傾斜角影響下磁懸浮雙轉子系統的振動分析

萬雨初，朱由鋒，韓 隆，靳贊成

（1.山東科技大學 交通學院，山東 青島 266590；2.山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590）

雙轉子系統被廣泛應用于燃氣輪機和航空發動機等動力設備[1-2]，而使用磁懸浮軸承[3]取代傳統的滾動軸承作為系統的支撐，可以進一步提高其性能，這也成為近年來該領域一個重要的發展方向。

對雙轉子系統的振動行為進行分析是當下的研究熱點。Ebrahimi 等[4]根據拉格朗日方程推導出磁懸浮雙轉子系統動力學模型，研究了轉速、軸速比和重力參數對其動力學行為的影響。Chen等[5]分析了不同基座運動參數對雙轉子系統瞬態不平衡響應的影響。陳毅等[6]建立了雙轉子系統在復雜機動飛行環境下的動力學模型，并對該模型的正確性和適應性進行了驗證。此外，部分學者圍繞特殊工況下轉子-軸承系統的行為展開了研究。劉占生等[7]對臥式布置的轉子進行有限元建模，對不同傾斜狀態下滑動軸承徑向載荷引起的動力學行為變化進行了仿真分析和實驗驗證。李默等[8]研究了橫傾角對非對稱支撐的轉子-軸承系統的影響，發現徑向力因重力的重新分配而變化，繼而對系統穩定性產生了影響。

上述研究并未對立式布置的轉子-軸承系統的傾斜工況展開研究，而當磁懸浮雙轉子系統受到外部激勵時，傾斜角的存在使得轉子的運動變得更為復雜。為表征在以上特殊情況下轉子的動力學特性，本文建立傾斜角影響下的磁懸浮雙轉子系統的動力學模型，通過仿真分析轉速比和傾斜角等因素對系統振動特性的影響。

1 系統模型的搭建

1.1 磁懸浮雙轉子系統結構

航天器和車輛等安裝平臺在運行過程中因受到隨機激勵都會做出一定的響應，其響應會影響定子的運動。磁懸浮軸承固定連接在定子上，與轉子之間會產生相對位移。而轉子在旋轉過程中由于受到不平衡力[9]等各種因素影響，其自身的運動也會導致與磁軸承之間的相對位移。根據電磁力公式，電磁力作用到轉子上，重新調節轉子的位置，直至轉子達到穩定懸浮狀態。

本文建立存在外部激勵的系統10 自由度力學模型，即定子的1個垂直自由度，低壓和高壓轉子質心分別沿X、Y方向的運動以及俯仰、側傾運動共8個自由度，以及將雙轉子視為一個整體的沿軸向運動的1個自由度。

磁懸浮雙轉子系統結構如圖1所示。

圖1 磁懸浮雙轉子系統模型

圖1 中ms為定子質量，ks、cs分別為懸置定子的彈簧剛度系數和阻尼系數，q為定子所受到的激勵，θ為轉子Z軸與鉛垂線的夾角，β為鉛垂線在XY平面的分量與X軸的夾角，ω1和ω2為低壓和高壓轉子的轉速，kt、ct分別為中介軸承的剛度和阻尼系數。低壓轉子質心的五個自由度分別為沿X軸的位移x1，沿Y軸的位移y1，繞X軸轉動角度θ x，繞Y軸轉動角度θy，沿Z軸的位移z。高壓轉子質心的五個自由度分別為沿X軸的位移x2，沿Y軸的位移y2，繞X軸轉動角度φx，繞Y軸轉動角度φy，沿Z軸的位移z。A、B、C、D 分別代表四個磁軸承，磁軸承A、B 到低壓轉子質心的距離分別為l1、l2，磁軸承C到高壓轉子質心的距離為l3，中介軸承到高壓轉子質心的距離為l4，磁軸承B到中介軸承的距離為l5。

則低壓轉子在磁軸承A、B 上沿X、Y方向的位移，高壓轉子在磁軸承C 上沿X、Y方向的位移以及兩個轉子在磁軸承D 上沿Z軸的共同位移可表示為：

1.2 電磁支承力

一般采用對稱布置磁軸承的形式使得磁懸浮轉子實現穩定運動，這就形成一種差動的形式。磁軸承的差動電磁力公式[10]如下：

其中：u為空氣導磁率，S為有效磁面積，N為線圈匝數，I為偏置電流，δ為空氣間隙，i0為轉子處于非平衡位置時恢復到穩定位置時的控制電流，Δδ為定子相對于磁懸浮轉子位移改變值。

對差動電磁力公式進行泰勒展開即可得電磁力與勵磁電流及磁懸浮轉子位移的關系：

位移剛度和電流剛度分別為：

i0是關于Δδ的函數，采用的控制方式不同則函數的形式不同，在這里采用的是工業上較為成熟的PD 控制策略，kp和kd分別為比例和微分增益。其函數形式為：

綜上可得磁軸承在PD 控制策略下所提供的電磁力如下：

即：

1.3 激擾力

將安裝平臺和定子簡化為一個直接受到外部激勵的定子，該定子受到激勵q后會產生振動位移zs，其受到的外部激勵q為：

定子受到外部激勵后會產生微小運動，繼而改變與磁懸浮轉子之間的間隙，此過程可看作是激擾力f的作用，因定子和轉子的相對位移以定子位移改變為主，故可認為激擾力是由定子位移的改變而引起的，定子在各方向的位移改變值是根據定子的鉛垂線方向位移zs沿各個方向分解而來：

激擾力可被視為外部激勵，且為本文重點研究對象，故不作線性化處理，激擾力如下：

1.4 中介軸承力

本文以線性彈簧和阻尼器的并聯為連接低壓和高壓轉子的中介軸承[11]，其內外轉子間在X軸和Y軸的作用力分別為Fx和Fy。

1.5 磁懸浮雙轉子系統動力學方程

根據以上力學模型，得系統微分方程：

式中：下標1 和下標2 分別表示低壓轉子和高壓轉子，m1和m2為其質量，e1和2為其偏心距，φ1和φ2分別為其偏心距與自轉坐標系的夾角，Jd1和Jd2為其直徑轉動慣量，Jp1和Jp2為其極轉動慣量，m為低壓和高壓轉子的質量之和：m=m1+m2。

2 振動響應分析

磁懸浮雙轉子系統中的各參數取值如表1 所示。綜合考慮剛性轉子平衡精度標準IS0 1940劃分的不平衡精度等級和本文的研究情況，設定e1=4 μm，e2=3 μm，φ1=φ2=π/2。

表1 系統相關參數

通過MATLAB仿真軟件中4階龍格庫塔法對建立的系統10自由度微分方程進行數值分析，設定低壓和高壓轉子轉速ω1=ω2=20 rad/s，傾斜角θ=0°，得到低壓轉子的質心運動軌跡，如圖2所示。

根據圖2可以看出，轉子質心沿Z軸呈現螺旋下降的趨勢，并最終在-6×105μm位置處保持穩定運動，轉子之所以做圓周運動是因為在X-Y平面始終存在由于不平衡力激勵而產生的振動；而轉子在Z方向受重力和激擾力二者共同作用，在磁軸承的電磁力的不斷調整下，最終處于平衡狀態。

圖2 低壓轉子質心運動軌跡圖

由于轉子在Z方向主要受重力和激擾力影響，而決定其大小的傾斜角在改變不大的情況下，Z軸的振動響應基本不變，故接下來將分析低壓轉子在X-Y平面的動力學行為。

根據圖3（a）可以看出，轉子在X方向的最大振動幅值約為1.5 μm，呈現出周期運動的趨勢。從圖3（b）可以看出，轉子的運動軌跡呈現為一偏移的橢圓形，且最終實現較為穩定的運動狀態。

圖3 低壓轉子質心的時間歷程圖和X-Y平面運動軌跡圖

基于系統的特點，接下來將分析轉速比與傾斜角對系統振動響應的影響。

2.1 轉速比變化對雙轉子系統的影響

低壓與高壓轉子的轉速比不同會引起低壓轉子動力學行為的變化。選取θ=0°，取低壓轉子的轉速為20 rad/s，改變高壓轉子的轉速并觀察轉速比變化所產生的影響。

通過圖4可以看出，隨著轉速比的增大，轉子在X-Y平面的運動軌跡形狀從橢圓形趨向復雜化，逐漸呈現“花瓣狀”。

圖4 不同轉速比下低壓轉子質心在X-Y平面運動軌跡圖

2.2 傾斜角變化對雙轉子系統的影響

當轉子軸線與鉛垂線存在一定的夾角，即θ≠0°時，由定子位移所產生的激擾力和重力都會對轉子在X、Y方向的位移產生影響，從而導致轉子的動力學行為發生變化。取低壓轉子轉速ω1=20 rad/s，轉速比為1:1，取β=45°，即把激擾力和重力的影響在X軸和Y軸進行平分。研究θ的變化對轉子動力學行為的影響。

通過圖5 可以看出，隨著θ的不斷增大，轉子在X-Y平面的圓周運動的半徑逐漸增大，沿軸線的偏移距離也增大，并最終在平衡位置處做圓周運動，且軸線不斷向45°靠近。

圖5 不同傾斜角下低壓轉子質心X-Y平面運動軌跡圖

這是因為隨著傾斜角的不斷增大，重力和激擾力對X-Y平面的影響越來越大，越發起到主導作用。重力導致沿軸線的偏移距離增大，隨著磁軸承的不斷調整，最終使得轉子在重力于X-Y平面的分配值處做穩定的圓周運動。而來自激擾力的激勵增大了轉子的最大振動幅值，即增大了圓周運動的半徑。且由于設定β=45°，軸線不斷向45°靠近。

3 非線性分析

磁懸浮雙轉子系統中存在的不平衡力和激擾力等非線性因素可能會導致轉子產生一定的非線性振動，非線性振動會對系統的穩定性和安全性產生較大的威脅，所以在研究轉子響應時是不可忽略的方面。

3.1 轉速比對雙轉子系統穩定性的影響

轉速會導致不平衡力增大，為研究轉速與系統穩定性的具體關系，現以低壓轉子的轉速ω1作為分岔參數研究轉子振動響應的分岔過程。

由圖6（a）可以看出，隨著轉速的增加，系統依次經歷了不同的運動狀態。在轉速區間（0～400）rad/s 內系統為概周期運動，在轉速達到500 rad/s 時系統演變為混沌運動，隨后振動位移逐漸收斂，進入擬周期狀態。

圖6 不同轉速比下的轉速分岔圖

由圖7 可以看出，低壓轉子的龐加萊截面圖呈現發散的趨勢，故可判斷該轉速下，低壓轉子處于不穩定運動狀態。

圖7 低壓轉子龐加萊截面圖（轉速600 rad/s）

通過圖6（b）和圖6（c）可以看出，轉速比的增大降低了轉子進入混沌運動的轉速，當轉速比由1:1增大到1:1.5 和1:2 時，轉子進入混沌運動狀態的轉速從500 rad/s分別降低到400 rad/s和300 rad/s，即轉速比的增大會使得轉子的不穩定性增大。

3.2 傾斜角變化對雙轉子系統穩定性的影響

激勵q的頻率ω會使得非線性激擾力發生變化，故以激勵頻率ω作為分岔參數研究轉子振動響應的分岔過程。

當θ=0°時，非線性激擾力不對X-Y平面產生作用，故不受激勵頻率變化影響的低壓轉子將一直處于穩定的周期運動狀態。通過圖8（a）可以看出，傾斜角的存在使得轉子的運動狀態發生改變。系統在激勵頻率區間（34～45 和50～84）rad/s 內兩次進入失穩的混沌狀態，在其他區間則處于周期運動、概周期運動、倍周期運動交替進行的狀態中，系統較為穩定。

由圖9 可以看出，低壓轉子的龐加萊截面圖為散亂的點集，故可判斷該激勵頻率下，低壓轉子處于不穩定運動狀態。

圖9 低壓轉子龐加萊截面圖（激勵頻率70 rad/s）

通過圖8（b）和圖8（c）可以看出，轉子的徑向振動位移隨θ的增大而持續增大，但系統經歷了不同運動狀態的激勵頻率區間未發生變化，即傾斜角的變化對轉子穩定性基本無影響。

圖8 不同傾斜角下的激勵頻率分岔圖

4 結語

本文建立了傾斜角影響下的磁懸浮雙轉子系統10自由度動力學模型，通過為系統添加外部激勵進行仿真分析，得到以下結論：

（1）轉子質心沿Z軸呈現螺旋下降的趨勢，并最終圍繞重力的平衡位置進行穩定的上下振動。

（2）轉速比和傾斜角的增大均會增大轉子到達平衡位置前沿軸線的偏移距離。不同的是，轉速比的增大會使軸心運動軌跡形狀變得更為復雜；而傾斜角的增大會增大圓周運動的半徑，即最大振動幅值，同時傾斜角還會改變軸線的角度。

（3）轉速比的增大降低了系統進入混沌運動狀態的轉速范圍，即降低了系統穩定性；傾斜角的存在使得系統隨著激勵頻率的增加而產生不同的運動狀態，但傾斜角的增大僅增大其振動幅值，對穩定性無影響。