多狀態燃氣電力可修系統主算子的性質

唐 慧，楊翔宇

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130032)

0 引言

多狀態可靠性模型能夠更真實、更精確地描述工程系統，多狀態可靠性模型逐漸成為可靠性領域研究的熱點問題.目前多狀態可修系統分析方法有很多，如史躍東等[1]以模糊多狀態船用汽輪發電系統為研究對象，利用模糊狀態理論和發生函數算法建立了一種復雜裝備系統的模糊多狀態可靠性模型，給出了系統可用度的評估.史躍東等[2]針對時變需求約束下多狀態裝備系統，通過構建邏輯報酬矩陣體系給出了一種系統可靠性累計特征分析與評估的通用解算方法.張婷婷等[3]利用離散馬爾可夫過程方法研究了一個具有M+1個狀態的系統，并給出在狀態i時的可靠度函數、平均壽命以及剩余壽命的解析表達式.王麗花[4]、EI-DAMCESE[5]、MANGEY[6]等根據系統實際假設和狀態轉移圖，結合廣義馬爾可夫過程理論建立了一個系統狀態微分方程組，并給出了穩態可用度及其數值算例.目前相關研究多注重于系統可靠性特征分析，而對于系統模型的分析較少.基于此，本文在文獻[6]基礎上對系統模型的主算子進行分析，并利用共尾理論和算子半群理論證明了系統主算子的譜上界與其生成半群的增長界相等.

1 系統模型

利用補充變量方法和馬爾可夫過程理論，MANGEY[6]給出了由發電機、燃氣輪機、壓縮機、燃燒室、燃料和噴嘴等六個不同的部件組成的多狀態燃氣電力可修系統模型.該系統包含三種狀態，即良好狀態、退化狀態和故障狀態.系統只有一個修理設備，當系統發生故障時，可由修理設備對其進行修復，并且系統修復如新.在初始階段，假設系統所有部件都處于良好狀態，系統狀態轉移過程如圖1所示.

圖1 狀態轉移圖

系統狀態說明：狀態0表示所有組件良好且均正常工作，即狀態為良好狀態；狀態1表示壓縮機故障，故障率為λCP，其他部件正常工作，即系統處于退化狀態；狀態2表示燃燒室故障，故障率為λCB，其他部件正常工作，即系統處于退化狀態；狀態3表示輔助燃氣輪機故障，故障率為2λGT，其他部件正常工作，即系統處于退化狀態；狀態4表示噴嘴故障，故障率為λNZ，其他部件正常工作，即系統處于退化狀態；狀態5表示由于人為故障而導致的故障狀態，人為故障率為λH；狀態6表示由于缺失燃料而導致的故障狀態，燃料的可用性故障率為λNF；狀態7表示由于發電機故障而導致的故障狀態，發電機故障率為λG；狀態8表示由于主燃氣輪機故障而導致的故障狀態，主燃氣輪機故障率為λGT.

此系統模型可以由下面的微積分方程組描述：

邊值條件：

P5(0,t)=λH[P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P6(0,t)=λNF[P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P7(0,t)=λG[P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P8(0,t)=λGT[P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)].

初值條件：

P0(0)=1，其余為0.

其中，Pi(t)表示時刻t系統處于狀態i的概率，i=0,1,2,3,4；Pj(x,t)表示時刻t系統處于狀態j且修復時間為x的概率，j=5,6,7,8；λG表示部件發電機的故障率；λGT表示部件燃氣輪機故障率；λCP表示部件壓縮機故障率；λCB表示部件燃燒室故障率；λNF表示燃料的可用性故障率；λNZ表示部件噴嘴故障率；λH表示人為故障率；μ表示狀態j到良好狀態的修復率.

其中,a0=λH+λCP+λCB+2λGT+λNZ+λNF，a1=a2=a3=a4=λG+λH+λGT+λNF，Pj(x)絕對連續,j=5,6,7,8，D(B)=X.因此系統可以轉化為Banach空間X中的抽象Cauchy問題：

2 系統主算子性質

定義1 設集合C為集合E的子集，若對任意的f∈E，存在g∈C，使得f≤g，則稱C在E中共尾.

定義3 設B是一個正的C0半群(T(t))t≥0的生成元，則稱

為算子B的增長界.

定理1D(A)在X中稠.

定理2 主算子A是預解正算子.

證明 對于任意的Y∈X，考慮算子方程(γI-A)P=Y，即

(γ+ai)Pi=yi,

解上述方程可得

其中，i=0,1,2,3,4,j=5,6,7,8.

結合邊界條件，可得

定理3 當γ≥-μ時，γ∈ρ(A).

同理，

綜上可知，

定理4 當γ<-μ時，γ∈σ(A)，并且s(A)=-μ.

由文獻[9]易知，X的對偶空間X*如下：

定理5 主算子A的對偶算子A*為

其中，Qj(x)∈L∞(R+)絕對連續.

證明 對?P∈D(A)，?Q∈X*，有

[-(λH+λCP+λCB+2λGT+λNZ+λNF)Q0+λHQ5(0)+λNFQ6(0)]P0+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q1+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P1+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q2+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P2+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q3+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P3+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q4+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P4+

定理6 系統的主算子A生成一個正的C0半群，并且s(A)=ω(A)=-μ.