gòu)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得有“靈魂”的知識(shí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求，更是數(shù)學(xué)教育的必然追求.今天的數(shù)學(xué)教育，是越來(lái)越重視數(shù)學(xué)思想方法的教育；今天的數(shù)學(xué)課堂，是更加追求讓學(xué)生體驗(yàn)與感悟數(shù)學(xué)基本思想方法，形成數(shù)學(xué)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)，為學(xué)生未來(lái)的發(fā)展打好基礎(chǔ)的課堂.［1］但是，當(dāng)前，融合“數(shù)學(xué)思想方法”的課堂教學(xué)還沒(méi)有完全落到實(shí)處，教學(xué)現(xiàn)狀還不完全令人滿意，普遍缺少如何將“數(shù)學(xué)思想方法”教學(xué)落到實(shí)處的措施、方法以及示范的課例，在“實(shí)踐操作層面”亟待一線教師對(duì)“數(shù)學(xué)思想方法”課堂教學(xué)作進(jìn)一步研究.

數(shù)學(xué)思想方法不僅蘊(yùn)含在一個(gè)個(gè)概念、原理中，更體現(xiàn)在概念的體系、知識(shí)的聯(lián)系中，在數(shù)學(xué)的整體性中才能更深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基本思想的意蘊(yùn).單元整體視角下的“數(shù)學(xué)思想方法”的新教學(xué)，以系統(tǒng)思維為指導(dǎo)，在“單元—課時(shí)”教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)“課時(shí)”教學(xué)的“整體性”.“整體”不僅指內(nèi)容的整體性，同一主題或不同主題內(nèi)容的整體性或數(shù)學(xué)一般觀念的統(tǒng)一性；“整體”更指思維的整體性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的思考過(guò)程，形成思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生在面對(duì)具體問(wèn)題要調(diào)用某一知識(shí)時(shí)，能夠“想得到”“用得上”；“整體”還指研究過(guò)程的整體性，在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過(guò)程，掌握知識(shí)技能，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生逐步形成“數(shù)學(xué)對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實(shí)體驗(yàn)，［2］積累可以遠(yuǎn)遷移的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗(yàn).下面以普通高中新課程教科書(shū)人教A 版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》一課為例，談?wù)剢卧w視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué).

一、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，抽象概念

活動(dòng)1：從真實(shí)情境中抽象出一元二次不等式

問(wèn)題1：在常態(tài)化新冠肺炎疫情防控期間，學(xué)校在大門附近用帳篷圍一個(gè)矩形區(qū)域，作為測(cè)溫區(qū)域.若矩形的周長(zhǎng)為14m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于12m2，則這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少米？

【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題，要求學(xué)生獨(dú)立設(shè)未知數(shù)，并列出不等式x(7 -x) ＞12.此時(shí)，學(xué)生容易忘記未知數(shù)x的取值范圍，教師可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行提醒，并追問(wèn)如下問(wèn)題：

追問(wèn)1：我們知道，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1 的不等式，稱為一元一次不等式.類似地，問(wèn)題1 中不等式x(7 -x) ＞12 的名字叫什么？你能自己下定義嗎？

追問(wèn)2：類比一元一次不等式的一般形式，你能說(shuō)出一元二次不等式的一般形式嗎？

追問(wèn)3：你能自己說(shuō)出一個(gè)一元二次不等式嗎？

追問(wèn)4：下面所給的關(guān)于x的幾個(gè)不等式：①2x-7 ＞0;②x2＜0;③x2+4x-4≤x2-x;④mx2-x+1≥0.其中一定為一元二次不等式的有_________.

【設(shè)計(jì)意圖】在常態(tài)化新冠肺炎疫情防控形勢(shì)下，以學(xué)校大門附近設(shè)置的測(cè)溫區(qū)域——帳篷的面積大小為情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義、一元二次不等式的定義和一般形式，把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用模型表示出來(lái)，再解數(shù)學(xué)模型，引出對(duì)一元二次不等式解法的研究.

（二）用新觀點(diǎn)，看舊問(wèn)題

從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，簡(jiǎn)稱“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.

活動(dòng)2：“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系

問(wèn)題2：梳理從一次函數(shù)y=2x-7 看一元一次方程2x-7=0、一元一次不等式2x-7 ＞0、2x-7 ＜0.

問(wèn)題2.1：從“函數(shù)值”角度看“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從一次函數(shù)y=2x-7“函數(shù)值”看：當(dāng)y=0時(shí)，當(dāng)y＞0 時(shí)，當(dāng)y＜0 時(shí)，函數(shù)y=2x-7 的三類狀態(tài).

【師生活動(dòng)】教師課件演示圖1（1）-（5）的生成過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生“看圖說(shuō)話”.

【設(shè)計(jì)意圖】從“函數(shù)值”的角度看：方程“是什么（what）”，不等式“是什么（what）”.通過(guò)演示循環(huán)結(jié)構(gòu)圖的生成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)理解方程和不等式，當(dāng)一次函數(shù)值為0 時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程；當(dāng)一次函數(shù)值不為0 時(shí)，y＞0 或y＜0，就得到一元一次不等式.函數(shù)y=2x-7 的三類狀態(tài)：y=0，y＞0，y＜0就是方程、不等式，并以y=0 為分界點(diǎn)，理解函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系，形成用“函數(shù)”統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.

問(wèn)題2.2：從函數(shù)“圖象”角度看“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從一次函數(shù)y=2x-7“圖象”看：當(dāng)x為何值時(shí)，y=0；當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0；當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0.

【師生活動(dòng)】教師課件演示圖2（1）-（3）的生成過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生“看圖說(shuō)話”.

【設(shè)計(jì)意圖】再?gòu)暮瘮?shù)“圖象”角度看：方程的解“是什么（what）”，不等式的解“是什么（what）”，解方程是“做什么（what to do）”，解不等式是“做什么（what to do）”，弄清“怎么做（how to do）”，理解“為什么要這樣做（why do it such）”等問(wèn)題.

圖2（1）讓學(xué)生理解從“數(shù)”的角度看，方程的解是函數(shù)值為0 時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量值；從“形”的角度看，方程的解是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；從“數(shù)形融合”的角度看，方程2x-7=0 解也稱為對(duì)應(yīng)函數(shù)y=2x-7 的零點(diǎn)（“零”是“數(shù)”，“點(diǎn)”是“形”）.從函數(shù)的觀點(diǎn)看，方程的解就是“函數(shù)值為0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量值”，解方程就是“通過(guò)已知的函數(shù)值，求對(duì)應(yīng)的自變量值”.

圖2（2）引導(dǎo)學(xué)生理解一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)A把函數(shù)圖象分成兩部分：一部分函數(shù)圖象在點(diǎn)A的右上方，另一部分函數(shù)圖象在點(diǎn)A的左下方.

圖2（3）引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)y=2x-7 圖象看成是點(diǎn)的集合{ (x,y)|y=2x-7}，那么在點(diǎn)A的右上方的函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)(x,y)，其坐標(biāo)特征為，在點(diǎn)A的左下方的函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)(x,y)，其坐標(biāo)特征為.讓學(xué)生理解從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次不等式，不等式的解集就是“使函數(shù)值大于0（或者小于0）的自變量x的取值范圍”，解不等式就是“通過(guò)已知函數(shù)值的取值范圍，求對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍”.

用“函數(shù)”把“三個(gè)一次”進(jìn)行聯(lián)系，體驗(yàn)如何用“函數(shù)觀點(diǎn)”看方程與方程的解、不等式與不等式的解，體會(huì)用新觀點(diǎn)看舊問(wèn)題的角度、方法，積累用“函數(shù)”研究方程、不等式所需要的一般觀念、路徑、方法等研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).通過(guò)“以問(wèn)代講”“以演代講”的方式，讓學(xué)生“看圖說(shuō)話”出聲地思考，用語(yǔ)言把函數(shù)思想“是什么”外化，放慢思維動(dòng)作，放緩思維進(jìn)程，挖掘從函數(shù)觀點(diǎn)看——“看什么”“如何看”［3］等隱性思想方法，理解“做什么（what to do）”，“為什么要這樣做（why do it such）”，讓學(xué)生在“看得見(jiàn)”的思維過(guò)程中體驗(yàn)與感悟“運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)”“對(duì)應(yīng)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”的本質(zhì).

（三）用新觀點(diǎn)，看新問(wèn)題

前面梳理了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，類似地，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、一元二次不等式的思想方法，簡(jiǎn)稱“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.

活動(dòng)3：“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系

問(wèn)題3：從二次函數(shù)y=x2-7x+12 的觀點(diǎn)看一元二次方程x2-7x+12=0、一元二次不等式x2-7x+12 ＜0、x2-7x+12 ＞0 之間的關(guān)系.

問(wèn)題3.1：從“函數(shù)值”角度看“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從二次函數(shù)y=x2-7x+12“函數(shù)值”看，當(dāng)y=0 時(shí)，當(dāng)y＞0 時(shí)，當(dāng)y＜0 時(shí)，函數(shù)y=x2-7x+12的三類狀態(tài).

【師生活動(dòng)】教師用課件演示圖3（1）-（5）的生成過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生“看圖說(shuō)話”.

問(wèn)題3.2：從函數(shù)“圖象”角度看“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從二次函數(shù)y=x2-7x+12“圖象”看，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0；當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0；當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0.

【師生活動(dòng)】教師用課件演示圖4（1）-（3）的生成過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生“看圖說(shuō)話”.

【設(shè)計(jì)意圖】從函數(shù)的角度來(lái)研究方程和不等式，使研究方程和不等式的方法更具有一般性和代表性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，凸顯函數(shù)的重要地位.類比研究“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系所需要的一般觀念、研究?jī)?nèi)容、研究路徑、研究方法，用相同的方法研究“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.這種同構(gòu)的方式有助于透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，把隱藏在“表面現(xiàn)象”背后的更有“含金量”的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來(lái)，即從“函數(shù)觀點(diǎn)”看方程與方程的解、看不等式與不等式的解、看解方程與解不等式“是什么（what）”“做什么（what to do）”“怎么做（how to do）”“為什么這么做（why do it such）”，用“函數(shù)”統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式，逐步形成“數(shù)學(xué)對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實(shí)體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的聯(lián)系性與整體性.［2］

（四）用新觀點(diǎn)，解新問(wèn)題

問(wèn)題4：請(qǐng)規(guī)范解答問(wèn)題1.

解：設(shè)這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm，則另一條邊長(zhǎng)為(7 -x)m.由題意x(7 -x) ＞12，且x∈(0,7).整理得，x2-7x+12 ＜0 ①，且x∈(0,7).對(duì)于方程x2-7x+12=0，因?yàn)棣?＞0，所以它有兩個(gè)不等實(shí)根，解得x1=3，或x2=4.畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-7x+12 圖象［如圖4（3）］，結(jié)合圖象得到不等式①的解集為{x|3 ＜x＜4 }，又因?yàn)閧x|3 ＜x＜4 }?{x|0 ＜x＜7 }.因此，當(dāng)圍成的矩形的一條邊長(zhǎng)x滿足3 ＜x＜4 時(shí)，圍成的矩形區(qū)域的面積大于12m2.

【設(shè)計(jì)意圖】與“說(shuō)”相比，用文字把思維過(guò)程寫出來(lái)，進(jìn)一步把“思維過(guò)程”外化.同時(shí)，規(guī)范地書(shū)寫用“函數(shù)思想”解不等式，促進(jìn)對(duì)解題程序的理解，為下面“一般化推廣”做好準(zhǔn)備.

（五）提煉方法，形成思想

活動(dòng)4：上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0）和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集嗎？對(duì)于一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)、ax2+bx+c＜0(a＞0）和相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)之間是否也具有類似的關(guān)系呢？

【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題后，用課件展示下表，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成表格內(nèi)容的填寫.

從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、一元二次不等式的思想方法.

【設(shè)計(jì)意圖】與“寫”相比，把思維過(guò)程畫(huà)出來(lái)，既能讓思維外顯，又能顯示出問(wèn)題的結(jié)構(gòu).把具體的“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系推廣到一般的“三個(gè)二次”的內(nèi)涵與關(guān)系，讓學(xué)生在推廣的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、形成“函數(shù)思想”，并且體驗(yàn)與感悟“函數(shù)思想”的統(tǒng)領(lǐng)作用，以及從具體到抽象、從特殊到一般的研究問(wèn)題的一般方法.

例1 解下列不等式：

(1)3x2-2x+1 ＞0；(2) -3x2+6x＞2；

(3)(5 -x)(x+2)≤0；(4) -x2+6x-10 ＞0.

追問(wèn)：你能總結(jié)用“函數(shù)思想”求解一元二次不等式的步驟嗎？

【師生活動(dòng)】學(xué)生討論，相互補(bǔ)充合作完成，并在圖5 的表格中標(biāo)注解題步驟.

化：把一元二次不等式化為一般形式：ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0).

判：算Δ 并判號(hào).

求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.

畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象.

寫：寫出不等式的解集.

概括為：“一化、二判、三求、四畫(huà)、五寫”.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在理解一元二次不等式的基礎(chǔ)上，提煉用“函數(shù)思想”求解一元二次不等式的方法、步驟，理解算理，掌握算法，訓(xùn)練運(yùn)算技能，發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)，體會(huì)用“函數(shù)思想”求解帶來(lái)的好處，即可以借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般性地、程序化地求解不等式，體驗(yàn)與感悟“數(shù)學(xué)思想”指導(dǎo)下技能操作的好程序，好程序是做好事情的基礎(chǔ).

（六）回顧總結(jié)，完善結(jié)構(gòu)

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課沿著兩條線索推進(jìn)，一條是從“函數(shù)”的觀點(diǎn)看、“看什么”等看的內(nèi)容，另一條是從“函數(shù)”的觀點(diǎn)看、“怎么看”等看的方式；著重從一般觀念、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理，進(jìn)一步加深對(duì)“三個(gè)一次”“三個(gè)二次”的理解，形成用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識(shí)，以及用函數(shù)求解一元二次不等式的基本結(jié)構(gòu).

二、教學(xué)反思

（一）在“慢化拉長(zhǎng)”的思維過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生“體驗(yàn)與感悟”數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵

“體驗(yàn)與感悟”要在“過(guò)程”中實(shí)現(xiàn).“體驗(yàn)”是一個(gè)“過(guò)程量”，“感悟”既是一個(gè)不斷完善的“動(dòng)態(tài)量”，又是一個(gè)“狀態(tài)量”.［4］數(shù)學(xué)思想具有隱喻性，學(xué)生對(duì)它的“體驗(yàn)與感悟”難以自然而然地深化，需要教師正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法的示范和引領(lǐng)，作一些特別的設(shè)計(jì)，才能將隱含的思想方法顯性化，將陌生的身影熟悉化，將淺顯的體驗(yàn)深刻化，將點(diǎn)滴的感悟系統(tǒng)化.［5］美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”教學(xué)的核心是教思維，空想不如聽(tīng)見(jiàn)，聽(tīng)見(jiàn)不如看見(jiàn)，用“出聲思維”“規(guī)范書(shū)寫”“直觀圖形”“畫(huà)流程圖”等方法把數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵外顯，讓數(shù)學(xué)思維過(guò)程“看得見(jiàn)”.［2］采取“放大思維”“慢化動(dòng)作”“拉長(zhǎng)過(guò)程”等方法把思維進(jìn)程“放緩”，讓學(xué)生在“延遲”的時(shí)間，“延長(zhǎng)”的瞬間思維過(guò)程中，充分地“體驗(yàn)與感悟”數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵——“是什么（what）”“做什么（what to do）”“怎么做（how to do）”.讓學(xué)生在連續(xù)、完整、看得見(jiàn)的思維過(guò)程中，形成思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分地“體驗(yàn)與感悟”函數(shù)思想方法的內(nèi)涵.

（二）在“循序漸進(jìn)”的逼近過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生“理解與領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)

沒(méi)有“過(guò)程”就沒(méi)有“思想”.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是：從默會(huì)到明朗化，再到自動(dòng)化，最后到系統(tǒng)化的體驗(yàn)、感悟、鞏固和深化的漸進(jìn)過(guò)程；［6］數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是：在活動(dòng)中滲透，在反思中明確，在運(yùn)用中鞏固，在聯(lián)系中融合，經(jīng)歷“滲透—明確—運(yùn)用—融合”的進(jìn)階過(guò)程；數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)重在“體驗(yàn)與感悟”，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生在“過(guò)程”中如何體驗(yàn)、如何感悟、體驗(yàn)什么，感悟什么，在“循序漸進(jìn)”的逼近過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生如何“理解與領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)——“為什么這么做（why do it such）”.本節(jié)課對(duì)“函數(shù)思想”的教學(xué)經(jīng)歷了“滲透—明確—運(yùn)用”的過(guò)程，先用“函數(shù)思想”對(duì)“三個(gè)一次”的內(nèi)涵與關(guān)系進(jìn)行梳理，把“函數(shù)思想”在舊知識(shí)“三個(gè)一次”中“滲透”.“滲透”就是要在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對(duì)這些思想方法有一些初步的感覺(jué)或直覺(jué)，［7］并把解題步驟概括為“一化、二判、三求、四畫(huà)、五寫”，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)思想”指導(dǎo)下技能操作的好程序.經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程，在連續(xù)的、循序漸進(jìn)的“體驗(yàn)—感知、體驗(yàn)—感受、體驗(yàn)—內(nèi)化”的過(guò)程中升華體驗(yàn)、深刻感悟，在鞏固、深化中“理解與領(lǐng)悟”函數(shù)思想內(nèi)涵，逐步逼近“函數(shù)思想”的本質(zhì)，獲取有“靈魂”的數(shù)學(xué)知識(shí).

（三）在“連續(xù)完整”的研究過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)與會(huì)用”數(shù)學(xué)思想方法的真諦

有“靈魂”的數(shù)學(xué)，才是“力量無(wú)窮”的數(shù)學(xué).日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾做過(guò)這樣的總結(jié)：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.”“學(xué)會(huì)”是教學(xué)的首要任務(wù)，這是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是落腳點(diǎn).優(yōu)秀教師在引領(lǐng)學(xué)生“學(xué)會(huì)”的同時(shí)，還需追求學(xué)生“會(huì)學(xué)”的境界.學(xué)習(xí)的最高境界是“學(xué)以致用”，“會(huì)用”是教與學(xué)之終極追求.［8］單元整體視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的新教學(xué)，先用“新思想”在“舊問(wèn)題”中滲透，積累用“新思想”研究問(wèn)題所需要的一般觀念、路徑、方法等研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)；再用已有的經(jīng)驗(yàn)完整地研究新問(wèn)題，即用“新思想”研究“新問(wèn)題”，進(jìn)一步明確“新思想”；最后，運(yùn)用“新思想”解決“新問(wèn)題”，提煉“新方法”，經(jīng)歷“滲透—明確—運(yùn)用”的教學(xué)過(guò)程.從研究方法上來(lái)看，函數(shù)思想的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了研究“數(shù)學(xué)思想方法”的一般套路和方法，是繼初中“三個(gè)一次”，學(xué)習(xí)之后的再一次強(qiáng)化.教學(xué)中無(wú)論是“滲透—明確—運(yùn)用”的整體結(jié)構(gòu)，還是具體的“滲透、明確、運(yùn)用”的局部結(jié)構(gòu)，都是一脈相承的.這種同構(gòu)能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與感悟從“朦朦朧朧”，到“似有所悟”，逐步走向“明朗清晰”，讓學(xué)生在面對(duì)具體問(wèn)題要調(diào)用某一知識(shí)時(shí)，能夠“想得到”“用得上”，逐步形成“數(shù)學(xué)對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實(shí)體驗(yàn)，［2］積累可以遠(yuǎn)遷移的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗(yàn).