導(dǎo)彈伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)及穩(wěn)定邊界預(yù)示方法

高 陽(yáng)，史曉鳴，張宏程，江玉剛，涂 靜，趙 征

（1.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109； 2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109）

現(xiàn)代導(dǎo)彈日益增大的機(jī)動(dòng)過(guò)載及輕量化設(shè)計(jì)要求使得彈上穩(wěn)定控制回路權(quán)限逐漸放寬、彈體結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率不斷降低[1]，伺服控制與結(jié)構(gòu)振動(dòng)耦合導(dǎo)致的大幅伺服（彈性）振動(dòng)問題日益突出。吳云潔等[2]將導(dǎo)彈的彈性振動(dòng)信號(hào)視作剛體運(yùn)動(dòng)信號(hào)的噪聲進(jìn)行自適應(yīng)濾波處理。楚龍飛等[3]針對(duì)導(dǎo)彈1 階模態(tài)頻率的時(shí)變性提出自適應(yīng)結(jié)構(gòu)濾波器設(shè)計(jì)方法，用Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)分析了系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。張陳安等[4]在狀態(tài)空間內(nèi)耦合時(shí)域氣動(dòng)力、結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程與控制狀態(tài)方程，通過(guò)根軌跡法判別耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性。楊炳淵等[5]基于狀態(tài)空間法建立導(dǎo)彈的模態(tài)狀態(tài)方程和控制狀態(tài)方程，在時(shí)域內(nèi)用龍格-庫(kù)塔法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)值仿真，并借以判斷系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性，辨識(shí)穩(wěn)定性的臨界參數(shù)。許龍等[6]和李越群等[7]分別對(duì)導(dǎo)彈的俯仰/偏航通道和滾轉(zhuǎn)通道的振動(dòng)抑制和穩(wěn)定回路設(shè)計(jì)進(jìn)行了頻域仿真分析，并提出抑制導(dǎo)彈伺服振動(dòng)的改進(jìn)措施。

上述研究均是針對(duì)簡(jiǎn)化后的結(jié)構(gòu)/控制模型開展的數(shù)值仿真工作，實(shí)際工程型號(hào)的伺服振動(dòng)模型更為復(fù)雜，且還存在間隙、摩擦等結(jié)構(gòu)非線性以及舵偏指令限幅等控制非線性因素，導(dǎo)致數(shù)值仿真的結(jié)果并不能充分反映真實(shí)的情況，因此工程研制流程中必須開展伺服振動(dòng)地面試驗(yàn)以評(píng)估其穩(wěn)定性。史曉鳴等[8]用激振器掃頻激勵(lì)閉環(huán)試驗(yàn)揭示了導(dǎo)彈伺服振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)現(xiàn)象。國(guó)內(nèi)工程單位亦總結(jié)制定了中華人民共和國(guó)航天行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《防空導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)彈性抑制全彈模態(tài)試驗(yàn)方法》[9]和中國(guó)航天科技集團(tuán)公司標(biāo)準(zhǔn)《戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈伺服彈性試驗(yàn)設(shè)計(jì)規(guī)范》[10]為導(dǎo)彈伺服振動(dòng)地面試驗(yàn)提供了參考與指導(dǎo)依據(jù)。但上述標(biāo)準(zhǔn)中的試驗(yàn)方法均采用施加外部擾動(dòng)后檢查導(dǎo)彈振動(dòng)是否衰減的方法來(lái)定性地判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若要進(jìn)一步定量獲得發(fā)生伺服振動(dòng)的臨界增益值，就只有通過(guò)逐步提高控制系統(tǒng)的增益，直至進(jìn)入施加外部擾動(dòng)后彈體結(jié)構(gòu)等幅振動(dòng)的臨界狀態(tài)，此時(shí)的系統(tǒng)增益即為系統(tǒng)發(fā)生伺服振動(dòng)的臨界增益。然而在伺服振動(dòng)臨界、超臨界狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅度很大，彈上電流快速增大，極易導(dǎo)致彈體結(jié)構(gòu)以及彈上電子元器件的損傷。如何在較為安全的亞臨界試驗(yàn)數(shù)據(jù)中獲得有效的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，并從中外推預(yù)示出系統(tǒng)伺服振動(dòng)穩(wěn)定邊界，是當(dāng)前導(dǎo)彈伺服振動(dòng)試驗(yàn)研究中亟須解決的問題。

伺服振動(dòng)亞臨界地面試驗(yàn)及穩(wěn)定邊界預(yù)示的方法目前尚未見到公開報(bào)道。伺服振動(dòng)的本質(zhì)是圖1所示閉環(huán)反饋的自激振動(dòng)，因此可以借鑒同樣屬于自激振動(dòng)的顫振問題的亞臨界試驗(yàn)及邊界預(yù)示方法。穩(wěn)定性外推工作[11-12]是基于試驗(yàn)手段解決顫振問題的重要途徑，張偉偉等在綜述文獻(xiàn)[13]中全面詳細(xì)地評(píng)述了顫振亞臨界試驗(yàn)及穩(wěn)定邊界預(yù)示方法的研究進(jìn)展，其中阻尼外推法、包線函數(shù)法，物理概念清晰，只需要從亞臨界試驗(yàn)數(shù)據(jù)中識(shí)別出阻尼或衰減包線隨增益變化的規(guī)律即可預(yù)示邊界參數(shù)，是工程中常用的方法。

圖1 伺服振動(dòng)反饋回路

本文為解決當(dāng)前工程中導(dǎo)彈伺服振動(dòng)地面試驗(yàn)中存在的問題，提出導(dǎo)彈伺服振動(dòng)亞臨界地面試驗(yàn)及穩(wěn)定邊界預(yù)示方法。通過(guò)階梯變?cè)鲆娴膩喤R界試驗(yàn)獲取一系列不同駕駛儀增益條件下彈體結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)；應(yīng)用解析模態(tài)分解(Analytical Mode Decomposition，AMD)從彈體結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)中提取出彈體結(jié)構(gòu)的1 階彈性響應(yīng)，并用希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)實(shí)現(xiàn)伺服振動(dòng)系統(tǒng)的非參數(shù)辨識(shí)；根據(jù)伺服振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比和振動(dòng)信號(hào)包線函數(shù)形狀參數(shù)隨增益變化的規(guī)律外推預(yù)示伺服振動(dòng)穩(wěn)定邊界。試驗(yàn)及預(yù)示結(jié)果表明，本文方法只需要開展若干次亞臨界試驗(yàn)，即可通過(guò)對(duì)亞臨界狀態(tài)下的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)處理，有效準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出導(dǎo)彈伺服振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，具有良好的工程適用性。

1 基本理論

1.1 解析模態(tài)分解

解析模態(tài)分解[14]的本質(zhì)是一個(gè)自適應(yīng)帶通濾波器。解析模態(tài)分解能分解緊密間隔頻率成分的信號(hào)，應(yīng)用的前提條件在于確定帶通頻率范圍，適用于已知諧振頻率的伺服振動(dòng)系統(tǒng)本征模態(tài)信號(hào)提取。

對(duì)于一個(gè)實(shí)信號(hào)q(t)，設(shè)它包含n個(gè)頻率成分ω1，ω2，…，ωn的單頻率信號(hào)，一個(gè)頻率ωi對(duì)應(yīng)一個(gè)單頻率信號(hào)qi(t)，所以：

那么存在n-1 個(gè)二分頻率ωbi∈(ωi,ωi+1), i=(1,2,…,n-1 )，將q(t)分為高低頻的兩個(gè)部分

其中：

式中：si(t)為頻率小于ωbi的低通信號(hào)t)為頻率高于ωbi的高通信號(hào)。符號(hào)H[·]表示希爾伯特變換。

因此，單頻率成分信號(hào)可以表示為：

1.2 希爾伯特變換[15]求包絡(luò)線

定義解析信號(hào)Q(t)由原始信號(hào)q(t)及其希爾伯特變換構(gòu)成：

寫成幅值/相位形式：

式中：A(t)為瞬態(tài)振幅，同時(shí)表征原始信號(hào)q(t)的包絡(luò)線；ψ(t)為瞬態(tài)相位：

1.3 邊界預(yù)示方法

1.3.1 阻尼外推法

阻尼外推法以模態(tài)阻尼作為自激振動(dòng)是否發(fā)生的穩(wěn)定性判據(jù)。理想單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)衰減信號(hào)具有如下形式：

式中：ξ表示阻尼比，ωd表示振動(dòng)圓頻率，φ表示初始相位。由式(7)可知，該信號(hào)的包絡(luò)線（瞬態(tài)振幅）為：

由于結(jié)構(gòu)非線性、控制非線性尤其是舵系統(tǒng)非線性的存在，試驗(yàn)實(shí)測(cè)信號(hào)并不是理想單頻信號(hào)，解析模態(tài)分解后的信號(hào)仍然在模態(tài)頻率附近出現(xiàn)圖2所示的超諧波現(xiàn)象，時(shí)間歷程呈現(xiàn)“拍”的形式。針對(duì)這種現(xiàn)象，采用局部極值插值法[16](Local Maxima Interpolation，LMI)提取該信號(hào)包絡(luò)線的駐點(diǎn)dA/dt=0做指數(shù)函數(shù)擬合得到圖3中包絡(luò)線的包絡(luò)線(Envelope of Envelope，EOE)，根據(jù)EOE 的指數(shù)項(xiàng)系數(shù)-ξωd辨識(shí)伺服振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比。

圖2 實(shí)測(cè)信號(hào)的解析模態(tài)分解

圖3 原始信號(hào)、駐點(diǎn)、包絡(luò)線及包絡(luò)線的包絡(luò)線

1.3.2 包線函數(shù)法

包線函數(shù)法不需要識(shí)別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，直接用振動(dòng)響應(yīng)包絡(luò)線（包線函數(shù)）的形狀參數(shù)S表征系統(tǒng)阻尼大小。形狀參數(shù)的定義是包絡(luò)線在時(shí)間軸上形心位置的倒數(shù)S=對(duì)于單頻信號(hào)，現(xiàn)在普遍采用希爾伯特變換構(gòu)造包絡(luò)線A(t)=± ||Q(t)=±對(duì)應(yīng)的形狀參數(shù)表達(dá)式為：

式中：tmax為選取的所圍面積對(duì)應(yīng)的最大時(shí)間，由信號(hào)品質(zhì)和振動(dòng)衰減快慢決定。

理論上，形狀參數(shù)的取值范圍為[ 1/tmax,∞]。形狀參數(shù)S的減小意味著阻尼的降低。S＞2/tmax時(shí)，響應(yīng)衰減，系統(tǒng)穩(wěn)定；S=2/tmax時(shí)，響應(yīng)等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；S＜2/tmax時(shí)，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2 伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)方法

本文提出的伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)方法用地面綜測(cè)設(shè)備給駕駛儀裝定固定彈道點(diǎn)控制參數(shù)并給慣導(dǎo)、駕駛儀、舵機(jī)等彈上設(shè)備供電，用錘擊脈沖激勵(lì)彈體結(jié)構(gòu)振動(dòng)，用加速度傳感器采集彈體振動(dòng)響應(yīng)，試驗(yàn)系統(tǒng)布置見圖4。脈沖激勵(lì)下，模態(tài)坐標(biāo)上伺服振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)方程具有如下形式：

圖4 試驗(yàn)系統(tǒng)

式中：q表示模態(tài)坐標(biāo)，M、Cs、K分別為彈體結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度，f(q)表示控制系統(tǒng)對(duì)彈體的非線性作用力，G為駕駛儀控制增益。由于實(shí)際彈體結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼Cs較小可忽略不計(jì)，式(11)可改寫為：

在亞臨界狀態(tài)下，脈沖激勵(lì)后伺服振動(dòng)系統(tǒng)處于自由衰減振動(dòng)過(guò)程。系統(tǒng)振動(dòng)衰減快慢主要取決于等效阻尼力G·f中控制增益G，不同的控制增益對(duì)應(yīng)不同的伺服振動(dòng)系統(tǒng)阻尼。通過(guò)階梯變?cè)鲆娴膩喤R界試驗(yàn)獲取一系列不同駕駛儀增益條件下彈體結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，辨識(shí)亞臨界狀態(tài)下的系統(tǒng)阻尼并外推預(yù)示使系統(tǒng)阻尼為零的臨界控制增益。

結(jié)合亞臨界試驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)處理方法總結(jié)伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)及邊界預(yù)示方法的步驟為：

(1)用地面綜測(cè)設(shè)備給駕駛儀裝定固定彈道點(diǎn)控制參數(shù)，并給慣導(dǎo)、駕駛儀、舵機(jī)等彈上設(shè)備供電；

(2)對(duì)彈體施加脈沖激勵(lì)，利用加速度傳感器采集導(dǎo)彈彈體結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)信號(hào)；

(3)斷電，在亞臨界狀態(tài)下階梯增大裝定駕駛儀的控制增益，然后重復(fù)上述步驟(1)至步驟(3)開展若干組亞臨界狀態(tài)下的試驗(yàn)；

(4)濾除所采集振動(dòng)信號(hào)中的低頻剛體運(yùn)動(dòng)信號(hào)和高頻噪聲；

(5)對(duì)濾波后的信號(hào)在所關(guān)心的系統(tǒng)1 階諧振頻率附近設(shè)置合適的頻帶區(qū)間做解析模態(tài)分解；

(6)對(duì)解析模態(tài)分解后的信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換，得到瞬態(tài)幅值（包絡(luò)線）；

(7)基于阻尼外推法或包線函數(shù)法辨識(shí)每個(gè)控制增益條件下的系統(tǒng)阻尼；

(8)根據(jù)多組控制增益-系統(tǒng)阻尼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，外推預(yù)示使系統(tǒng)阻尼為零的臨界控制增益。

圖5 給出了上述亞臨界試驗(yàn)及邊界預(yù)示流程圖。

圖5 亞臨界試驗(yàn)及邊界預(yù)示流程

3 試驗(yàn)算例

為驗(yàn)證本文提出的伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)及邊界預(yù)示方法的有效性，對(duì)控制系統(tǒng)裝定固定彈道點(diǎn)參數(shù)狀態(tài)下的導(dǎo)彈全彈開展了伺服振動(dòng)試驗(yàn)。選取控制增益放大倍數(shù)K=1、5、10、15 共四個(gè)亞臨界試驗(yàn)狀態(tài)。

試驗(yàn)中脈沖激勵(lì)輸入由人工力錘敲擊給出，振動(dòng)響應(yīng)由加速度傳感器采集。加速度傳感器位于導(dǎo)彈慣導(dǎo)處，力錘激勵(lì)點(diǎn)位于靠近慣導(dǎo)的彈身中部。力錘采用B&K8206型力傳感器，加速度傳感器采用PCB333B30 型加速度傳感器用于采集加速度與力信號(hào)，采樣頻率2.56 kHz，采樣時(shí)間3.2 s。采用觸發(fā)方式，以力錘敲擊時(shí)間作為采集起點(diǎn)，并在觸發(fā)前預(yù)采集10%時(shí)間（即0.32 s）確保響應(yīng)信號(hào)經(jīng)數(shù)據(jù)處理后的完整性。由于試驗(yàn)狀態(tài)較多，本文選取K=1 原始控制增益對(duì)應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)為例介紹數(shù)據(jù)處理過(guò)程。

首先對(duì)原始振動(dòng)響應(yīng)做15 Hz～100 Hz 帶通濾波，再將濾波后的信號(hào)做50 Hz～60 Hz 解析模態(tài)分解，圖6 給出解析模態(tài)分解后信號(hào)的時(shí)間歷程以及頻譜圖，可以看出頻帶內(nèi)存在一明顯諧振峰值；繼續(xù)對(duì)該信號(hào)做希爾伯特變換，得到圖7所示的包絡(luò)線；歸一化包絡(luò)線的時(shí)間長(zhǎng)度，并擬合出圖8 所示EOE曲線。根據(jù)阻尼外推法，利用EOE曲線的指數(shù)項(xiàng)系數(shù)-ξωd求出阻尼比ξ=1.97%；根據(jù)包線函數(shù)法，利用包絡(luò)線計(jì)算出形狀參數(shù)S=6.075。

圖6 解析模態(tài)分解結(jié)果

圖7 振動(dòng)響應(yīng)包絡(luò)線

圖8 振動(dòng)響應(yīng)包絡(luò)線的包絡(luò)線

對(duì)控制增益放大倍數(shù)K=5、10、15條件下的振動(dòng)響應(yīng)重復(fù)上述步驟，最終得到表1 所示階梯改變的控制增益與兩個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 控制增益放大倍數(shù)與穩(wěn)定性判據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

基于最小二乘原理對(duì)控制增益放大倍數(shù)與穩(wěn)定性判據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系做擬合，外推出臨界穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)應(yīng)的控制增益放大倍數(shù)。臨界阻尼比ξ=0，臨界形狀參數(shù)S=2/tmax=2，圖9和10分別給出阻尼外推法和包線函數(shù)法擬合的外推曲線與臨界控制增益放大倍數(shù)。

圖9 阻尼外推法結(jié)果

圖10 包線函數(shù)法結(jié)果

阻尼外推法得到的臨界控制增益放大倍數(shù)K=21.6，包線函數(shù)法得到的臨界控制增益放大倍數(shù)K=19.0。兩種預(yù)示方法得到的臨界控制增益放大倍數(shù)K≈20，繼續(xù)階梯增加控制增益令放大倍數(shù)K=20以驗(yàn)證預(yù)示結(jié)果，得到的原始振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)如圖11所示。此時(shí)振動(dòng)響應(yīng)已經(jīng)呈現(xiàn)明顯的不收斂等幅振蕩趨勢(shì)，已達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)，證明K=20 十分接近臨界穩(wěn)定放大倍數(shù)，也驗(yàn)證了兩種預(yù)示方法的正確性。

圖11 20倍控制增益下振動(dòng)響應(yīng)

4 結(jié)語(yǔ)

(1)設(shè)計(jì)了階梯變?cè)鲆娴膶?dǎo)彈伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)方法：階梯改變駕駛儀控制增益放大倍數(shù)，獲取不同控制增益下彈體結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)衰減的變化規(guī)律。基于不同的控制增益條件，該亞臨界試驗(yàn)方法采集的振動(dòng)響應(yīng)可表征伺服振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，為辨識(shí)伺服振動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)提供輸入。

(2)提出了導(dǎo)彈伺服振動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)辨識(shí)及亞臨界試驗(yàn)穩(wěn)定邊界預(yù)示新方法：以階梯變?cè)鲆娴膩喤R界試驗(yàn)中不同控制增益下彈體結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)作為輸入，基于解析模態(tài)分解及希爾伯特變換方法辨識(shí)伺服振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)，根據(jù)伺服振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比和振動(dòng)信號(hào)包線函數(shù)形狀參數(shù)隨增益變化的規(guī)律外推預(yù)示伺服振動(dòng)穩(wěn)定邊界，實(shí)現(xiàn)伺服振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界預(yù)示。

(3)亞臨界預(yù)示試驗(yàn)結(jié)果與臨界試驗(yàn)結(jié)果的一致性表明，本文提出的伺服振動(dòng)亞臨界試驗(yàn)及穩(wěn)定邊界預(yù)示方法能有效評(píng)估導(dǎo)彈伺服振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，為導(dǎo)彈伺服振動(dòng)控制設(shè)計(jì)與評(píng)估創(chuàng)新性地提供了一種可信、有效的驗(yàn)證手段。