淺談高中數學開放題研究

趙春林

一、開放題的特點

數學開放題是最富有教育價值的—種數學問題的題型。它具有以下幾種最突出的特征：

（1）內容的豐富性。開放題題材廣泛，涉及面寬，貼進學生生活實際，背景新穎，內容深刻，解法靈活，不像封閉性題目那樣簡單、乏味，單靠純記憶、套模式來解題。

（2）形式的多樣性。開放題呈現的形式多樣化，除文字敘述外，還可以用表格、圖畫、對話等形式來安排設計，綜合性強，不像封閉性習題形式那樣單一地呈現和呆板的敘述。

（3）思路的發散性。由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，并通過多角度、全方位的分析探索，從而獲得多種結論。

（4）教育的創新性。其解題思路具有發散性，為學生提供了充分發揮創新意識和創新精神的時空途徑。

數學開放性題是近年高考命題的一個新的亮點，其解法靈活且具有—定探索性。這類題型按解題目標的操作模式分為：規律探索型、問題探究型、數學建模型、操作設計型、情景研究型。如果“未知的”是解題假設，那么就稱為條件開放型;如果“未知的”是解題目標，那么就稱為結論開放型：如果“未知的”是解題推理，那么就稱為策略開放型。

二、數學開放題的分類與設計策略

（1）對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素（條件、依據、方法、結論）出發，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題;如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情景中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。

（1）條件開放題，即未知的要素是條件。

例2：1999年全國高考題：α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：① m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：_________。這就是一個非常開放的問題，學生可以根據自己原有的認知水平，得到不同的方案。①m⊥α，n⊥β，α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β這樣的問題設計有助于培養學生的創新意識，發展創新能力。

（2）結論開放，即未知的要素是判斷。

例3：用實際例子說明? 所表示的意義。

給變量賦予不同的內涵，就可得出函數不同的解釋，我們從物理和經濟兩個角度出發給出實例。

1.X表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時后質點以10m/s的初速度作勻加速運動，加速度為2m/s2，5秒鐘后質點以20m/s的速度作勻速運動，10秒鐘后質點以-2m/s2的加速度作勻減速運動，直到質點運動到20秒末停下。

2.季節性服飾在當季即將到來之時，價格呈上升趨勢，設某服飾開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售，10周后當季即將過去，平均每周削價2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數概念的形成，一般是從具體的實例開始的，但在學習函數時，往往較少考慮實際意義，本題旨在通過學生根據自己的知識經驗給出函數的實際解釋，體會到數學概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放。其思維的多向性、靈活性顯露得淋漓盡致，學生不但可以鞏固知識，培養技能，而且更可以有表現自己創造力的機會。

（3）策略開放，即未知的要素是推理。

例4：①若有兩張長方形的桌子，把它們拼成一張長方形桌子，有幾種拼法？

先讓學生把表格中的前4項填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？

學生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人;②桌子無論增加幾張，左右兩側始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側都可坐4人，故有（4n+2）人;③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每兩張桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人;④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問題的設計給學生的不同見解留下了足夠的空間，學生可以在自己原有的知識結構中進行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。

四、開放題對教師的轉化作用

（1）開放題對教師觀念的轉變。開放題的出現以及對其教育功能的肯定，一方面反映了人們數學教育觀念的轉變;另一方面適應了飛速發展的時代的需要。實際上反映了人們對于數學教學新模式的追求，是人們站在新時代歷史的高度上對數學教育改革的新探索。

（2）開放題對教師角色的轉變。在開放題教學中，教師的角色定位，即在教學過程中，教師不是教學活動的主角，而是“編劇”和“導演”;不是知識的傳授者，而是教學內容和教學活動的設計者、促進者、示范者、組織者、調控者。

五、數學開放題對數學教學的意義

數學開放題作為一種教學思想反映在以下幾個方面：

（1）數學開放題強調了數學知識的整體性。封閉式的例題、習題式的數學教學僅停留在分類介紹技巧和方法的水平上，指向知識、技能、原理和它們的適用性，往往會導致學生對某個結論或方法的記憶。它重視的是學生計算、演繹等嚴格推理的能力，忽視的是培養學生的數學實踐，尋找相似性等非形式推理的能力。

（2）數學開放題強調了數學教學的思維性。封閉的數學題教學面向事實性的知識和程序性的技能而不是強調高層次的技能，而數學開放題作為一個教學思想強調和反映學生高層次的能力和開放性、創造性的思維。

（3）數學開放題強調解決問題的過程。數學開放題教學與封閉的數學題教學的另一不同點是側重學生解決問題的思路和策略而不是問題的答案，側重學生獲得解答的過程。因為在數學教學中，不僅要注意其產物，而且要注意其過程，注意對學生解決問題的思路的分析。

（4）數學開放題強調了學生在教學活動中的主體作用。數學開放題把數學教學建立在學生的學習基礎之上，更能反映出學生的主動性和創造性，反映出學生的主體作用，有利于改變以教師為中心的教學方法。

（5）數學開放題有利于提高學生學習的積極性，提高學習的內在動力。數學開放題提供學生一種數學活動，在活動中展示和提高自己的數學才能，在活動中交流體會，增強主體意識，在解決問題的過程中感受到數學的美感和解決問題的趣味。