基于實測數據的復合材料層合板熱導率預測方法

張肖肖，張賜寶，秦強，叢琳華

中國飛機強度研究所，陜西 西安 710065

隨著復合材料（復材）在飛機制造領域的使用日益廣泛[1-2]，在考慮復材傳熱性能進行熱應力分析或者環控系統等相關設計時需要復材不同溫度下的熱導率數據。由于復合材料的各向異性和可設計性，即使對于相同基體、相同纖維、相同纖維體積分數組成的復合材料，由于其鋪層順序不同，導致其熱導率數據存在差異，并且在X向、Y向和Z向呈現出顯著差別。通過試驗測試可以獲取復材試樣不同方向的熱導率，但必須制造測試試樣，此外存在測試周期較長、測試對硬件條件依賴度高等問題，對于采用新的鋪層順序設計的層合板，又需要重新制造試樣進行測試，不能滿足結構設計中的縮短周期需求，無法支撐復材結構優化、環控系統設計等的快速評估迭代，因此需要研究復合材料層合板不同方向熱導率的預測方法。

目前，有多種碳纖維復合材料面內和厚度方向熱導率計算模型[3-5]。李仕通[3]梳理了在不同鋪層角度情況下碳纖維復合材料（CFRP）單向鋪層面內和厚度方向熱導率計算模型及測試方法，分析了不同樹脂體系和增強體，以及工藝方法等因素對CFRP熱導率的影響。鐘軼峰[4]采用單胞變分漸近均勻化方法構建了一種新的細觀力學模型來預測非均質復合材料的有效熱導率，該模型并不適用于由單向鋪層組成的復材層合板。李仕通[5]還研究了鋪層角度對三種復材層合板導熱性能的影響規律，采用解析方法、有限元方法，以及數值擬合方法建立了碳纖維復合材料導熱性能預測模型，并與試驗數據進行了驗證分析，其研究的是單向鋪層并非混雜鋪層。以上研究多針對單向鋪層預測，并且普遍依賴基體和纖維的熱導率數據，因此在使用前需要先獲取基體、纖維的相關數據，不能直接以一般混雜鋪層試樣的實測數據分析出單向鋪層熱導率，更難以應用于混雜鋪層熱導率的預測。參考文獻[6]在對復材蒙皮與內飾組合結構熱阻預測過程中，將特定混雜鋪層的復材Z向熱導率實測值進行擬合來預測不同溫度下的熱導率，并未對Z向熱導率與各角度鋪層之間的關系進行探討。目前也有采用有限元法來預測復合材料有效熱導率的相關研究[7-11]。例如，程磊[7]建立以不同體積球形顆粒填充型復合材料模型，預測了相應顆粒體積填充量下的有效熱導率，該模型不能用于預測纖維增強層合板的熱導率預測。左可軍[9]研究了平紋編織結構的三維纖維隨機模型，該模型可給出三維編織復合材料的等效熱導率，并不對X、Y、Z向進行區分。有限元法預測則對分析模型的準確性要求更高，十分依賴使用者的經驗，不易操作，適用于計算顆粒增強型、編織體型等微觀結構更為復雜的復合材料熱導率。目前缺少能夠直接根據一般混雜鋪層層合板熱導率實測數據對未測試的混雜鋪層試樣在X、Y和Z向熱導率進行預測的方法。

本文基于穩態傳熱理論，建立復材層合板Z向、X/Y向熱導率與單一角度鋪層熱導率的關系式，按照線性方程組求解和統計思想，從少量實測熱導率數據中計算得到單一角度鋪層的熱導率平均值，再根據該關系式來計算待測試樣的熱導率預測值，最后通過對比實測值與預測值的相對誤差，分析本文預測方法的正確性。

1 Z向熱導率預測方法

Z向傳熱串聯模型如圖1所示，Z向熱導率預測方法的計算思路如圖2 所示。對于每一個熱導率實測數據Ke，其對應試樣的等效熱阻

圖1 Z向傳熱串聯模型Fig.1 Series‐wound thermal conduction model in Z‐orientation

圖2 Z向熱導率預測方法示意圖Fig.2 Scheme of the prediction method for thermal conductivity in Z‐orientation

式中:d為復材試樣厚度。由于在激光導熱儀（LFA）的激光脈沖作用下試樣的溫升幅度很小，可以認為各鋪層的溫度相同，因此相同角度鋪層的熱導率相同，同時由于各鋪層厚度相同可以得到相同角度鋪層的熱阻相同。根據串聯熱阻理論，可以得到試驗件等效熱阻等于各向鋪層的熱阻之和

式中:下標代表單一鋪層角度；Rt為復材試樣的等效熱阻；N為試樣中當前角度鋪層的總層數；R為相應角度鋪層的熱阻，式(2)消去單層厚度后認為R=K-1，K為該角度鋪層的熱導率，此時Rt=Nt/Ke，Nt為試樣鋪層層數。

對于每一個混雜鋪層試樣的實測數據，都可以根據式(2)得到一個以R0、R45、R-45、R90為未知數的四元一次方程。求解4個未知數至少需要4個方程聯立，從同一溫度下各個試樣實測數據對應的四元一次方程中進行任意組合，這樣的方程組一共有C4n個（n為當前溫度下實測數據的個數），每一組方程組均為以下形式

式中:上標代表不同樣本的編號。

根據線性代數理論，線性方程組AX=B的解為X=A-1B，前提是矩陣A滿秩，每求解一組式(3)表示的方程組便得到一組R0、R45、R-45、R90的值。求解所有存在數學解的方程組，考慮到熱阻均大于0，再篩選出滿足物理意義的數學解，形成大樣本的各向鋪層熱阻數據，便得到分別關于R0、R45、R-45、R90數值的4 個樣本。再計算得到此樣本的平均值，便得到了不同溫度下-45°、45°、0°和90°鋪層熱阻平均值、。然后，根據待預測試樣的鋪層順序，再次采用串聯熱阻理論，計算得到當前鋪層復材的熱阻預測值

再結合該試樣鋪層層數N便可得Z向熱導率預測值

2 X/Y向熱導率預測方法

X/Y向傳熱并聯模型如圖3所示，根據傳遞的總熱量一致，可以建立以下方程

圖3 X/Y向傳熱并聯模型Fig.3 Shunt‐wound thermal conduction model in X/Y‐orientation

式中:下標代表單一鋪層角度；N為相應角度鋪層的層數；A為相應角度鋪層的橫截面積；x為試樣厚度；Atotal為試樣總截面積；Ke為復材試樣的等效熱導率；ΔT為熱端與冷端的溫差。式(6)可進一步簡化為

式中:r代表各角度鋪層占總層數的比例。

當得到一批試樣的實測數據之后，可以利用式(7)參照Z向熱導率的預測方法求出同一溫度下-45°、45°、0°和90°鋪層熱導率平均值，然后再利用式(7)求出待預測鋪層的X/Y向熱導率。但是，從式(7)中可以看到，X向或Y向熱導率與不同角度鋪層的占比有關，由于LFA 檢測區域內包含的只是一部分鋪層（見圖4），測試獲取的并不是試樣整體沿X向或Y向的等效熱導率，并且受檢測區域形狀影響，不同角度鋪層在其中的位置不同則橫截面積不同，式(7)并不適用，單層鋪層對測得的熱導率數據的貢獻跟其處在檢測區域中的位置有關。

圖4 LFA檢測區域示意圖Fig.4 Sketch map of detection area of LFA

當試樣為單一角度θ鋪層時，如純0°鋪層、純45°鋪層，由于該角度所有鋪層的總面積等于試樣總面積，式(7)可以簡化為

式中:Kθ為該角度鋪層的熱導率。從式(8)可以看到，對于單一角度鋪層的試樣，測得的熱導率可以認為是該角度鋪層的熱導率。通過測試由單一角度鋪層組成的層合板X向和Y向熱導率，就可以采用式(7)對常規非單一角度鋪層的熱導率進行計算。由對稱性可知，0°鋪層的X向和Y向熱導率應分別與90°鋪層的Y向和X向熱導率相同，而45°鋪層的X向和Y向熱導率與-45°鋪層相同，因此在實際測試中只需要測試純0°鋪層和純45°鋪層的試樣在X向和Y向的熱導率，就可以采用式(7)預測采用常規鋪層方式的試樣的熱導率。

3 熱導率測試

試樣為88種采用不同鋪層方式的復合材料層合板，平面尺寸分為8mm×8mm和10mm×10mm兩種，厚度2～6mm，每種試驗件有兩件，共計176件，用于測試Z向熱導率的試驗件有28種共56件，用于測試X/Y向熱導率的試驗件均為30 種共60 件。試驗件外形如圖5 所示，取樣方向如圖6 所示，部分鋪層信息見表1，X向和Y向試樣中包含純0°和純45°鋪層試樣，其余均為一般混雜鋪層，并且除單一角度鋪層試樣外，X向和Y向試樣的鋪層順序是Z向試驗鋪層的若干次循環疊加，以滿足測試對試樣平面尺寸的要求。每件試驗件依次進行-70℃、-50℃、-30℃、-10℃、10℃、30℃、50℃、70℃、90℃共9種溫度環境下的熱導率測試。測試裝置為耐馳LFA467激光導熱儀（見圖7）。

表1 試樣鋪層順序Table 1 Stacking sequence of test samples

圖5 試樣Fig.5 Test samples

圖6 取樣方向Fig.6 Sampling orientation

圖7 LFA467激光導熱儀Fig.7 LFA467 laser flash apparatus

4 預測值與實測值對比

首先利用表1 中Z向試樣實測得到的28 種鋪層在9 種溫度環境下的Z向熱導率實測數據（共計252個），以及X/Y向試樣實測得到的30種鋪層在9種溫度環境下的X/Y向熱導率實測數據（X、Y向各270個），按照前述熱導率預測方法計算得到各試樣在相應溫度下的熱導率預測值。為分析熱導率預測方法的預測精度，對比實測值與相應鋪層順序下的預測值之間的相對誤差，相對誤差按式（9）計算

將預測值與實測值的相對誤差分別在1%、3%、5%、10%、15%和20%以內的數據個數進行統計，計算不同相對誤差范圍內的數據占比，三個方向預測值與實測值相對誤差分布情況如圖8～圖10所示。由此可以看到，在當前測試數據下96%的Z向熱導率和97%的X向熱導率預測值和實測值相對誤差在20%以內，85%的Y向預測值和實測值相對誤差在20%以內。相較于參考文獻[5]中基于纖維和基體熱導率，采用三種預測模型得到的單向鋪層熱導率預測結果與實測結果之間僅有40%（parallel model）、67%（network model G）、7%（network model H）的數據相對誤差在20%以內，本方法預測精度較高。此處X向和Y向熱導率預測值是采用純0°鋪層和純45°鋪層的熱導率數據按照式(7)進行預測的，在前述內容中提到對于一般混雜鋪層，LFA測試到的不是試樣整體沿X向或Y向的等效熱導率，之所以預測值仍然與LFA 實測值整體比較接近，是由于用于測試X向和Y向熱導率的試樣鋪層方式為一定鋪層順序的循環排列，因此檢測區域的傳熱特性與整體的傳熱特性比較接近。

圖8 Z向預測值與實測值相對誤差分布情況Fig.8 Distribution of relative error between the predicted and test value in Z‐orientation

圖9 X向預測值與實測值相對誤差分布情況Fig.9 Distribution of relative error between the predicted and test value in X‐orientation

圖10 Y向預測值與實測值相對誤差分布情況Fig.10 Distribution of relative error between the predicted and test value in Y‐orientation

5 結論

針對一般混雜鋪層的復合材料層合板，提出了預測其X向、Y向和Z向等效熱導率的預測方法，指出了LFA 在測試層合板X/Y向等效熱導率方面的局限性，得到了以下結論:

（1）混雜鋪層層合板等效熱導率與單向鋪層熱導率的關系可以用X/Y向熱導率并聯傳熱模型、Z向熱導率串聯傳熱模型描述。

（2）LFA 在測試單一角度鋪層試樣X/Y向熱導率時可以認為測得的是等效熱導率，而測試一般混雜鋪層X/Y向熱導率時測得結果并不代表等效熱導率。

（3）提出的復材層合板三向熱導率預測方法不依賴纖維和基體數據、不包含復雜參數、適用于混雜鋪層試樣，預測精度較高。