淺談高等代數在幾何中的應用

黃 昊

（西昌學院）

一、高等代數與幾何學之間的關聯

高等代數與幾何學有諸多相似之處，高等代數中的某些理論就是從幾何學中發展而來，高等代數與幾何的發展可謂是相互聯系、相互促進的，兩者相輔相成，幾何以更加直觀的形象將高等代數所表達的含義呈現出來，而高等代數為幾何提供了有效的研究方法。如幾何學中的向量共線、共面的充要條件可以運用高等代數中行列式工具來表達；兩門課程看似不相關，其實他們之間有著莫大的關聯，幾何學中一維、二維、三維空間與線性代數中的n緯空間相對應，反之從線性代數的觀點來看，線性空間的諸多理論源自幾何學一、二、三維空間的推廣；如此看來，我們在研究幾何學時，可以運用“高等代數”為工具進行解析，尤其是高中階段的幾何學習過程中，可實現二者的有效結合，利于教學的有效開展，能夠幫助學生更好地認識幾何知識，同時更早的接觸高等代數，為后期的學習打下基礎。

二、高等代數在幾何學中應用的研究目的

高等代數是大學重要課程之一，當前的高等數學是經過很多科學家不斷改進完善的結果，如今高等數學成為很多學科的基礎課程，諸如科研、工程設計、物理學或化學研究等等都需要高等代數為基礎。而幾何這門學科由來已久，但因該學科的特殊性，很少人能夠真正領悟幾何學真正的內涵。若能夠將高等代數與幾何聯系起來，發揮各自優勢，會為幾何學的發展帶來積極的影響。

關于高等代數與幾何學關聯的研究，著名的法國數學家約瑟夫·拉格朗日表示：假若代數與幾何獨立分開發展，那兩者的發展速度將會非常緩慢，其應用的范圍也比較窄，但如果能將兩者結合起來研究，那高等代數與幾何學的發展將會突飛猛進，應用范圍也大大拓寬。當下我國有不少知名大學將高等代數與幾何學進行合并，如同濟大學、蘭州大學等等，其教學效果相比未合并前有了顯著的提高。

三、高等代數在幾何學中應用

（一）高等代數“行列式”與幾何“向量”之間的關系

圖1 向量示意圖

（2）行列式與向量之間的關聯：

圖2 向量二維關系圖示

以上是2元一次方程所對應的幾何中的平面中向量的關系，2元方程對應的是2維度，那以此類推，三元一次方程對應的是幾何中的三維概念，n個線性方程組多對應的就是n維空間的向量關系。

（二）線性方程組與平面對應關系

眾所周知，兩個平面在空間中的關系為相交、平行、重合三種關系，如圖3所示（平面重合不再贅述）：

圖3 平面a//平面b

圖4 平面a相交于平面b

從高等代數的角度來驗證兩平面的關系：

若平面a與平面b平行，則充要條件為：

若平面a與平面b重合，則充要條件為：

若平面a與平面b相交，則充要條件為：

證明：

若平面a與平面b平行，則兩個平面沒有交集，無公共點存在，

同理可證明面a與平面b重合、平面a與平面b相交的充要條件成立。

（三）線性方程組在直線位置關系判定中的應用

兩條直線在空間中的關系有四種，分別為重合、平行、異面與相交。

我們先定義兩條直線的線性方程，通過方程組的形式來討論直線之間的幾種對應關系。

直線1方程：記為m1：

直線2方程：記為m2：

證明：

線性方程組為：

四、結語

幾何是基礎教育中數學學科的重要組成部分，幾何與高等代數有著密切關聯，中學階段學生在學習幾何過程中比較吃力，抽象的幾何知識讓不少學生望而卻步，不知該如何應對，本文簡要探討了高等代數在幾何學中應用，為培養學生數學思維、提升學生幾何學習效果起到了一定的效果。在素質教育背景下，中學數學老師應積極探索高等代數在幾何中的應用策略，為學生打開學習幾何的新局面。當然，當下高等代數在幾何中的應用并不完善，需要不斷改進、完善，更深層次地探索兩者的關聯，更好地實現高等代數在幾何學中應用。

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