基于中空三棱柱透鏡測量液相的擴散系數

盧英杰，徐金輝，陳麗潔，吳科延，黃曼莉，羅國平，古 迪

(廣東石油化工學院 理學院，廣東 茂名 525000)

折射和擴散現象在生活中十分常見，液相的折射率及擴散系數是液相物質的重要參量，借助液相折射率可了解液相的光學性能、濃度、色散和純度等性質，而擴散系數是描繪不同濃度的液相之間的質量傳遞行為的物理量，反映了物質分子或原子等擴散速率的大小，在化學電池、生物燃料、生物化學和細胞生物學等科學及工程領域均有著重要應用[1-4]. 擴散系數可基于菲克第二定律間接求解由溶液擴散引起的濃度變化而得，該方法屬于通過分析測量溶液濃度變化而得到擴散系數的非穩態測量法[5]，其測量結果較為準確. 常用于液體折射率測量方法包括阿貝折射儀測試法[6]、激光折射法[7-9]和等高度測量法[5,10]等. 本文在高等測量法的基礎上，利用三棱柱液柱透鏡對光線的折射作用，測量特定時刻特定高度的擴散層的折射率，即可求解待測液體的擴散系數. 此外，本實驗項目可作為大學物理設計性實驗或拓展實驗，可有效鍛煉學生的實驗操作能力，還能培養學生開展實驗的探究性思維.

1 實驗原理

菲克第一定律由菲克于1855年提出，表述為：在單位時間內通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質流量J(稱為擴散通量)與該截面處的濃度梯度成正比.其表達式為

(1)

擴散物質在擴散介質中的濃度分布隨時間發生變化的擴散常稱為非穩定擴散，其擴散通量隨位置與時間變化.對于非穩態擴散，可根據物質的平衡關系建立第二擴散微分方程.在非穩態擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等于該處的擴散通量隨距離變化率的負值，即菲克第二定律，其表達式為

(2)

如果擴散系數D隨x變化不大，可近似看成常量，則式(2)可寫為

(3)

其中,t為擴散時間.固溶體中溶質原子的擴散系數D隨濃度變化，但為了方便求解擴散方程，可將D看作恒量處理.根據初始條件和邊界條件，采用變量代換法求解擴散方程可得：

(4)

E(β)=0.007 3β6-0.085 9β5-0.373 8β4-

0.661 1β3+0.084β2+1.124 5β-0.005.

(5)

在實驗過程中通過測得擴散液體高度x及對應時間t，即可求得擴散系數D.

2 實驗裝置

本實驗裝置如圖1(a)所示，包括：紅光一字型激光發射器(650 nm，5 mW),焦距為30 cm的凸透鏡,41 mm×35.5 mm×49.8 mm的中空三棱柱液柱透鏡(厚度為2.491 mm)和光屏. 具體實驗過程如下：1)由激光器發射的線狀光束經凸透鏡轉化為平行光束后，穿過透鏡內的液體后會發生折射，最后到達光屏；由于光通過液柱透鏡時發生折射，將在光屏D上顯示出光束隨著時間變化的曲線；2)利用VCdemo(維視采集卡演示程序)軟件控制攝像機(內置CMOS)拍攝固定位置處180個時間間隔(固定間隔為30 s)的實驗圖像，通過MV-U2000圖像采集卡采集并存儲每個時刻的照片數據，觀察并分析不同時刻的數據,最終得到液體擴散系數.

“1959年，我與石魯奉調北京創作革命歷史畫。我們一起住在雨兒胡同白石老人的故居。當時我接到的創作題目是《毛澤東同志在廣州農民運動講習所》，他接到的題目是《轉戰陜北》。開始創作時，我就遇到技術上的問題，農講所頂樓的大塊瓦片怎么才能表現出層次？石魯告訴我，不要考慮那么多西洋畫的透視觀念，他讓我用傳統國畫的方法，一層層地按照瓦片的結構畫。為此他還給我示范，邊講邊畫，畫了農講所，還畫了石頭、竹子等南方景觀，我于是受到啟發。至今他為我畫的這幅草稿還藏在我家里。”

如圖1(b)～(c)所示，由于本實驗配置的鹽水濃度較小，三棱柱液柱透鏡內液體的擴散可簡化為一維問題來處理，可看作擴散僅在豎直方向上發生，則同一高度處的液面薄層濃度近似相等，因此由激光器發射而來的光束僅在平行于y-O-z面的平面內發生折射. 圖1(b)～(c)中的a表示三棱柱內表面的距離，本實驗器材中的a最大為34.64 mm，遠小于光線在擴散層內發生較大且明顯彎曲的值[11].

(a)實物圖

3 實驗結果及分析

3.1 鹽水折射率的測量

實驗過程中，先將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內；接著用膠頭滴管將純水緩緩注入鹽水表面；純水注入完畢后靜置一段時間，再開始記錄實驗圖像. 同時，激光發出的光束經過凸透鏡后平行于水平面，在液體不同深度均有光線通過. 由于鹽水與純水的濃度差，隨著2種液體擴散，形成擴散層，液體分界面將變得模糊. 擴散層中的液體，不同深度則濃度不同，其折射率隨深度增加而變化，形成動態分層. 由圖1(b)所示，實驗前測量出實驗儀器的相關參量：中空三棱柱液柱透鏡的厚度d=2.491 mm,入射棱柱面與y軸的夾角α=28.93°,出射棱柱面與y軸的夾角β=30.63°,內頂點與x軸的垂直距離y0=32.0 mm,發射光源與x軸的垂直距離y1=29.0 mm,光屏與坐標系原點的水平距離x5=260.0 mm.根據光穿過液柱透鏡發生折射而產生的偏移量|y1-y5|與待測液體的折射率n3之間的關系，得到待測液體折射率n3,實現了測量特定時間、特定位置處的液體薄層的折射率的目的.

如圖2所示，將測量數據輸入光路模擬程序中，即可得到|y1-y5|與折射率n3之間的關系曲線.

圖2 |y1-y5|與折射率n3的關系曲線

經指數擬合得到|y1-y5|=0.392 3e4.319 2n3，從而可推出其反函數為

(6)

顯然，只需測出光發生折射后所產生的偏移量|y1-y5|，將其代入式(6)，即可得到液體的折射率n3.

3.2 鹽水在純水中擴散系數的測量

本實驗屬于非穩態液相擴散系數的測定方法. 實驗步驟如下：1)將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內；2)靜置一段時間后用膠頭滴管將純水緩緩沿內壁注入鹽水表面；3)將純水與鹽水剛接觸時的時間記為t=0 s[圖3(a)]，每30 s采集擴散圖像，共采集180組數據圖像. 在純水緩慢注入的過程中；當t=330 s時，鹽水和純水的折射曲線較為穩定，邊界清晰，如圖3(b)所示.

(a)0 s (b)330 s

圖3(a)～(d)為光屏所記錄不同時刻的折射曲線，不同時刻折射曲線的彎曲程度不同，得到了鹽水在純水擴散的動態過程. 實驗過程中，通過不同時刻的折射曲線，進一步測得其偏移量. 如圖4所示，左上方的1條豎線(直線MN)為直接穿過液柱透鏡的空氣部分的光束在光屏上的投影，右側曲線(曲線ABCDE)為穿過三棱柱液柱透鏡中擴散液體時發生折射后所產生的折射率分布曲線圖.a.清水部分(直線AB)的折射率因液體濃度未改變而一直呈1條豎直的直線，從清水下方的擴散層開始至分界面附近(曲線BC)，折射率梯度將逐漸增大，即隨深度的增加而光線向下彎曲的程度越大直至最大(即曲線的拐點處)，接著從分界面處至鹽水上方的擴散層處(曲線CD)，折射率梯度將逐漸減小，即隨深度的增加，光線向下彎曲的程度越小；b)鹽水部分(直線DE)因液體濃度未變而呈1條直線.

圖4 偏移量的測量示意圖

由于實驗條件的限制，實驗裝置本身存在的儀器誤差難以避免，導致所得數據和理論值之間存在誤差.所以，該實驗選取了4組不同濃度的鹽水進行校準.通過測量實測值和理論值之間的誤差，對本實驗所測得的數據進行修正，從而得到更準確的實驗效果.因此，在測得光經過擴散液體而發生折射的偏移量|y1-y5|后，需利用表2測得的誤差平均值(-5.8 mm)對其進行校準，從而得到更準確的實驗數據.

表1 理論值與測量值的誤差

實驗過程中所選擇的溶液高度要適當，如過高，溶液濃度變化較小，導致圖像的寬度變化較小，易造成較大的計算誤差；如過低，溶液濃度梯度變化較大，此時擴散系數D是關于濃度的函數，不能將其看作常量，此時菲克第二定律不成立. 為確定合適的高度觀測范圍，隨機選取不同高度處的液面薄層在4個不同時刻的測量數據，將其作為已知量代入式(3)，分別得到對應時刻、不同高度處液面薄層的擴散系數，并與參考文獻值進行比較，可得到相對誤差. 最后將這些誤差進行線性擬合，得到4個時刻不同高度處液面薄層測得的擴散系數相對誤差擬合直線，如圖5所示. 若使測得數據的相對誤差接近于0，x應選取2.2～2.9 mm范圍為宜. 因此，選取10組處于2.2～2.9 mm高度范圍內的液面薄層計算其擴散系數，并統計擴散系數的平均值，如圖6所示.

(a)1 800 s

圖6 不同高度處測得的擴散系數

擴散系數均勻分布在1.37×10-3～1.63×10-3mm2/s之間，且10組擴散系數的統計平均值為1.50×10-3mm2/s，與文獻值1.49×10-3mm2/s[5]相近，說明該實驗具有可行性.

4 結束語

本文通過三棱柱液柱透鏡中液相擴散層的光束折射到光屏上獲得折射率分布曲線，由折射率分布曲線計算出液體的折射率；根據菲克第二定律在一維無限長擴散下的解，測得2 mol/L鹽水在純水中的擴散系數為D=1.50×10-3mm2/s，該實驗測量值與文獻參考值1.49×10-3mm2/s相一致. 該方法所需儀器簡單，實驗結果準確性較高. 在測量液體折射率和擴散系數的基礎上，可以在食品、日用化學產品及制藥工業等領域有較好的應用潛力.