落實過程教育 提升數學模型素養

焦麗英

一、引言

過程教育旨在促進學生全面、和諧發展，關注數學結果形成、應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后反思過程的育人活動。數學模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變換規律，求出結果并討論結果的意義。人教版《數學》九上第二十二章第3節“實際問題與二次函數”，內容豐富與實際生活聯系緊密，非常適合過程教育并提升模型思想。

本節課圍繞的教學關鍵問題——怎樣增強學生通過分析實際問題而建立數學模型的能力而開展教學。

二、教學背景分析

本節課的主要內容是從實際背景出發，提出數學問題，并運用函數模型表示數量關系和變化規律，從而解決實際問題。解決這類問題的關鍵是學生能夠將實際問題轉化成數學問題，并選取適當的模型（方程、不等式、函數）等來描述變量之間的關系，進而分析問題、解決問題。

在這一過程中，問題串使實際問題抽象為數學問題的過程具體化、條理化，有助于學生體會和形成解決此類問題的思路。

通過本節課的學習，將有助于培養學生將實際問題轉化成數學問題的能力，體會模型思想在數學學習中的重要作用。體現了模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑的作用。

1.目標分析

通過以上分析，將本節課的教學目標確定為：通過對實例的探究，經歷從現實生活或具體情境中抽象出數學問題的過程，總結出利用二次函數模型解決實際問題的方法，發展數學模型思想的素養。

2.基本思路

本節課設計主要分為三個探究活動

探究1：解析式角度建立模型

首先呈現用彩帶圍矩形的實際背景，鼓勵學生提出數學問題，通過問題串引導學生分析其中的數量關系（矩形面積與一邊長的關系）和變化規律（矩形面積隨一邊長的變化而變化），并根據已有經驗和知識確定用函數來表示這種數量關系和變化規律，再利用函數的性質解決問題，進而引導學生歸納利用二次函數模型解決實際問題的方法和步驟。

探究2：圖象角度建立模型

秋千是學生熟悉的游戲，激發學生興趣和探究欲望。秋千繩子自然下垂呈拋物線狀，自然的想到建立二次函數模型解決問題。由于先有拋物線，所以要把拋物線放到坐標系中，將已知條件轉化為點的坐標，合理地設出所求函數解析式，建立函數模型。多種方式建立坐標系和建立恰當的坐標系為學生留有較開放的思考空間，多種解法間的比較，取其最簡，體現數學最優思想。

讓學生體會模型的建立不僅可以從數量關系角度分析也可以從圖象角度分析，提高分析問題建立模型的能力，積累活動經驗。

探究3：鞏固方法深化思想

籃球是學生喜歡的體育活動，通過對投籃問題的解決，進一步歸納模型建立的過程和總結模型建立的方法，深化模型建立的意義。

通過對以上三種生活背景的探究，貫穿一個思路就是，讓學生感受生活背景，提出與數學有關的問題，并結合以往經驗和知識，利用數學方法解決，體會解決此類問題是生活的需要，也是數學學習的需要。各種背景下的問題，讓學生嘗試解決，在解決的過程中逐漸體會，這些問題的解決都是應用二次函數模型來求解的，認識二次函數的實用價值。 回顧解決問題的過程，總結模型建立的步驟，為后續學習提供經驗和方法。

三、教學過程

探究一的教學過程

學校舉行趣味運動會，學校邀請了多名家長參加，體育老師準備用總長為 60 m 的彩帶圍成矩形場地，供家長休息。鼓勵學生提出與數學有關的問題，場地面積最大問題逐步轉化成二次函數問題。

過程及方法歸納——解決本題的主要過程：（1）根據實際背景發現并提出問題（2）解決問題（3）分析題目中的變量與常量（4）根據幾何圖形的面積公式建立函數模型（5）結合函數圖象及性質，考慮實際問題中自變量的取值范圍，求出面積的最大（小）值 （6）若圖象不含拋物線的頂點，則應根據函數的增減性來確定最值。

探究二的教學過程

小明喜歡蕩秋千，他爸爸想在家里給他制作一個秋千，院子里有兩棵樹，測得兩棵樹相距2 m，小明身高1米。拴繩子的地方距地面的高都是2.5 m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1 m的小明距較近的那棵樹0.5 m時，頭部剛好接觸到繩子。

學生感受問題背景，學生提出與數學有關的問題。問題預設：秋千栓2.5米，小明可以自己坐上去;秋千最低點離地面多高等。呈現問題——繩子的最低點距地面的距離

探究三的教學過程

四、本課小結

本節課作為初中階段模型思想建立的典型內容，來源于學生的實際生活，著眼于學生認知基礎，圍繞“怎樣增強學生通過分析實際問題而建立數學模型的能力”這一教學關鍵問題，主要采取了以下兩個策略：

1.問題引導，自然建模

2.多法擇優，成于比較

五、反思提升

經過本節課的教學，并結合學生在模型建立和應用中出現的問題，我對于日常教學進行了一些思考：日常教學中，怎樣增強學生通過分析實際問題而建立數學模型的能力？

1.把握知識體系，培養學生通過分析實際問題而建立模型的能力

2.經歷知識探究完整過程，培養學生通過分析實際問題而建立模型的能力

3.注重思維總結，培養學生通過分析實際問題而建立模型的能力

總之，作為一名數學教師，我們要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學方法。數學建模問題應表現出建模的全過程，而不僅僅是解決問題;數學建模選用的問題最好有較為寬泛的數學背景，有不同層次，以便于不同水平的學生來參與，并注意問題的開放性和可擴展性;應鼓勵學生在問題分析、解決的過程中使用現代信息技術;提倡教師自己動手，因地制宜地收集、編制、改選數學應用或已有的數學建模問題，以便更適合學生使用，并根據學生的實際情況采取適當的教學策略。