淺議輔助線在初中平面幾何解題中的應用

李士偉

(山東省濟南市平陰縣玫瑰學校 250407)

添加輔助線對學生的能力要求較高，為更好的提高學生的解題自信，既要注重為學生講解添加輔助線的相關理論知識，又要優選經典例題為學生展示輔助線的應用過程，啟發學生高效解題，以免其在以后的解題中走彎路.

1 結合對稱點添加輔助線

圖1

再如圖2，在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形內的一點，CD=2，∠ADC+∠B=180°，求解當∠B為何值時，△ABC和△ADC的面積差最大，最大值是多少？

圖2

解析將△ADC沿著AC進行翻折得到△AD′此時兩個三角形全等，∠AD′C+∠B=∠ADC+∠B=180°，因此，四邊形ABCD′內接于圓，所以AB=CD=CD′=2,得出四邊形ABCD′是等腰梯形，所以A′D′∥BC.

點評解答平面幾何線段長度最小值問題時可借鑒“將軍飲馬”模型的思想方法，通過找到對稱點添加輔助線確定最小值點的具體位置，問題也就迎刃而解.

2 結合圖形性質添加輔助線

如圖3，等腰△ABC的內切圓O分別和三邊切于點D、E、F，若AB=AC=5，BC=6，則DE的長為( ).

圖3

再比如，如圖4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD垂直，且相交于點O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°.求證：AC=MN.

圖4

點評運用輔助線分析平面幾何問題時應結合問題題設的情境，認真分析相關圖形的性質，如矩形、平四邊形、菱形、圓形等，結合圖形性質添加輔助線.通過添加輔助線運用圖形性質進行求解.

3 結合線段關系添加輔助線

如圖5，已知AP∥BC，點E是DC的中點，且AD+BC=AB，求證：AE⊥BE.

圖5

根據題意，分別延長AE，BC交于點E.因為AP∥BC，所以∠1=∠M.又因為E是DC的中點，所以DE=EC，而∠5=∠6，所以△ADE≌△MCE，則AD=MC，AE=EM，又因為AD+BC=AB，所以MC+BC=AB，而MC+BC=BM，所以AB=BM，所以△AEB≌△MEB，所以∠AEB=∠MEB，又因為∠AEB+∠MEB=180°，所以∠AEB=90°，即，AE⊥BE，得證.

再比如，如圖6所示，四邊形ABCD是任意四邊形，E、F、G、H是AB、BC、CD、DA的中點，M、N是對角線BD、AC的中點，求證：EG、HF通過MN的中點.

圖6

解析欲證明三條線段在圖中的關系，需要找出其存在的內在關聯，題目已知條件中的中點比較多，可以任意選擇一個頂點，如A作為位似中心，根據位似比將BC縮小，連接EN，得到EN等于和平行BC的一半，采用相同的方式組成更易于解答問題的平行四邊形，從而完成題目的解答.

點評當習題的已知條件中涉及到線段的長度關系時，添加輔助線時應注重等量代換，而后運用三角形全等、相似等相關知識進行破題.

4 結合角度關系添加輔助線

圖7

綜上，為更好的提高學生應用輔助線解答初中數學平面幾何的能力，教師在講解例題的過程中既要注重與學生積極互動，驅使學生主動的思考、討論，又要結合具體例題進行輔助線應用的方法點撥，使學生積累更多的添加輔助線的經驗.另外，還應鼓勵學生做好聽課以及平時訓練的總結，掌握不同題型添加輔助線的技巧.