指向數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下的深度探究

趙軍

[摘要]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過學(xué)習(xí)者的動手實(shí)踐，在“做”數(shù)學(xué)的過程中理清思路、探明方法，體驗(yàn)解決問題的過程.通過深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]拼圖;多邊形內(nèi)角和;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);“做”數(shù)學(xué)

教材分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“基本活動經(jīng)驗(yàn)”的新目標(biāo)，指出“通過豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮每一種教學(xué)方式的育人價值，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展”[1].為了更好地幫助學(xué)生借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，蘇科版6本教材均配備了與知識緊密相連的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)手冊，在七年級下冊“7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和”第2課時就對應(yīng)設(shè)計了一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課：“探索多邊形的內(nèi)角和”，旨在通過學(xué)生的動手拼圖，讓學(xué)生在實(shí)踐活動中運(yùn)用分割圖形的策略去探索多邊形內(nèi)角和與其邊數(shù)之間的關(guān)系，并在實(shí)驗(yàn)操作的基礎(chǔ)上增強(qiáng)對問題的感性認(rèn)識，拓展思維能力，體會化歸思想.

學(xué)情分析

對于三角形的內(nèi)角和為180。，學(xué)生在小學(xué)階段就已經(jīng)熟知，在此基礎(chǔ)上，可通過將三角形紙片拼接四邊形、五邊形、六邊形，在知識和能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)操作體驗(yàn)，初步感受多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，并在拼圖活動的過程中，將方法遷移至對n邊形的分割，利用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和，感受轉(zhuǎn)化的策略.

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)

通過拼接三角形紙片、分割多邊形等活動，探索多邊形的內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和化歸意識.變“聽”數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)，變“被動接受”為“主動探究”.通過“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

實(shí)驗(yàn)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用三角形硬紙片進(jìn)行拼圖時，需在同一平面內(nèi)將相等的邊重合拼成凸多邊形，并在拼接的基礎(chǔ)上理解每多拼接一個三角形，其內(nèi)角和就增加180。.

難點(diǎn)：在對n邊形進(jìn)行分割時，分割點(diǎn)所在的位置變化及n邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)，在實(shí)驗(yàn)過程中體驗(yàn)化歸的思想方法.

實(shí)驗(yàn)工具

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)手冊七年級下附錄4配套三角形硬紙片若干、直尺、幾何畫板軟件.

教學(xué)過程

1.度量剪拼，初步體驗(yàn)

師：同學(xué)們，如圖1所示，這是一個三角形，你知道它的三個內(nèi)角的和是多少度嗎？

生（齊）：180°.

師：為什么呢？

生1：用量角器測量可以得到.

師（追問）：還有什么辦法？

生2：剪下三角形紙片，再剪下三個角并且拼在一起，通過觀察可以得到它們的和.

生3：把剪下的三角形紙片通過折疊可以得到答案.

師：請大家分組合作，展開探究.（一會兒的工夫，各小組紛紛舉手匯報）

生4（小組代表）：我們小組剪拼后發(fā)現(xiàn)三個角可以拼成一個平角.

生5（小組代表）：我們小組通過折疊三角形紙片（如圖2所示），將∠A，∠B、∠C分別折疊至AB邊上的∠2，∠3，∠1處，合起來就是一個平角.

……

師：在小學(xué)我們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和是180°的結(jié)論，下面我們接著通過拼圖來探究四邊形的內(nèi)角和.

點(diǎn)評讓學(xué)生在熟悉的問題上進(jìn)行回憶，通過動手操作，合作探究，加深對任意三角形內(nèi)角和為定值的理解，為實(shí)驗(yàn)探究四邊形、五邊形……n邊形內(nèi)角和做好鋪墊.

2.拼圖實(shí)驗(yàn)，歸納推導(dǎo)

師：請大家拿出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊附錄4中配套的三角形硬紙片，邊拼圖邊思考.如圖3所示，這是一張三角形紙片，大家都知道，它的內(nèi)角和是180°，如圖4，如果在同一平面內(nèi)用另一個三角形與它拼在一起（長度相等的一邊重合），拼成的四邊形的內(nèi)角和是多少度呢？

生6：360°.

師（追問）：為什么？

生6：因?yàn)檫@個四邊形內(nèi)角和可以分成兩張紙片6個角的和，即2個三角形的內(nèi)角和.

師：很好！如圖5，如果再拼一個三角形，形成的五邊形的內(nèi)角和呢？

生7：540°，是3個三角形的內(nèi)角和.

師：（追問）如圖6所示，六邊形的內(nèi)角和呢？

生7：是4個三角形的內(nèi)角和，720°.

師（繼續(xù)追問）：如圖7所示，n邊形呢？

生8：（n-2）·180°.

師（追問）：為什么？

生8：五邊形由3個三角形拼成，六邊形由4個三角形拼成……依此規(guī)律，n邊形由（n-2）個三角形拼成.

點(diǎn)評用硬紙片拼圖，讓學(xué)生動手操作，體驗(yàn)多邊形內(nèi)角和是由若干個三角形的內(nèi)角和組成的，在實(shí)驗(yàn)活動過程中體會數(shù)形結(jié)合的思想.

3.抓住頂點(diǎn)，直接分割

師：逆向思考，如果已知四邊形ABCD，如何求它的內(nèi)角和？

生9：可以將它轉(zhuǎn)化為三角形.

師（追問）：如何轉(zhuǎn)化？

生9：如圖8所示，連接BD（或連接AC），將其轉(zhuǎn)化為2個三角形.

師：很好！這就是一種化陌生為熟悉的化歸思路，如果是五邊形呢？

生10：將它分割成3個三角形.如圖9所示，連接DA，DB，將其分割為△DEA，△DAB和△DBC.

生11（搶著說）：只需要分割一次，將其分割成1個三角形和1個四邊形.

師（追問）：具體一點(diǎn).

生11（立即補(bǔ)充）：如圖9所示，可以看作分割成aBCD和四邊形ABDE.

師：很好！如果是n邊形呢？

生12：如圖10所示，將其分割成（n-2）個三角形，所以其內(nèi)角和是（n-2）·180°.

點(diǎn)評通過拼圖實(shí)驗(yàn)得到多邊形內(nèi)角和與其邊數(shù)之間的關(guān)系后，演變?yōu)閷⒍噙呅芜M(jìn)行分割，回歸至我們熟悉的三角形內(nèi)角和，體現(xiàn)了化陌生為熟悉的化歸思路.

4.變換位置，殊途同歸

師：同學(xué)們，下面我們借助幾何畫板來看看還有沒有其他的分割方法.如圖11所示，如果我們將圖10中n邊形的頂點(diǎn)A移動至它的內(nèi)部一點(diǎn)O的位置（教師操作演示），你能用含n的代數(shù)式表示出其內(nèi)角和嗎？請大家分小組進(jìn)行探究.

生13（小組代表冤：圖11中的分割方法是將n邊形分割成了n個三角形，但多了中間的一個周角，所以其內(nèi)角和為n·180°-360°=（n-2）·180°.

師：在分割時，我們將分割點(diǎn)從多邊形的頂點(diǎn)處改變至多邊形的內(nèi)部，除此方法之外，還可以怎樣改變點(diǎn)的位置進(jìn)行分割呢？有不同思路的同學(xué)可以上臺來體驗(yàn)一下.

生14上臺將點(diǎn)A拖動至多邊形一邊上的點(diǎn)P處，如圖12所示.

師：此時多邊形被分割成多少個三角形？如何推導(dǎo)出其內(nèi)角和公式？

生14：分割成（n-1）個三角形，但多了以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的一個平角，所以其內(nèi)角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

師：太好了！還有沒有不同的分割方法？

生15上臺將點(diǎn)拖動到如圖13所示的位置，點(diǎn)Q取在多邊形外部.

師（追問）：這種位置下如何推導(dǎo)其內(nèi)角和公式？

生15：此時最外圍的多邊形邊數(shù)比原多邊形邊數(shù)多1，其內(nèi)角和比原來多了一個△QMN的內(nèi)角和，所以原多邊形內(nèi)角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

師：分析得真好！事實(shí)證明，改變分割點(diǎn)的位置，我們都推導(dǎo)出了n邊形的內(nèi)角和公式.

點(diǎn)評無論是圖11中的內(nèi)部取點(diǎn)，四面分割，還是圖12中的一邊取點(diǎn)，發(fā)散分割;或者圖13中的外部取點(diǎn)，強(qiáng)行分割，都是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和予以解決，達(dá)到了化難為易、化陌生為熟悉的目的.

5.由內(nèi)到外拓展延伸

師：研究了多邊形的內(nèi)角和，我們再來看看它的外角和.如圖14所示，41，42，43分別是原三角形三個內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，如何計算這三個角的和呢？

生16：用三個平角之和減去三個內(nèi)角之和.

師（追問）：具體結(jié)果呢？

生16：3×180°-180°=360°.

師：如圖15所示，如果將圖14中的三角形改為四邊形，則其4個外角之和呢？

生17：4個平角之和減去四邊形的內(nèi)角和，即4伊180°-2×180°=360°.

師（追問）：如圖16所示，如果將三角形改為n邊形呢？

生17：n個平角之和減去n邊形的內(nèi)角和，即n×180°-（n-2）×180°=360°.

師：請用文字語言歸納上述結(jié)論.

生18：任意一個多邊形的外角和等于360°.

師：對！多邊形的外角和是一個定值，它不會隨著邊數(shù)的變化而變化.

點(diǎn)評通過對多邊形內(nèi)角和的探究，順勢進(jìn)一步延伸得出多邊形的外角和恒等于360°，結(jié)論水到渠成，學(xué)生在收獲驚喜之時，意猶未盡！

師：通過今天的實(shí)驗(yàn)探究，你有哪些收獲？說出來大家一起分享.

生19：我學(xué)會了拼圖計算多邊形的內(nèi)角和，并且會反過來對多邊形進(jìn)行分割.

生20：我體會到了轉(zhuǎn)化的策略，我們要善于將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題予以解決.

生21：我覺得對一個問題的探索需要智慧，更重要的是要自己動手，主動探究，學(xué)會化歸.

……

教學(xué)反思

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的直觀性體驗(yàn)

事實(shí)證明：“動手實(shí)踐”也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有很強(qiáng)的直觀性，參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的人感受于實(shí)踐，通過自己的親身體驗(yàn)獲得的“勞動成果”，印象會特別深刻，探究動力特別強(qiáng)烈.“動手操作”與“動腦思索”往往是同步的，如何動手操作？必須先動腦思索，通過“腦動”指揮“手動”，反過來，手動又會促進(jìn)腦動，激發(fā)思維，形成能力.所以動腦與動手往往同步進(jìn)行，協(xié)調(diào)發(fā)展，提升能力.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的直觀性體現(xiàn)在學(xué)生“做”數(shù)學(xué)的過程中能夠看得見、摸得著，有直觀的感受，其數(shù)學(xué)原理就蘊(yùn)藏在“做數(shù)學(xué)”的過程之中，“做”往往比“聽”理解更全面，認(rèn)知更準(zhǔn)確，體會更深刻，通過做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將人的各種認(rèn)知器官進(jìn)行全面調(diào)動，是學(xué)習(xí)效率很高的一種方式，其直觀性的優(yōu)勢盡顯無疑.

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的片斷化處理

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)不應(yīng)拘泥于時間的長短，它可以是一節(jié)完整的專題實(shí)驗(yàn)課，也可以是一堂課的過程中某一教學(xué)片斷，教學(xué)過程中可以按照實(shí)際需要進(jìn)行合理安排，所以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)該具有很強(qiáng)的靈活性.在本節(jié)課中，由一開始的有學(xué)生想度量三角形內(nèi)角和，到剪下三角形紙片的三個角拼成平角，再到折疊三角形紙片將其三個內(nèi)角拼成一個平角，都是不同情境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)片段，也是學(xué)生思維內(nèi)驅(qū)力下的自然流露.接著由三角形拼成四邊形、五邊形……n邊形，在逆向思維的引領(lǐng)下對多邊形進(jìn)行分割，最終過渡到幾何畫板對多邊形進(jìn)行分割，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從動手操作延伸至運(yùn)用幾何畫板軟件進(jìn)行操作，其過程不只是為了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)而進(jìn)行單純的實(shí)驗(yàn)，而是將“動手”實(shí)驗(yàn)的體驗(yàn)無縫對接到“動腦”思索為主線的探究，使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引領(lǐng)下成為問題探究的主人.因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)安排應(yīng)該因需而定，注重靈活性、實(shí)用性，對銜接的非實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容要做到思維主導(dǎo)、自然過渡.

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)代化融合

電腦的普及和現(xiàn)代科技的加入，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)不再是純粹的“實(shí)驗(yàn)”，我們可以將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過幾何畫板進(jìn)行操作，方便的同時又體驗(yàn)到了實(shí)驗(yàn)的真實(shí)性.本課例中，探究多邊形內(nèi)角和公式的思路是對圖形進(jìn)行分割，其方法是將多邊形分割成若干個熟悉的三角形，分割點(diǎn)取在哪兒？如果全靠動手畫、剪、算，操作不方便且不利于實(shí)驗(yàn)探究，但幾何畫板只要一根手指，將動點(diǎn)輕輕拖動，就可以任意改變分割點(diǎn)的位置，無論是從一個頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行分割，還是從多邊形內(nèi)部取點(diǎn)，或者從多邊形一條邊上取點(diǎn)，甚至在多邊形的外部取點(diǎn)進(jìn)行分割，幾何畫板都能輕松搞定.只要想得到，就能拖得到，幾何畫板讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)插上騰飛的翅膀，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更有活力與魅力.但凡事都有個度，如果我們一味地追求科技與方便而忽視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的初衷與本味，必將適得其反.實(shí)驗(yàn)源于動手，起于操作，在實(shí)踐中獲得認(rèn)知和靈感，所以原始的動手操作與現(xiàn)代的幾何畫板可以相互補(bǔ)充，相互融合，相得益彰.

4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的有效性延伸

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是通過感官體驗(yàn)，提升對問題的認(rèn)識深度和廣度，在實(shí)驗(yàn)操作的基礎(chǔ)上，通過實(shí)踐體驗(yàn)打通思維的瓶頸，拓寬思維的寬度，其根本目的是通過“做”數(shù)學(xué)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，并最終回到數(shù)學(xué)思維的軌道上來.從知識層面上來看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以讓我們在“做”數(shù)學(xué)的親身感受過程中領(lǐng)悟其中的思想與方法，將知識與技能有效提煉，使自身解決問題的思維有效延伸，為解決新的問題做鋪墊.從育人的角度來看，學(xué)生經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，能有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚醒孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，甚至愛上數(shù)學(xué).所以，從這個角度來看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有很好的育人功能和導(dǎo)向作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.