踐行學為中心，提升數學交流素養

王卓凡

[摘要]以學生的問題作為教學過程的導向，并以學生的活動作為教學過程的本體，把“教為中心”的課堂轉變為“學為中心”[1].以“方差”一課為例，通過精讀教材、設計理解性問題、給予精當學法指導，以期達到深思辨真交流.

[關鍵詞]學為中心;方差;精讀教材;數學交流

“學為中心”的核心理念是以學生的學習為中心，教學中把學生作為教學的真正主體，讓學生嘗試自主學習、探究、生生合作、交流探討，主動獲取知識[2].而數學交流是通過數學思維的方式，與文本信息、他人進行數學對話、溝通互動的活動過程[3].筆者以人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊（以下簡稱人教版《教材》）“方差”一課為例，就引導學生通過獨立閱讀、有序思考、清晰表達交流，在交流中促進數學概念的理解，與同行交流研討.

觀課的思考

在“方差”的概念教學中一線教師常出現以下做法，做法1：教學重點放在方差公式的應用上，確保考試會做題不吃虧;做法2：課本沒有給出方差公式的推導過程，講了學生不理解，干脆繞過這個難點，精力放在方差公式訓練上;做法3：讓學生自學，能理解就理解，不能理解就加強方差公式應用訓練.

以上做法背后反映教師教學的三個錯誤觀點：觀點一，教學的功利性;觀點二：教學以教師為中心，只強調教師的權威性，學生的服從性;觀點三，教學以知識為中心，只重視知識的應用，不重視知識的產生和發展過程、只重視知識的結論，不重視對知識的理解，忽略了知識學習過程中人的主觀感受和個性化理解.

備課過程中的思考

思考1：本節課的內容有哪些規律和特點？

“方差”是規則下的概念課，其核心就是立規矩[4].規則下概念課可從“立情境——建規則——下定義——再運用”的步驟實施，通過問題情境，運用創新思維，構建解決問題的規則，不斷調整規則、優化規則、完善規則，從而建立概念.

思考2：如何在本節課中體現“學為中心”的理念？

“學為中心”的課堂有兩個基本特征：一是學生嘗試獨立學習和合作學習，二是教師組織、引導和幫助學生學習，做學生自主學習的推動者和促進者.學生在數據處理過程中主動去發現問題并結合思考性問題促進概念的深人理解，教師給予指導和幫助，使其能夠感受、理解和領悟數學概念.

思考3：本節課的教學目標是什么？

本節課主要的學習內容是方差的概念，關鍵是理解算法規定的合理性，從算法中體會方差的統計含義.在本節課之前，學生已學過數據集中趨勢的統計量.因此通過本節課的學習，學生不僅會用方差表示數據的離散程度，能比較兩組數據的變化范圍和波動大小，還會用“平均數+方差”方法去解決問題，培養數據說話的統計意識與交流習慣.

教學過程簡析

1.立情境，引新知

問題1：甲、乙兩名射擊隊員都很優秀，現只能挑選一名隊員參加比賽.如果你是教練，你準備如何選拔？

問題2：如表1所示，甲、乙兩名隊員的一次比賽成績，依據這次成績，請用你的標準來計算一下，看看甲、乙兩人讓誰去？

師：問題1中，你是怎選拔隊員參加

比賽？

生（齊）：看看誰的成績高？

師：你們怎么知道誰的成績高？

生（齊）：知道他倆的成績就可以吧.

師：對，要用數據說話.

教師讓學生4分鐘時間獨立閱讀和

思考問題2，引導學生對話交流.

生1：算出兩者的平均數是9.8的，兩者沒有差別.

生2：去掉極端值10后也許可以.

師：10是否都是兩組數據中的極端值？

生1：平均數為9.8，10不是極端值.

生3：乙滿分次數多，但是乙低分數據也比甲多.

生4：甲比較穩定.

師：怎么看出甲比較穩定？

生4：甲數據中往9.8靠的數據比乙多，所以甲比較穩定.

師：真不錯，兩組數據相差不大時，我們可以用數據波動的大小來分析，但是現在數據以表格呈現欠直觀，我們可以從什么角度去研究？

生（齊）：從形的角度.

教師引導學生畫出散點圖.

師：請大家結合圖1，探究能夠用哪一個量來刻畫數據的穩定性.（獨立思考4分鐘，小組交流2分鐘）.

生4：我們組認為與平均數這條基準線距離越大，波動越大.

師：這是從形的角度看，能否從數的角度表示？

生5：我們組認為每一個量與平均

數9.8的差值的和，和越大則越不穩定.

生7：是否要除以次數10？

生8：不需要，它們的和越大就越穩定.

師：不錯，利用差值的絕對值之和可以刻畫數據波動的程度.

設計意圖創設以射擊為情境，激發學生主動積極參與探究.通過閱讀材料思考，培養學生用數據說話的意識和習慣;同時通過問題調動學生運用原有知識經驗去設計挑選標準不能解決問題，引發學生的認知沖突，教師通過限時思考、小組合作、全班展示等形式激發學生進一步探究，讓學生在經歷數據分析過程中提出和發現問題，感受數形結合解決問題的優越性，不斷積累解決問題的經驗.

2.深交流，建規則

問題3：如表2所示，甲、乙兩名射擊隊員五次的射擊成績如下，你認為誰的波動大？

追問1：能否使用差值的絕對值之和刻畫甲、乙這兩組數據的穩定性？

追問2：散點圖上點到平均值這條基準線的距離實質是什么？

追問3：我們學過哪些知識可以求兩點之間的距離？

追問4：試用符號語言寫出問題3刻畫數據穩定性的公式？

設計意圖本活動再引發學生認知沖突，原來的“差值之和絕對值”不能解決問題，倒逼學生重新制定規則標準，在探究中過程中，教師做學生的合作者、引導者，激發學生更為主動去發現問題和解決問題，通過課堂上通過指向學生思維的深度和指向學生思維過程的四個追問使學生進行數學交流，制定不同的量刻畫數據波動的標準，滲透數形結合思想、從一般到特殊的思想及建模思想.

3.下定義，再運用

問題4：如表3所示，為了減少選拔優秀運動員參加比賽偶然性，以某個賽季的7次比賽總成績為依據進行選拔，數據如下：請你幫助教練選拔隊員.

師：能否使用問題3中得到的結論？

生9：不可以吧，他們的次數不同，

這樣不公平.

生10：大家的總分不同.

師：那有什么辦法？

生11：可以求他們的平均值，參加了多少次比賽就算幾次，穩定性應該不變.

師：不錯.數據量不統一，可以用平均數來解決.

設計意圖差值的平方的平均數不受統計次數的影響，引導學生繼續完善方差公式，歸納方差概念并從方差公式的結構上去理解方差的意義.培養學生有序思考，從驗證對不對向演繹合不合適轉變，體驗公式簡潔美，進而提升學生數據分析技能和數據分析評判質疑能力.

4.勤反思，善總結

通過本節課的學習請同學們回答什么是方差，方差有什么用，方差的具體計算步驟又是怎樣[5].

設計意圖引導學生從方差是什么、為什么、怎么用，理解知識的內涵與外延，弄清學習知識的必要性，掌握運用知識的思考順序，內化知識提升素養.

教學反思

從前述的“學為中心”的核心理念及踐行中看出，學生的數學交流素養得到明顯提升.數學交流素養的培養，需要根據數學課程的基本理念和學科特點、教學的主要目標和具體內容、學生的認知特點和實際情況，還有教師的風格和特長等，來選用教學方式和方法.例如，通過提出問題、引導探究、點撥反思等積極創設合作與交流的機會，就該課實施有三點思考：

1.精讀教材是進行數學交流的前提

教材開門見山地寫明“除了平均數、中位數、眾數這類型刻畫數據的集中趨勢的量以外，還有一類型刻畫數據波動程度的量，其中最重要的是方差.”此話表明刻畫數據波動程度的量不僅只有方差，但方差具有其優越性，那么其他刻畫數據波動程度的量如何取舍？這需要教師根據學情進一步合理選用;其次教材通過選用章引言問題情境隱性回答“為何學”——引入方差的必要性及合理性、“怎么學”——借助散點圖利用數形結合思想推導方差公式、“學什么”——從方差公式結構上探討了方差刻畫數據波動程度.

再次，讀章頭語明晰如下：一是平均數和方差分別是刻畫數據集中和波動程度的量，說明兩種刻畫數據的統計量同等重要，且兩者聯系密切.二是揭示了研究本章的需要有樣本估計總體的思想.又從“閱讀與思考”中，對極差、方差、平均差和標準差等刻畫數據波動的統計量進行介紹和比較，回答了為何方差在刻畫數據波動的量中的重要地位.

人教版教材中方差的篇幅不長，但其內涵不簡單：一是為什么要學方差？二是怎樣運用數形結合的思想，從數據集中的統計量平均數過渡到刻畫數據波動的統計量方差？這需要教師在整體觀下通過精讀教材處理局部知識與整體知識的關系，設計有思維規律的學習活動.

2.提出問題是進行數學交流的關鍵

數學交流需要從問題開始，問題的引領起著關鍵性的作用.需從學生最近發展區出發，設計具有邏輯性，理解性和有跨度性的問題，而非拼湊性、淺薄性、小步伐的問題，引導學生思考，幫助學生理解，發展學生思維能力.如本節課，筆者圍繞“為何學方差”“怎樣制定標準”“制定的標準是否合理”“新舊概念的辯證統一”設計四個為主線串聯起整節課的學習內容的母問題，不斷引導學生進行探究.同時在學生思維易受阻礙之處設置起點低、相對開放的、層次分明的一系列子問題鏈，激發思考、討論和探究，促進數學交流，有助于促進概念感知、理解和運用.如在問題2中學生難以直觀分析數據的波動程度時，學生思維難以切入時設置“數據以表格呈現欠直觀，我們可以從什么角度去研究？”，讓思維起步.又如在問題3中，通過追問“散點圖上點到平均值這條基準線的距離實質是什么”，撬開思維定式，讓學生“想得到”，從而促進深度思考.

3.相機點撥是進行數學交流的保障

“學為中心”并不是教師袖手旁觀或以練代講的課堂，亟須教師指導學生能動參與相應的教學活動和完成分析、歸納、比較、判斷、推理、想象等思維活動的過程，在內化知識過程中通過交流表達，不斷積累數學活動經驗，最終發展思維能力.意味著教師在組織學生獨立思考、小組合作研討及班級展示活動中，通過傾聽學生對話把握學生的思維邏輯，捕抓交流點，站在學生認知水平上給予評價、追問、示范等精當的學法指導，讓學生用數學的思維去理解問題.如在問題3探究中，不少學生現象知識和思路儲存于大腦卻表達不出來的舌尖現象，無法表達怎樣從平均差到方差思考過程.面對此現象教師可以通過學生自主探究和互評展示，抓住“點到直線之間距離”這一交流點，捕捉如“兩點之間線段最短”“點與點之間距離”等淺表性淺層次的交流，通過追問“是否兩點距離可以轉化直角三角形邊的長度”“勾股定理公式的運用”進而想得到用平方擴大數據間的差異，在教師的板演下概括出方差的意義：方差越大，數據的波動程度越大;方差越小，數據的波動程度越小.

“學為中心”理念下的教學要充分發揮學生的主觀能動性，圍繞能體現數學思維本質的有價值問題組織教學，引導學生積極進行數學思考活動，養成會閱讀、會思考、會表達的數學學習習慣，提升數學交流素養.

參考文獻：

[1]陳佑清.“學習中心課堂”教學過程組織的邏輯及其實現策略[J].全球教育展望，2016，45（10）：40-47.

[2]潘小梅.踐行學為中心提升核心素養——“中心對稱”的教學及其思考[J].中學教研（數學），2020（10）：1-5.

[3]劉永東.“傾聽+串聯”的數學交流方法探析[J].中國數學教育，2017（19）：3-6.

[4]卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版總社，2018.

[5]張瓊吉，劉永東，蘇德杰，許世紅.“方差”教學設計簡案[J].中國數學教育，2017（19）：9-11.