基于MRS 的股指期貨最優分位數套期保值研究

于孝建梁柏淇徐維軍

(1.華南理工大學經濟與金融學院,廣東廣州 510006;2.華南理工大學金融工程研究中心,廣東廣州 510006;3.華南理工大學工商管理學院,廣東廣州 510640)

1 引言

股指期貨作為一種基礎性的風險管理工具,通過對沖股票頭寸,可以降低股票組合價值波動的不確定性,使投資者規避股市下行風險.如何計算期貨與現貨之間的最優套期保值比率,一直是學術界和金融界關注的重點.近年來,中國股指期貨交易規則多次松綁,投資者可以以更低的資金成本管理頭寸風險,這促進了套期保值需求的滿足和市場運行效率的提高.同時,隨著期貨市場逐步對外開放,外部環境的不確定性也加劇了市場波動風險.為適應中國股指期貨常態化交易進程、實現精準化套期保值,需要分析各類市場情況適用的套保比率.因此,本文研究重點在于,當市場波動狀態不同以及現貨收益率所處分布的分位點不同,套期保值比率會如何變化.

為研究最優套期保值比率,早在20 世紀60 年代,Johnson[1]基于投資組合方差最小化原則提出最小方差(minimum-variance,MV)套期保值比率.MV 目標函數的估計不受統計分布假設的約束,可為多種估計套保比率的方法提供基礎,如最小二乘法(OLS)、協整和誤差修正法(ECM)和條件異方差方法(ARCH、GARCH).實際應用中,學者們比較了不同方法之間的優劣.如Lien 等[2]、Cotter 等[3]和Copeland 等[4]研究多個股指期貨市場發現,由于GARCH 模型方差預測變化較大,其套保比率存在高波動性的不足,因而OLS 套保比率顯著優于GARCH 套保比率.Ghosh[5]通過似然比檢驗和樣本外預測證明,考慮協整關系的ECM 套保比率優于OLS 模型.王駿等[6]、佟孟華[7]和Armeanu 等[8]的研究也得到了相似的結論.

上述套期保值比率的計算多使用均值回歸分析法,主要關注現貨收益與期貨收益間的平均關系,僅考慮了收益率分布的集中趨勢,忽視了期貨和現貨收益率在不同分位上的關系,導致在其他分位的對沖效率較低.為此,林旭東等[9]運用分位數回歸方法,研究滬深300 期現合約仿真交易的OLS 套保比率,發現套保比率隨著分位數的增加先是逐漸增大后逐漸減小.Lee 等[10]將分位數協整回歸應用到石油現貨市場和期貨市場的協整性、因果關系和市場效率研究.放松林旭東等[9]、Lee 等[10]分位數模型截距項在各分位不變的假設后,Lien 等[11]估計20 種期貨在15 個分位點的套保比率,發現分位數套保比率取決于現貨收益分布,在現貨分布兩端較小,呈倒U 型,且U 型程度因不同商品和不同頻率數據而異.Shrestha 等[12]進一步將分位數回歸拓展至能源市場,并計算分位數套保效率1F?llmer 等[13]提出在一定成本約束下獲得最大化成功對沖概率的分位數套期保值方法,該方法可看作最小化在險價值(VaR)的動態版本,即最小化套保組合的分位數風險,這與文中提及的分位數套期保值有很大差異.F?llmer 等[13] 方法廣泛應用于降低壽險公司的系統性死亡風險[14?16]和期權的套期保值研究[17?19]..許啟發等[20]指出,完整地描述隨機變量變動規律需要依賴于分布函數,而分位數回歸能夠揭示在不同分位點處變量之間的異質影響關系.這些研究表明,分位數回歸不僅能像均值回歸那樣刻畫平均套保比率,還能展示不同分布下極端分位的比率大小,從而實現更精準的套期保值.

然而,股票市場普遍存在著高波動狀態和低波動狀態,資產收益的均值和方差往往會隨時間和市場狀態發生變化,因此在套期保值時需要考慮市場所處狀態.Sephton[21]研究指出,馬爾科夫狀態轉換(MRS)模型可以適度控制狀態變化的頻率,同時有效捕捉市場狀態的特性,從而將整個市場波動樣本劃分為多個子周期.運用MRS-OLS 模型,Alizadeh 等[22]研究富時100 和標普500 指數期貨的套期保值比率發現,MRS-OLS 套保效率優于OLS 模型和ECM 模型.趙華等[23]分析常轉換概率和時變轉換概率下中國銅期貨市場的套保比率,結果表明,兩種概率下高波動狀態的穩定性、持續時間均低于低波動狀態,狀態轉換的套期保值模型均優于單一狀態套期保值.

考慮現貨和期貨數據協整關系保持不變,偏離長期均衡狀態的誤差修正項受馬爾科夫鏈控制且具有時變性,學者們使用MRS-VECM 模型研究現貨和期貨市場的動態關系.Chiang 等[24]研究發現,MRS 協整方法的均方誤差遠小于傳統協整方法,更能反映股票指數與期貨間的長期關系.Li[25]假設期現市場間的套利行為會增加兩個市場的波動性,將滯后期期貨和現貨價格偏差的絕對值作為市場方差指標,在計算時變轉換概率時賦予近期市場動量更大的權重.對美國標普500、英國富時100 和德國DAX 30 指數現貨和期貨研究表明,高波動狀態下套利交易引起的價格調整規模大于低波動狀態.該方法的局限性在于,外生設定滯后期期現價格偏差的權重,導致市場不論t ?1 時刻處于何種狀態,t時刻處于高波動狀態的概率都會增加.Hache 等[26]運用短期殘差的方差協方差矩陣計算短期MRS-VECM 模型,分析兩種狀態(標準狀態和危機狀態)下WTI 原油現貨和期貨價格的動態關系,發現投機交易會增加危機狀態出現的概率.Balcilar等[27]和Allen 等[28]應用MRS-VECM 模型進一步分析原油期現價格間的格蘭杰因果關系.現有研究表明,MRS 模型通過引入波動和協整之間的信息聯系,允許期現收益均衡關系的調整隨時間變化,可以靈活應用于多種期現市場關系的研究.

從上述研究可以看出,由于指數期貨和現貨收益率之間的關系既會隨分位不同發生變化,也會隨市場所處波動狀態的不同而改變,因此同時考慮不同市場狀態下最優分位數套期保值是一個改進的方向.本文在分位數回歸基礎上,構建基于馬爾科夫狀態轉換的分位數回歸模型.主要工作如下:第一,將Shrestha等[12]的分位數回歸拓展至高、低波動狀態,允許不同分位點上的套保比率依賴于狀態變化,考慮市場新信息的加入對分位數套保比率的影響.第二,不同于Li[25]、Hache 等[26]研究方法,本文沒有限定轉換概率的滯后期權重或使用短期模型,而是采用一般化MRS-ECM 模型,使所有參數同時隨市場狀態和分位不同而變化,可以更細化地計算套期保值比率.第三,為進一步驗證分位數回歸相對均值回歸的優勢,不僅計算了Shrestha 等[12]提出的分位數套保效率,還基于損失函數最小化法給出最小方差套保效率的分位數計算方法.本文將以上方法應用于中國股指期貨套期保值研究,計算基于馬爾科夫狀態轉換的最優分位數套期保值比率及其效率.結果發現,在高波動狀態和低波動狀態下,分位數套期保值均優于最小方差套期保值.

2 套期保值比率的計算方法

令St和Ft分別表示t時刻下現貨和期貨價格,?St=ln(St)?ln(St?1)和?Ft=ln(Ft)?ln(Ft?1)分別表示t ?1 至t時刻現貨和期貨的對數收益率.

2.1 單一狀態套期保值模型

2.1.1 最小方差套期保值比率

假設H為套期保值比率,在套期保值中投資者持有的期末組合收益率為RHt=?St ?H?Ft.最小方差套期保值比率(HMV)可以通過最小化RHt方差得到

為了估計HMV,建立?St關于?Ft的回歸模型

其中α為截距項,εt為誤差項.

采用OLS 方法得到的β估計值即為HMV估計值.

當期貨和現貨收益序列之間存在協整關系時,OLS 模型估計出的套保比率是有偏的.為此,可引入誤差項建立誤差修正模型(ECM)估計套保比率,即

基于ECM 模型的套保比率估計值即式(3)中β的估計值,記為HECM.式(3)中?St和?Ft的滯后階數由AIC 信息準則確定.

2.1.2 分位數套期保值比率

分位數回歸是由Koenker 等[29]提出的一種半參數回歸方法,旨在尋找每個分位點下因變量條件分布與自變量之間的關系.在線性分位數回歸中,隨機變量Y的連續累積分布函數為FY(y)=Pr(Y≤y).Y的第τ個分位值為

假設L(θ(τ))表示期望損失函數,參數θ(τ)可以表示為

通過線性規劃法可以得到參數θ(τ)的估計值

LS(θ(τ))是參數θ(τ)的樣本損失函數,下標S 指樣本.

Koenker[30]證明,在誤差項獨立的弱條件下,參數向量θ(τ)的估計值是漸近正態的,可以使用自舉法計算分位數回歸參數及其置信區間.

2.2 考慮狀態轉換的套期保值模型

由于資產收益在不同市場狀態下表現出不同的分布形態,因而在動態套期保值中需要考慮市場狀態轉換.Hamilton[31]應用Goldfeld 等[32]的馬爾科夫狀態轉換模型分析非平穩時間序列和經濟周期,提出使用最大似然法估計離散的不可觀測狀態.本節引入馬爾科夫狀態轉換模型,估計ECM 模型的最優分位數套期保值比率.

基于狀態轉換的ECM 模型表示為

其中下標Mt是t時刻的不可觀測狀態變量,Mt=1,2,...,k(k為狀態的數量,本文取k=2)2Hamilton 等[33]指出,引入兩種狀態的MRS 模型足以恰當區分不同波動率水平.基于此,本文直接使用兩種狀態的MRS 模型研究市場處于不同波動狀態的套期保值比率,而不考慮更多狀態..αMt是狀態Mt的截距項,βMt是狀態Mt的套期保值比率,γMt是狀態Mt殘差項ut?1的系數,εMt,t是服從正態分布的誤差項,表示狀態Mt下誤差項的方差3假設期貨收益和現貨收益滯后項階數在狀態轉換前后一致,協整檢驗證明該假設成立,這與Li[25]相符.因此式(3)、式(7)和式(9)使用相同的?St 和?Ft 的滯后階數..

假設狀態轉換服從一階馬爾科夫過程,從t ?1 時刻的l狀態轉變為t時刻h狀態的轉換概率為plh=Pr(Mt=h|Mt?1=l),滿足l=1,2;h=1,2;pl1+pl2=1,ph1+ph2=1.

狀態h處?St的條件密度函數為

以每種狀態的概率作為權重,對各狀態的密度函數加權平均,得到整個樣本的似然函數.相應的對數似然函數為

由于轉換概率無法直接觀測,因而可以參考Perlin[34]方法,根據信息的到達情況計算概率Pr(Mt=h),然后最大化式(11)獲得模型參數的估計值.

當計算出模型參數后,可以同時得到兩種不同的條件概率:濾波概率和平滑概率.濾波概率是利用期初至t時刻信息(It)推斷時點t的狀態,記作Pr(Mt=h|It);平滑概率是利用全部樣本信息(IT)推斷時點t的狀態,記作Pr(Mt=h|IT).本文參考Hamilton 等[35],考慮股市波動具有持久性,且高波動狀態通常與特定經濟事件相聯系的特點,為清晰平穩地區分現貨收益每個時點可能存在的狀態,使用平滑概率作為狀態劃分標準4使用平滑概率計算狀態轉換概率的方法可見于其它MRS 套保文獻,如文獻[23,36,37].本文另外使用濾波概率計算MRS 分位數套保比率,發現使用濾波概率和平滑概率得到的實證結論一致.,以Pr(Mt=1|IT >0.5 為狀態1,Pr(Mt=2|IT)>0.5 為狀態2,將原始數據集劃分為兩個子集,每個子集分別用于估計對應狀態的分位數套期保值比率.

假設考慮狀態轉換的分位數參數向量θMt(τ)=[αMt(τ),βMt(τ),γMt(τ),?Mt,s(τ),?Mt,f(τ)],βMt(τ)是狀態Mt分位τ的套期保值比率.θMt(τ)的估計值由下式得出,即

2.3 套期保值效率

為比較不同套保方法的有效性,需要計算各分位點的套期保值效率.迄今為止,不同學者使用不同方法評價套保比率:林旭東等[9]考慮收益和風險因素,使用標準化均值作為衡量套期保值優劣的指標.Barbi 等[38]以套期保值風險(在險價值VaR、預期損失ES、指數風險測度ERM)減少的百分比衡量套保有效性.Shrestha 等[12]借鑒Johnson[1]和Ederington[39]的組合方差最小化法,提出損失函數最小化法測度分位數套保效率.綜合上述研究,由于Shrestha 等[12]的方法度量了特定分位下的樣本損失,與分位數回歸的計算思路一致,因此本文使用該方法計算套期保值效率.

根據式(8),給定分位τ,通過最小化樣本損失函數LS(θ(τ))求出套保比率后,分位數套期保值效率

其中Vhedge(τ)=minθ(τ)LS(θ(τ)),Vunhedge(τ)=LS(θ(τ))|θ(τ)=0.

Vhedge(τ)是特定分位τ下最優期貨頭寸的樣本損失函數最小值,Vunhedge(τ)是不包含任何期貨合約頭寸(θ(τ)=0)的組合樣本損失函數最小值.正如Koenker 等[40]提及,在分位數回歸中,套保有效性是線性回歸擬合優度R2的自然類比.因此,HE(τ)值越大,分位數套期保值比率越有效.

為了進一步驗證分位數回歸相對于均值回歸的優勢,需要另外計算均值回歸的套期保值效率.林旭東等[9]將19 個分位點的標準化均值套保效率和OLS 模型單個的套保效率比較,得出基于分位數回歸的套期保值優于靜態套期保值的結論.這一效率比較方法忽略了不同分位間樣本數據的差異性,不能準確衡量在各分位上使用最小方差套保比率的有效性.為此,基于式(13),本文給出最小方差套保效率計算公式

3 中國股指期貨的最優分位數套期保值比率

3.1 數據描述及檢驗

本文選取上證50、滬深300 和中證500 指數的交易所交易基金(ETF),股指期貨為樣本.綜合基金與期貨的上市時間,滬深300 的期現樣本區間為2012–05–28 至2019–06–21,上證50 和中證500 的樣本區間為2015–04–16 至2019–06–21,數據來源于Wind 數據庫.數據處理上,由于期貨價格序列存在不連續性,本文使用向前比例調整法,在每月主力合約基礎上構造出一個新的期貨價格序列5考慮期貨連續合約之間存在一定非價格行為的跳躍,兩個合約的價格差會導致期貨價格序列出現跳空現象,此時的收益不完全是真實收益.Masteika 等[41]指出,通過保持歷史第一個合約價格不變,將最新的主力合約價格按缺口比例調整,可以估計投資者的真實收益情況,對于真實的交易活動應該使用比例調整法構建期貨序列.因此,本文采用向前比例調整法處理期貨數據..現貨和期貨的日收益率分別為?St=ln(St)?ln(St?1),?Ft=ln(Ft)?ln(Ft?1).

現貨和期貨日收益率數據的描述性統計如表1 所示.三組指數期現收益率均值接近0,上證50 和滬深300 期現收益率的波動程度相近,二者均小于中證500.觀察偏度和峰度,所有序列的偏度均小于0,峰度遠大于3,呈現左偏尖峰的特性.同時,所有收益率序列的JB 檢驗都在1%水平下顯著,均不符合正態分布.

表1 現貨和期貨日收益率數據描述性統計Table 1 Descriptive statistics of spot and futures daily returns

為檢驗樣本數據的平穩性,本文首先進行ADF 單位根檢驗,接著選用EG 協整檢驗法分析期現價格是否存在長期均衡關系.從表2 看出,三組期現對數價格的ADF 統計量均大于10%顯著性水平的臨界值,無法拒絕存在單位根的原假設,表明對數價格序列都是非平穩的.然而,一階差分序列?St,?Ft在1%顯著性水平下拒絕原假設,說明收益率序列平穩,三組對數價格均為一階單整序列.EG 檢驗結果顯示,三組期現價格間存在協整關系.

表2 單位根檢驗及協整檢驗結果Table 2 Results of unit root test and cointegration test

3.2 單一狀態的最優分位數套期保值比率

本文分析19 個分位點上的套期保值比率,包括0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.60,0.65,0.7,0.75,0.8,0.85,0.9,0.95 分位.首先,使用分位數回歸估計ECM 模型期貨的分位數套期保值比率、最小方差套期保值比率及對應的95%置信區間,結果見圖1.三大股指期貨在各分位的套保比率均顯著,數值多在0.8～0.9 范圍內,兩端分位的比率較低,中間分位較高,呈倒U 型,U 型程度因不同期貨而異,表明分位數套保比率取決于現貨收益分布.

在0.1,0.5,0.9 分位,上證50 股指期貨套期保值比率分別為0.935 3,0.935 6,0.924 8,最小方差套保比率HECM為0.870 9;滬深300 股指期貨套保比率分別為0.907 7,0.908 2,0.880 7,HECM為0.853 8;中證500的套保比率為0.887 9,0.883 0,0.757 7,HECM為0.820 7,高分位的套保比率普遍小于低分位的套保比率,倒U 型走勢明顯.除中證500 的0.9,0.95 分位外,三種股指期貨分位數套保比率大于HECM,說明經過誤差修正后,股指期貨在各分位上使用HECM對沖易導致套保不充分[11].

最優分位數套保比率的倒U 型走勢表明,股市處于極端行情(0.1 分位以下或0.9 分位以上)時,與小幅震蕩行情(0.1～0.9 分位)相比,投資者只需使用較少的期貨頭寸即可對沖一單位的現貨.從價格發現角度究其原因,中國股指期貨市場交易者主要是機構投資者[42],與個人投資者相比,機構投資者更理性、消息更靈通[43].Shrestha 等[12]認為,當消息靈通的交易者獲得了關于有效價格劇烈變化(極端分位點)的信息時,他們會因為豐厚的收益而有更多的動機使用該信息,加之期貨市場具有低交易對手風險、高執行效率、高流動性的優勢,他們會在期貨市場上率先交易,導致期貨價格變化程度與速度遠高于現貨價格.相反,當交易者掌握了有效價格微小變化的信息時,他們可能沒有足夠的交易動機.

圖2 是分位數套期保值效率的計算結果,值越接近1 表示效率越高.上證50 股指期貨的分位數套保效率值均在0.74～0.75 范圍內,各分位的套保有效性差異較小.滬深300 在小幅震蕩期的分位數套保效率值均在0.70～0.72 范圍,兩端套保效率值較高.中證500 的套保效率呈U 型,且下凸程度較大,不同分位的套保效率差異明顯.三種期貨每個分位點上的分位數套保效率均高于最小方差套保效率,因此,使用分位數回歸進行套期保值優于傳統均值回歸.

3.3 基于狀態轉換的最優分位數套期保值比率

金融市場中資產收益往往存在高、低波動狀態的轉換,而狀態的變化通常是無法直接觀測的.為深入探討時變套期保值比率,本文引入馬爾科夫狀態轉換模型,將樣本數據劃分為低波動狀態和高波動狀態,分別對應狀態1 和狀態2,并在此基礎上計算各狀態的最優分位數套期保值比率.三種指數的狀態樣本量如表3所示,低波動市場的存續時間總是長于高波動市場.

表3 三種指數的狀態樣本量Table 3 Regime sample sizes of three stock indexes

MRS-ECM 模型的最優分位數套期保值比率如圖3 所示.狀態1 的三組分位數套保比率較平穩,且套保比率值多大于0.9,與HECM值接近,表明在低波動狀態下,可以近似使用ECM 最小方差套保比率對沖各分位現貨價格變化的風險.狀態2 的三組分位數套保比率在現貨收益分布中呈現向右下方傾斜走勢,隨分位上升套保比率曲折下降,這與全樣本分位數套保比率的形狀有所不同.同時,左端分位的套保比率大致位于ECM 套保比率虛線之上,右端分位的套保比率在虛線之下.例如,在0.1,0.5,0.9 分位上,上證50 的分位數套保比率分別為0.847 6,0.791 8,0.754 6,HECM為0.811 4;滬深300 的分位數套保比率分別為0.890 1,0.789 1,0.712 7,HECM為0.784 6;中證500 的分位數套保比率分別為0.829 1,0.795 4,0.710 0,HECM為0.775 1.

高波動狀態的套保比率小于低波動狀態的套保比率的現象與Alizadeh 等[22,36]研究結果一致.相對低波動狀態,高波動時期期現收益率變化的相關性短期內將下降,現貨和期貨價格會出現背離,導致不同狀態的動態套保比率有所不同[36].此外,單一狀態的分位數套保比率大小介于高、低波動狀態的分位數套保比率之間,這是由于前者估計的是樣本期內各分位點上的平均套保比率,而MRS 模型的套保比率會受到市場狀態影響6由于單一狀態、狀態1、狀態2 的樣本數據集不同,若給定一個現貨收益率,它在各狀態的數據分布排列中處于不同分位點,可以計算出不同的套保比率,綜合各分位點的套保比率會使整體呈現不同形狀.因此,單一狀態分位數套保比率呈現的倒U 型和狀態1、狀態2 形狀不沖突..

考慮不同狀態的分位數套保比率大小的具體含義.低波動狀態的分位數套保比率與HECM接近1,高波動狀態的分位數套保比率和HECM遠小于1.Shrestha 等[12]認為,若套保比率接近1,期現價格變化較接近,價格發現可能同時發生在期貨市場和現貨市場;若套保比率小于1,期貨價格隨有效價格變化而變化的程度和速度將顯著高于現貨價格,價格發現主要集中于期貨市場.基于這一觀點,可以認為,低波動市場的價格發現可能同時存在于期現市場,高波動市場的價格發現主要產生于期貨市場.這與何楓等[44]關于2010～2016 年滬深300 指數與股指期貨的聯動關系研究的結論:相比市場平穩波動時期,市場劇烈波動時期期貨市場的波動對現貨市場和期貨市場本身的波動解釋程度逐漸增加相符.

由于高波動狀態的分位數套保比率大小存在差異,因此在不同分位點上期貨價格的變化程度和速度與現貨價格變化之間的關系也有所不同.可能的解釋是:中國股指期貨市場主要由相對理性的機構投資者組成,股指期貨市場的處置效應小于現貨市場7處置效應指投資者傾向于在虧損時繼續持有頭寸,盈利時過快賣出頭寸以實現收益的非理性行為.Frazzini[45] 認為,處置效應會導致投資者對消息反應不足.,因此期貨市場反映新信息的速度快于現貨市場[42].然而,市場投資者對正面消息的關注度少于負面消息,并且對正面消息的反應較少,促使不同分位點上金融市場之間的依賴性不同[46].當有效價格劇烈下跌的負面消息來臨,期貨價格迅速下跌并傳導至現貨市場,現貨價格下跌速度隨之加快.相反,當有效價格急劇上漲的正面消息來臨,期現價格之間的變化程度和速度差異較大,現貨收益上漲速度較慢.因此,左端分位的最優分位數套保比率較高,右端分位的最優分位數套保比率較低.

基于兩狀態的分位數套期保值比率計算得出的套保效率結果見圖4.當市場處于高波動或低波動狀態時,三大股指期貨的分位數套保效率都呈正U 型,兩端高中間低,在0.5 分位附近取得最小值.三種期貨狀態1 的分位數套保效率基本在0.80～0.96 區間,而狀態2 的效率值多在0.53～0.88 區間.比較分位數套保效率和最小方差套保效率發現,區分高、低波動狀態后,在不同分位,尤其是在兩端分位上,使用分位數套保比率進行套期保值優于最小方差套保比率.

4 結束語

本文提出基于馬爾科夫狀態轉換的分位數套期保值模型,該模型不僅考慮了市場信息的加入對分位數套保比率的影響,也考慮了MRS 模型所有參數隨分位變化的特點,能夠在各類市場條件下提升套保有效性.通過使用最小方差套保效率的分位數計算方法,考慮不同分位點的樣本數據差異,有助于準確比較分位數回歸和均值回歸的套保效率.基于中國股指期貨的實證研究表明,相比低波動狀態,高波動狀態的分位數套保比率值顯著受現貨收益分布的影響,因此使用該模型進行套期保值能更全面地捕捉高波動市場期現價格劇烈變化的信息,適應多狀態市場環境的變化.