多元表征：促進兒童數學思維發展

吳鑒勉

數學表征是指學生對學習的數學知識進地記錄、儲存、改組的方式，是學生運用某種形式將數學概念或關系表達出來的過程。多元表征是指根據實際情況靈活運用各種不同的表征方式。在數學教學中積極合理地使用多元表征，有助于學生準確把握數學知識的本質，促進他們的思維深度發展。不同學者對表征的分類不同，如美國學者萊什等人提出，表征可以分為現實情境、實物操作、圖像、口頭語言、文字符號等五種；布魯納根據兒童的思維水平，將表征分為動作表征（借助實際操作活動進行思維）、圖像表征（借助腦海中的心像進行思維）和符號表征（直接對數學符號進行思維操作）。雖然表征的分類不同，但從縱向來看，它們之間存在著層次遞進性；從橫向來看，它們之間又存在著相互關聯性。在運用多元表征的教學中，不少教師過于注重表征的多元化，卻忽略了表征方式的層次性與關聯性，導致學生數學思維的發展呈現出淺表化、片面化、局限性等特點。他們在面對具體問題時，不善于將不同的表征進行轉換，從而無法找到與問題解決相適應的表征方式，長此以往，將不利于學生數學思維的發展。針對上述現象，筆者提出如下教學策略。

1.引導學生有序表征，提升數學思維的層次性

數學思維是學生對已有知識經驗進行改組、重建的過程，具有個體建構性。隨著認識的逐步深化，個體的數學思維也會逐步得到發展。在數學教學中，教師要遵循知識發展與學生認知發展的規律，引導學生有序展開多元表征，逐步提升他們數學思維的層次性。例如，蘇教版一上第五單元“認識10 以內的數”使用了實物情境表征（例1 出示的情境圖片）、圖像表征（圓圈）和符號表征（相應數字）。首先，學生可以通過實物情境表征感受到數學與生活的緊密聯系，數學知識來源于生活；其次，用圓圈代替具體實物，學生通過圖像表征對概念進行半抽象，開始體會到數字表示的數量意義；然后，引導學生通過符號表征理解數字符號與數量之間的對應關系。通過引導學生展開有序表征，能促進他們對數學概念的理解從具體走向抽象，逐步提升數學思維能力。

2.溝通不同表征方式之間的聯系，增強數學思維的整合性

萊什等人指出，學生學習概念時的表征方式是多元的，除了實物操作以外，其他幾種表征方式在促進學生理解概念的過程中也發揮著重要作用。在教學中，我們不應片面強調某一種表征方式，而應站在整體視角，努力打通不同表征方式之間的聯系，這將有助于增強學生數學思維的整合性。例如，學習蘇教版五下“偶數”時，學生可以有多種不同的呈現方式。（1）圖形表征：▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲……；（2）數字表征：2，4，6，8，10，12，14，16，18……；（3）文字表征：在自然數中，是2 的倍數的數叫作偶數；（4）符號表征：2n。其實，偶數的各種表征方式之間也有關聯，其他三種表征方式都與文字表征具有內在一致性，教師應注意淡化形式，在凸顯知識本質的過程中促進學生思維的發展，不斷增強學生思維的整合性。

3.實現不同表征方式的轉換，提高數學思維的靈活性

所謂思維的靈活性，是指學生能根據具體問題解決的需要，在不同的表征方式之間靈活地做出轉換。在教學中，可以引導學生在解決問題的過程中實現文字表征與其他表征方式的相互轉化，提升其數學思維的靈活性和問題解決能力。例如，在執教蘇教版三上《解決實際問題——從條件開始想起》一課時，筆者出示圖1，讓學生對這段文字進行加工，形成自己的表征方式。學生的反饋如圖2—圖5 所示。基于解決問題的需要，學生在理解文字信息，特別是“以后每天都比前一天多摘5 個”這一條件時，需要調動已有的認知經驗與方法，借助圖形、算式等不同表征方式來加工文字表征。在這個過程中，學生在文字、圖形等表征方式之間靈活地轉換。在加工與建構的過程中，學生不僅深刻理解了條件的含義，也提高了數學思維的靈活性。

（圖1）

（圖2）

（圖3）

（圖4）

（圖5）

總之，數學知識的多元表征之間有著內在的聯系，教師要注意運用整體、比較的眼光，找準不同表征方式之間的聯系，通過恰當的組織與引導，讓外在表征有序、整體地內化為學生的內在表征，從而提升學生數學思維的層次性、整合性、靈活性，促進學生數學思維的發展。