指向深度學習的數(shù)學問題鏈教學
——以七年級“專題復習：數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸”教學片段為例

高紀喜

（福建師范大學附屬福清德旺中學，福建 福清 350319）

近年，筆者在參與觀課評課活動的過程中，觀察到諸多農(nóng)村學校的數(shù)學課堂存在著相同問題，即教師只注重知識呈現(xiàn)和應用教學，而忽略了過程的探究活動，教師講得多，學生機械操作多、“悟”得少，學生的探究精神和自主學習能力的培養(yǎng)重視不夠等.同時，學生的學習也存在如下的問題：缺乏學習目的、學習知識碎片化、只記知識和解題步驟、缺乏獨立思考能力和策略的反思能力，最終讓數(shù)學越學越難，數(shù)學厭學情緒與日俱增.

一、深度學習的問題鏈的理論背景

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，上述現(xiàn)象根源在于教師的教和學生的學大多都停留在淺層學習的階段（表1）.與淺層學習相對的是深度學習，那么，何謂深度學習呢？

表1

（一）深度學習與深度教學

所謂“深度學習”也稱深層學習，是指“通過學習者能動地學習，旨在培育囊括了認知性、倫理性、社會性能力，以及教養(yǎng)、知識、體驗在內(nèi)的通用能力.因此，發(fā)現(xiàn)學習、問題解決學習、體驗學習、調(diào)查學習等，均屬深度學習的范疇”.［1］

在“雙減”背景下，教學工作的重心指向課內(nèi)、課外的提質(zhì)增效，“向課堂要效益”不應該成為一句口號.這要求學生的學應指向深度學習.那么，如何有效地開展的深度教學呢？華東師范大學鐘啟泉教授指出，“在深度學習中學習者圍繞著問題，引出不同的思考與解決方法，教師則判斷他們在該時間點‘知道了什么’‘能夠做什么’，從而制訂學習規(guī)則，展開一系列旨在問題解決所需的知識與技能的探究活動”.［2］

（二）問題鏈教學

問題鏈教學是指在教學中，教師依據(jù)教學目標將教學內(nèi)容設(shè)置成以問題為紐帶、以知識形成發(fā)展和培養(yǎng)學生思維能力為主線、以師生合作互動為基本形式的教學模式.數(shù)學教學與研究的核心是問題，問題教學是數(shù)學課堂中常用的一種教學手段，這更有利于問題鏈教學的實施和推進，設(shè)計指向性明確、針對性強、高效的“問題鏈”，［3］可以讓數(shù)學的課堂活起來，讓生本理念真正落地，最終促進學生自主學習能力的養(yǎng)成.

（三）指向深度學習的問題鏈教學

設(shè)計中考慮問題鏈的指向和作用，突出問題之間的系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性和遞進性，從淺層、易點入手指向深層、難點突破；教學中重在引導學生分析和解決問題，并實時提出問題，在問題解決的過程中，深化學生對知識的理解、應用，在生本課堂中實現(xiàn)深度學習的落地.

二、教學實踐研究

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“探索在不同的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學和其他學科的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法，能運用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問題……”這要求數(shù)學教學要指向引導學生提出問題和解決問題，在分析問題和解決問題的過程，體會思想、發(fā)展創(chuàng)新性思維、養(yǎng)成核心素養(yǎng).在理論的學習、理解和應用過程中，指向深度學習的數(shù)學問題鏈教學的基本流程也就逐步成形.

（一）問題鏈教學的基本流程

指向深度學習的問題鏈教學的基本流程［4］如圖1所示：本文以“專題復習：數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸”的教學片段為例，闡述“指向深度學習的數(shù)學問題鏈教學”的教學設(shè)計思考.

圖1

（二）指向深度學習的數(shù)學問題鏈教學

數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要概念和工具，是初中數(shù)學中最早體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的典型范例.而在“數(shù)軸”復習中教師常反復炒冷飯，學生不斷刷題，但學生最終還是未能有效地理解數(shù)軸的概念，運用也不順手，更別談符號意識、對應意識和數(shù)形結(jié)合思想的形成.為了讓重要知識達到深層學習的目標，本節(jié)課筆者設(shè)計了三個環(huán)節(jié)：概念理解的強化、思想方法的滲透、歸納提煉再提升.

問題鏈一：指向深層“感悟”的概念理解強化環(huán)節(jié)

問題1 已知點A在數(shù)軸上，請根據(jù)老師的描述畫圖.

問題2 點B與點A相距3 個單位長度，請在問題1所畫的圖上補全圖形.

問題3 數(shù)軸上從左到右的三個點A，B，C，其中點B與點A相距3 個單位長度，點C到原點4 個單位長度，且與點B的距離為2 個單位長度，請在數(shù)軸上標出A、B、C三點的具體位置，并寫它們所對應的數(shù).

問題4 如圖2，數(shù)軸上兩個點A，B分別表示數(shù)a，b，試判斷下列說法是否正確?說明理由.

圖2

設(shè)計意圖：問題1～3 旨在培養(yǎng)學生“聽、說、讀、畫”能力.問題1 的設(shè)計旨在讓學生回憶數(shù)軸的概念及感知點與直線的位置關(guān)系，問題2 的設(shè)計旨在讓學生加深對數(shù)軸的單位長度作用的理解，問題3、4 的設(shè)計旨在加深對數(shù)軸三要素用來確定點的具體位置和刻畫數(shù)的大小的作用的理解，進一步加深對數(shù)軸上點的分布規(guī)律的認識，培養(yǎng)學生閱讀能力、動手能力、概括能力及語言表達能力.

［教學實錄片段］問題1 完成后要求學生，同桌互查，看看畫的圖是否滿足題意（是否多畫了什么）.教學過程中，學生產(chǎn)生困惑：為什么要有原點？為什么要有單位長度？引導學生討論，在問題解答中復習了數(shù)軸的概念，同時感知點與直線的位置關(guān)系.

問題2 完成后要求學生，同桌互查，看看畫的圖是否滿足題意（是否少畫了什么）.教學過程中，學生產(chǎn)生困惑：為什么要分類？單位長度的作用是什么？引導學生討論，在問題解答中，充分感受單位長度的作用.

問題3 完成后要求學生，同桌互查，看看畫的圖是否滿足題意（是否少畫了什么），思考與問題2 的區(qū)別和聯(lián)系.教學過程中，學生產(chǎn)生困惑：先確定誰的位置？誰的位置是確定，誰的位置是不確定的？為什么要分類？

生1：先確定點A，再依次畫出點B和點C，點A，B，C的位置是確定的，點O的位置是不確定的，因此要分類討論.

生2：先確定點O，再依次畫出點C，點B和點A，由此點O的位置是確定的，點A，B，C的位置是不確定的，從而要分類討論.

解決好問題3 之后，教師還可以這樣追問：

追問1 如果把“數(shù)軸上從左到右的三個點A，B，C”這個條件去掉，你先確定哪個點比較合適？

生3：先確定點C.

追問2 為什么先選擇點C？

生4：點C與原點的關(guān)系最密切，一旦原點的位置確定了，點C的位置也跟著確定.

在引導學生討論和交流過程中，教師適當引導和鼓勵，通過不同思維碰撞，能讓學生收獲更多、成長更多.問題鏈的推進過程中，不僅能加深學生對數(shù)軸的三要素作用的理解，問題3 更能讓學生深刻感受到變與不變關(guān)系，幾個問題殊途同歸，其根源在于中A、B、C三點位置關(guān)系的確定性以及追問中的O、C兩點位置關(guān)系的確定性，這有助于學生發(fā)散性思維和對應意識培養(yǎng).

問題鏈二：指向自然“滲透”的思想方法體會環(huán)節(jié)

問題5 一對相反數(shù)在數(shù)軸上表示的點位置上有什么關(guān)系？

問題6 數(shù)軸上A點表示的數(shù)是5，點B與A 點相距8 個單位長度，那么點B表示的數(shù)是_________.

問題7 請把“已知| |x-5=8，求x的值.”翻譯成文字語言_________.

問題8 數(shù)軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為8，點A與原點O的距離為5，則點B對應的數(shù)是_______.

問題9 如圖3，數(shù)軸的A、B、C三點所表示的數(shù)分別為a、b、c.若|a-b|=3，|b-c|=5，且原點O與A、B的距離分別為4、1，則點C對應的數(shù)是_________.

圖3

問題10 如圖4，數(shù)軸上每相鄰兩點相距一個單位長度，點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d，且d-2a=13，那么數(shù)軸的原點應是點_________.（填A，B，C，D即可）

圖4

設(shè)計意圖：學生通過對這一竄問題的探究，利用數(shù)軸加深對相反數(shù)、絕對值等概念的理解，探究、歸納能力.學生從“數(shù)”與“形”兩個角度解決問題的過程中，著重感受數(shù)軸“形”的作用優(yōu)越性，發(fā)展符號意識，滲透對應意識和數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想和模型思想.

［教學實錄片段］問題6 是問題2 的延伸，問題7、8的解答有助于學生加深對絕對值概念的理解.解決了問題8 之后，教師可追問“請把本題翻譯成符號語言.（其中數(shù)軸上點A、B分別表示數(shù)a、b）”，解決問題9 的關(guān)鍵在于引導學生分析并確定原點的位置；問題10 的分析解決過程中，學生在前面問題的解決經(jīng)驗指引下，很快得到問題的解決路徑——建立方程模型.

在引導學生分析問題和解決問題的過程中，讓學生充分體會相關(guān)概念的運用和思想方法的滲透，學生長期在這種數(shù)學學習環(huán)境下熏陶，核心素養(yǎng)的養(yǎng)成將會自然而然地發(fā)生.

三、教學感悟

（一）指向概念、規(guī)則的“悟”

構(gòu)建高效課堂、生本課堂，要求教師在進行教學設(shè)計時，要充分考慮如何調(diào)動學生主動性，培養(yǎng)學生的自主學習能力.數(shù)學教學大部分時間是在進行數(shù)學概念和運算法則、定理等數(shù)學規(guī)則的教學，讓學生知其義才能讓學生明其用，這就要求數(shù)學教學要時刻指向深度學習.因此，在概念、規(guī)則的問題鏈教學設(shè)計時，教師可做以下三個方面的處理：一是巧設(shè)問題情境激趣；二是設(shè)置遞進式的問題鏈系統(tǒng)，將學生的思考引向深處，時刻引導學生深刻“悟”透這些概念和規(guī)則；三是提供有效辨析和運用知識的平臺，通過練習加以固化，加深理解.［5］

（二）指向思想方法的“透”

思想方法的滲透是潤物細無聲的，比起知識技能來更讓學生受用終生；但教學的難點在于無法口口相傳，也無法手把手去教，需要教師有效引導和學生深刻體會，需要教師有系統(tǒng)思維和全局觀，有高屋建瓴的處理教材能力，有潤物細無聲的學法指導和意識培養(yǎng)的能力.因此，在問題鏈教學設(shè)計時，教師應立足于大單元教學的視野下進行思考，有效地推進問題鏈的設(shè)計，問題鏈要立足于教材，通過變式或?qū)訉蛹哟a的方式，做到承上啟下、逐步滲透，把抽象變成具象，讓學生通過解題、思考等具體的可操作行為，去親身體會數(shù)學思想方法.

（三）讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地

要在數(shù)學課堂中落實核心素養(yǎng)教育，深度學習是必然選擇和有效途徑.在設(shè)計問題鏈時，教師要時刻關(guān)注學生的實際認知水平，問題鏈中的問題難度成螺旋式上升，最終指向?qū)W生高階思維能力的發(fā)展和數(shù)學問題的解決.同時教學過程中充分考慮學生在解決問題中的主體地位，以生為本，教學內(nèi)容的展開自然、合理，則數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成也就水到渠成了.