奧蘇伯爾認知同化理論對中學數學教學的啟示

施佳瑩 喻平

摘要：從有意義學習的本質特征、認知同化理論的基本要義、有意義學習的教學原則、實現遷移的條件等四個方面，解讀奧蘇伯爾的認知同化理論，梳理出對當下中學數學教學的啟示。一是建構有意義學習的教學環境，包括設置恰當情境、連通知識序列。二是制訂完善學生認知結構的教學策略，包括活用先行組織、突出漸進分化、強調綜合貫通、提倡遷移訓練。

關鍵詞：認知同化理論;有意義學習;中學數學;認知結構

本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之十二。從本文開始，系列文章的主題從數學學習心理學的基本概念（方面）變為經典理論（思想）。學習者學習新知識，需要將認知結構中的舊知識與其相互作用，這個過程稱為同化;當新知識被納入認知結構，又會對舊的認知結構進行改組，形成新的認知結構，這個過程稱為順應。這是源自皮亞杰的結構主義、發展于奧蘇伯爾的有意義學習理論的知識建構觀。本文嘗試解讀奧蘇伯爾的認知同化理論，并談談這一理論對當下中學數學教學的幾點啟示。

一、奧蘇伯爾認知同化理論的主要觀點

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾系統研究了課堂教學中有意義學習的類型、結果及條件，深入探究了影響學習的內因和外因，提出了以言語符號為媒介、以學習者原有認知結構為核心、以接受學習為主要學習方法的有意義學習理論。有意義學習的過程是認知同化過程，因此該學習理論又可稱為認知同化理論。

（一）有意義學習的本質特征

有意義學習的過程，本質上即符號所代表的新知識以非任意的方式，在實質上同學習者認知結構中的適當觀念相互作用、產生聯系的過程。D.P.奧蘇伯爾等.教育心理學——認知觀點[M].佘星南，宋鈞，譯.北京：人民教育出版社，1994：45。奧蘇伯爾認為，新知識與認知結構的原有成分之間的聯結是有意義學習與機械學習的主要差異：機械學習中，聯結是簡單的、任意的、非實質性的;而有意義學習中，聯結是“非任意的”和“實質性的”。

“非任意的”亦稱“非人為的”，指新知識與認知結構中的有關觀念之間存在著某種合理的或邏輯基礎上的聯系。陳琦，劉儒德.當代教育心理學（第三版）[M].北京：北京師范大學出版社，2019：116。奧蘇伯爾認為，具有非任意性的學習材料是學習者開展有意義學習的先決條件。若知識點之間沒有邏輯關系，即便學習者采用特殊方法（如諧音聯想法），人為地為其創造“意義”，這類學習也是機械的。若新知識是在舊知識的基礎上增添、限制、變化某些條件或結論演變而來的，或新知識與較為普遍的觀念有一般的吻合關系，學習者就有足夠的依據將兩者以非任意的形式聯系起來。

“實質性”亦稱“非字面性”，指能用同義詞或其他等值符號替代而不改變意義或內容。教育大辭典編篡委員會.教育大辭典（第5卷）：教育心理學[Z].上海：上海教育出版社，1990：267。奧蘇伯爾指出，學習者的學習結果要符合實質性標準，如果使用同義詞或其他等值符號替代概念或者命題中的部分詞匯，學習者要能判斷其意義或內容是否發生變化。例如，“三角形的內角和為180°”與“三角形的內角和為平角”是等價的。如果學習者的學習只停留于字面意義，沒有深入思考、挖掘知識本質，則認知結構不穩固，后續學習過程中也很容易受到以前學過的類似材料的干擾。

（二）認知同化理論的基本要義

其一，認知結構在學習中起著決定性作用。在奧蘇伯爾看來，認知結構就是個體頭腦中的知識結構。廣義地說，它是學習者已有觀念的全部內容及其組織;狹義地說，它是學習者在某一學科的特殊知識領域內的觀念的全部內容及其組織。皮連生.智育心理學[M].北京：人民教育出版社，1996：220。形成優良的認知結構是學習達成的關鍵。奧蘇伯爾認為，良好的認知結構取決于三個因素：（1）可利用性。當學習者面對新的學習任務時，他的認知結構中具備可以用來同化新知識的較一般的、概括的、包攝程度高的觀念。（2）可辨別性。當原有觀念同化新知識時，可以清晰地辨別新舊觀念的異同點。（3）穩定性。原有的、起固定作用的觀念穩定地貯存于認知結構中。

其二，知識同化存在三種樣態。奧蘇伯爾認為，同化是新舊觀念相互作用、兩者意義雙向變化的過程，新知識獲得心理意義，原有認知結構發生改組。新舊知識之間的同化有三種方式：（1）下位學習。在原有觀念基礎上，學習包攝性更低的觀念。下位學習又分為派生歸屬學習（新觀念可視為原來認知結構中上位概念的具體例子）和相關歸屬學習（新觀念是對原來上位概念的精細化）。（2）上位學習。在原有觀念基礎上，學習包攝性更高的觀念，即原有觀念是新觀念的具體例子。（3）并列組合學習。新舊知識有聯系，但它們之間沒有包含關系。

在此基礎上，根據數學學習的特性，可以提出同位學習的概念。喻平.數學教學心理學（第2版）[M].北京：北京師范大學出版社，2018：262。所謂同位學習，是指對等價可同構命題的學習。在數學學習中，除了上位與下位的關系外，許多概念、命題之間存在等價關系，概念域、命題域的形成就是一個同位學習的過程。

（三）有意義學習的教學原則

奧蘇伯爾提出了有意義學習的四條教學原則：漸進分化原則、綜合貫通原則、序列組織原則和鞏固性原則。

漸進分化指首先呈現最一般和包容范圍最廣的觀念，然后由這些觀念依照細節、特例和具體項目逐步展開。在下位學習中，歸屬過程一次或多次出現，便會導致起歸屬作用的概念或命題的漸進分化。奧蘇伯爾認為，按包容性、抽象水平逐漸下降的縱向方式建立認知結構的層級組織，有利于新知識的同化和保持。

綜合貫通指加強知識橫向與縱向的聯系。在上位學習或并列組合學習中，發現認知結構中原有觀念之間的聯系，對其進行重新組合的過程，就是綜合貫通。奧蘇伯爾指出，綜合貫通能促進原有認知結構的橫向分化，是漸進分化的一種形式。當教學材料沒有實質上的序列相依關系時，綜合貫通原則也是適用的，可以橫向加強學科知識點、章節內容之間的聯系。

序列組織亦稱先行組織，指學習新知識之前，給學習者提供一個引導性材料，它比學習任務本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并能使學習者清晰地辨認認知結構中原有的觀念和新學習任務的關聯。序列組織強調學科知識內部的邏輯結構，新學的知識被同化后可以作為后續學習的先行組織者，促進后續知識的學習與同化。為了防止認知框架雜亂無序，學習任務的排列需要以學習者認知功能的發展水平、固著觀念的可利用性和教材的序列組織為依據。

鞏固性強調在學習新內容之前，要確保學生對已授知識的掌握程度較高。奧蘇伯爾認為，清晰穩固的認知結構能為新知識的學習提供堅實的固著點，是有意義學習的先決條件。學習者可以通過反復接觸學習材料，經歷證明、分析、比較和反饋的過程，來明確新舊知識之間的聯系，構成組織完善的認知結構。

前沿論壇（四）實現遷移的條件

遷移指先前學習的經驗對當前學習的影響。與形式訓練說、相同要素說、概括說等傳統的遷移理論不同，奧蘇伯爾認為，認知結構在學習遷移中起著決定作用。首先，先前學習的經驗是經過若干知識的學習逐步積累而成的。遷移不能理解為某個知識點對當前學習的影響，而應是一組知識點對當前學習的影響。其次，先前經驗的特征是指認知結構的組織特征，如清晰性、穩定性等。學習課題A得到的最新信息并不是直接同課題B的刺激反應成分發生相互作用，而只是由于它影響原有認知結構的有關特征，從而間接影響新的學習。再次，遷移的效果主要不是指提高將一般原理運用于特殊事例的能力（下位學習的能力），而是指提高上位學習和并列學習的能力。因此，無論是知識學習還是問題解決，只要認知結構影響新的認知功能，都存在著遷移。

二、對中學數學教學的啟示

通過對認知同化理論的簡單梳理，可以得到幾個關鍵詞：有意義學習、同化、認知結構。這幾個詞似乎有濃郁的傳統觀念色彩，與當下的教育理念有相悖之嫌。其實，每一種教學理論的創立及其具有的長久生命力，都足以說明它們存在的合理性。有意義學習與接受學習并蒂，這是事實，但是人類的學習不可能離開接受學習，而且接受學習還是學校教育的一種主要形式。況且，奧蘇伯爾提出的有意義接受學習有別于傳統意義上的接受學習，因為這種學習強調了同化與順應的學習機制。同化事實上與知識建構的觀念同出一轍，同化與順應本質上就是個人對知識的建構過程，激進建構主義的觀點與其一脈相承。認知結構的概念，無論是對建構主義還是對情境認知理論，都是認可的學習元素。因此，充分挖掘認知同化理論，對核心素養背景下的中學數學教學有直接的指導意義。

（一）建構有意義學習的教學環境

1.設置恰當情境，激發學習心向

“積極的學習心向”和“有邏輯意義的教材”是有意義學習的兩個先決條件。

要激發學生積極的學習心向，教學情境的設計十分重要。奧蘇伯爾認為，動機與學習是雙向影響的，即便學生缺乏動機，若其滿意初始學習的過程，也會產生極高的學習動機。因此，在課堂導入環節，教師可以暫時不理睬學生的動機，而關注學生的認知，盡可能有效地將他們帶入教學情境：根據教學內容創設有效的問題情境，提供能引發學生認知沖突、質疑思考的信息，激發其好奇心和求知欲。

例如，《勾股定理》一課的導入環節，教師創設了如下情境：2500年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時，發現朋友家用磚鋪成的地面中反映出了直角三角形（如圖1）三邊的某種數量關系，便很快用畫圖形的方法表示出這種數量關系。接下來，教師把這個問題拋給學生，讓他們嘗試用數學的眼光觀察圖形，在準備好的紙上畫出與該等腰直角三角形三邊有關的幾何圖形。

勾股定理是平面幾何中最重要的定理之一，融合了數形結合的思想方法。課例中，教師首先引用數學史，試圖還原并讓學生體驗畢達哥拉斯發現勾股定理的過程。該情境的創設能有效激發學生的好奇心，讓學生躍躍欲試，挑戰自己能否得出與大數學家一樣的結論。通過操作，可能有的學生畫出的圖形與教師的要求毫無關系（如圖2），有的學生畫出的圖形與勾股定理較為接近（如圖3），有的學生畫出的圖形與畢達哥拉斯的畫法完全一致（如圖4）。圍繞學生的畫法學習該圖形與勾股定理的關系，不僅能增強學生后續學習的動力、信心，還能加深學生對新知識的理解與感知。

2.連通知識序列，促進同化順應

教材通常都是按照知識之間的邏輯關系編排的，教師的任務是引導學生把這種邏輯關系清晰地表達出來。其中一個好的做法就是單元設計，因為知識的邏輯關系不是體現在知識點上，而是體現在知識群中，單元設計可以很好地揭示這種邏輯關系。喻平.數學單元結構教學的四種模式[J].數學通報，2020（5）：18。

既然同化是先前知識對新學知識的作用，順應是新學知識對原有認知結構的改造，那么厘清知識的生成順序就顯得非常重要，因為“最鄰近”的知識最利于同化，有序的知識利于形成結構。

例如，“四邊形”單元的教學設計：

第一步，教師給出一般四邊形的概念，讓學生舉出現實生活中四邊形的實例。

第二步，教師引入“平行”概念，讓學生思考問題：（1）是否存在兩組對邊分別平行的四邊形？（2）是否存在只有一組對邊平行的四邊形？學生通過畫圖證實這兩類圖形都存在。于是，教師引導學生給第一類圖形命名為平行四邊形，第二類圖形命名為梯形。

第三步，教師引入“相等”概念，引導學生分兩條線探究：（1）是否存在一組鄰邊相等的平行四邊形？（2）是否存在兩條不平行邊相等的梯形？學生通過畫圖證實這兩類圖形都存在。于是，教師引導學生給這兩類圖形分別命名為菱形、等腰梯形。

第四步，教師引入“垂直”概念，進一步引導學生探究：（1）是否存在一組鄰邊相互垂直的平行四邊形？（2）是否存在一組鄰邊相互垂直的梯形？學生通過畫圖證實存在這兩類圖形。于是，教師引導學生給它們分別命名為矩形、直角梯形。

第五步，教師進一步提出問題：（1）是否存在一組鄰邊垂直而且相等的平行四邊形？（2）是否存在一組鄰邊垂直而且相等的梯形？學生通過畫圖證實也存在這兩類圖形。于是，教師引導學生給它們分別命名為正方形、正方梯形。

第六步，教師引導學生畫出上述概念的體系圖（如圖5），并指出正方梯形的研究意義不大，可以不予考慮。

第七步，教師根據概念體系圖指出本單元要學習的內容、要研究的問題：（1）如何從數學角度而不是僅用直觀的方法，準確判定某些圖形是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形？（2）這些特殊的圖形具有什么性質？（3）這些圖形的性質能夠解決什么數學問題？能夠解決哪些現實生活中的問題？

這樣的設計就為本單元的知識教學做了鋪墊，有助于學生在接下來的學習中實現知識的同化;同時又為形成知識結構進而轉化為認知結構做了準備，使順應得以完成。

（二）制訂完善學生認知結構的教學策略

1.活用先行組織，激活認知結構

每堂課在講授新知識之前，教師通常都會先引導學生復習舊知識。其實，復習舊知識就是一種先行組織。但是，如果只考慮舊知識，就窄化了先行組織者的概念。先行組織者是教學之前提供的一組輔助材料，可以把這種材料理解為幾種情形：（1）它比新學習的知識概括性高，即提供一種上位概念，這是奧蘇伯爾提出的先行組織者的原意;（2）它比新學習的知識概括性低，是新知識的特例，即提供一個下位概念;（3）它與新學習的知識成并列組合關系;（4）它與新學習的知識是等價關系;（5）它是包含新學習知識的一種情境——現實情境或科學情境。

例如，《完全平方公式》一課，教師首先出示圖6，讓學生根據圖中的邊長關系，抽象出（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq，分別用圖形語言、文字語言、符號語言描述多項式乘法法則;然后將圖形做特殊化處理，將p變為a，將q變為b，引導學生得出完全平方公式。這個先行組織者就是上述情形（1）。

又如，如果在講授余弦函數y=cos x時，由正弦函數y=sin x引入，那么先行組織者就是上述情形（3）。

2.突出漸進分化，擴充認知結構

漸進分化主要是指梳理知識的縱向邏輯關系。按照奧蘇伯爾的觀點，概括性、抽象性高的知識應當放到前面，然后依次呈現概括性、抽象性遞減的知識。其實，一般的數學教材中，許多知識體系都是遵循這個原則來編排的。例如，高中“函數”的知識體系，首先用映射定義函數概念，介紹函數的單調性、奇偶性等一般概念，然后研究具體的函數：冪函數、指數函數、對數函數、正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數等。這是典型的漸進分化。教學中，教師的一項重要工作，就是幫助學生梳理知識，并通過一定量的解題練習將這種外部的知識體系轉化為學生頭腦中的知識結構，使學生的認知結構得到不斷的擴充。

另一方面，對問題進行適當的變式或推廣，體現知識之間的縱向聯系，可以使知識縱向發展，擴充學生的認知結構。

例如，一個與點的運動有關的線段長度（關系）問題及其變式：

原問題線段AB長為12 cm，P為線段AB上的一個動點。點P從點A出發，以2 cm/s的速度沿AB向點B運動，表示出t（s）后AP與PB的長度。

變式1在原問題的條件下，延長AB至點C，使BC=6 cm。點P到達點B后繼續向點C運動，表示出t（s）后AP與PC的長度。

變式2在變式1的條件下，將線段BC繞點B逆時針旋轉90°（如圖7所示），表示出t（s）后AP與PC的長度。

變式3在變式2的條件下，添加另外兩邊，構成長方形ABCD（如圖8所示）。點P到達點C后繼續向點D運動，經過t（s）后，PC怎么表示？點P到達點D后繼續向點A運動，經過t（s）后，AP怎么表示？t為何值時，AP=PD？

變式4在變式3的基礎上，添加動點Q，點Q從點D出發，以1 cm/s的速度沿DA向點A運動。P、Q同時開始運動，t為何值時，下列等式成立？

（1）AQ=AP;

（2） AQ-AP=1/4CABCD。

變式5在變式4的情境中，點P、Q持續運動，直到點P到達點C，兩點同時停止運動。t為何值時，等式AQ=1/2PC成立？

變式6在變式5的情境中，點P、Q向相反方向運動，點P能否追上點Q？如果能，求出t的值;如果不能，說明理由。

3.強調綜合貫通，完善認知結構

通過綜合貫通，可以建立更加穩固的外部知識結構，從而使學生的認知結構得到完善。對于知識之間的橫向聯系，很多情形在教材中不是以顯性的形式表述的，需要教師去挖掘。例如，圖5所示的“四邊形”知識體系展示了知識之間的縱向聯系，教師可以進一步挖掘知識之間的橫向聯系：平行四邊形與梯形之間可以用中位線定理聯系;菱形與矩形有共同的性質——中心對稱圖形;矩形與等腰梯形有共同性質——對角線相等;等等。

綜合貫通不僅表現為搭建一個章節、一個單元知識之間縱向和橫向的聯系，還表現在建立不同章節或不同單元知識之間的聯系。其中，通過數學思想方法打通知識之間的關系，是一條有效的途徑。事實上，這也就是《普通高中數學課程標準（2017年版）》中十分強調的“通性”“通法”。

例如，可以用函數思想方法解決下列問題，從而串聯有關知識。

問題1解方程3x+4x=5x。

顯然方程有一個根x=2，但它是否還有其他根呢？將方程變形為35x+45x=1。引入函數f（x）=35x+45x，由于35x、45x是單調遞減函數，則f（x）也是單調遞減函數。易知x>2時，f（x）<1;x<2時，f（x）>1，所以方程僅有一個根x=2。

問題2已知e是自然對數的底，a、b為實數，且e<a<b，求證：ab>ba。

看到e，想到自然對數。要證明結論，就是要證明bln a>aln b，即要證明ln aa>ln bb。為此，構造函數f（x）=ln xx，只需證明f（x）在[e，+∞）內為減函數即可。求導，得f′（x）=1-ln xx2，因為x>e，所以lnx>1，故f′（x）<0，即f（x）在[e，+∞）內為減函數。

問題3求證：2C2n+2·3C3n+…+（n-1）nCnn=n（n-1）2n-2。

這是一個組合恒等式。聯想到二項展開式，可以構造輔助函數f（x）=（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn。求二階導數，得f″（x）=（n-1）n（1+x）n-2=1·2C2n+2·3C3nx+…+（n-1）nCnnxn-2。在上式中，令x=1，即得所要證明的恒等式。

在此例中，問題1建立了函數與方程的聯系，問題2建立了函數與不等式的聯系，問題3建立了函數與組合知識的聯系。

4.提倡遷移訓練，穩固認知結構

奧蘇伯爾認為，優良的認知結構是實現知識遷移的必要條件。反過來說，通過遷移訓練，又能形成更加穩固、清晰的認知結構。用行為主義的觀點看，這是一種強化。通過強化，才能建立刺激與反應之間穩固的聯系。

關于遷移訓練，張姝華等提出了一些策略，如模式識別的合理訓練、源問題的恰當設計、靶問題的變式訓練等。張姝華，喻平.問題解決中遷移的心理學研究及其對中學數學教學的啟示[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（9）：2632。這里，我們特別強調通過遷移訓練，達到鞏固認知結構的目標。其中一條有效的途徑就是解題后的反思，特別是反思能否采用多種路徑解決問題。因為采用多種路徑解決問題，涉及的知識和方法自然會更多，需要解題者在認知結構中激活、提取多種知識和方法。這就是一個鞏固認知結構的過程。

例如，對于題目“已知|a|<1，|b|<1，求證：a+b1+ab<1”，羅增儒先生提出從知識鏈上展開、從轉化鏈上聯想、從數形結合上溝通等思路，從面積、方程、三角函數等方面思考，得到十幾種解法，最后還對問題做了推廣。羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，1997：192200。這里列舉幾種解法：

（1）a+b1+ab<1a+b1+ab2<1……（在知識鏈上展開，與不等式性質建立聯系）;

（2）|x|<1x在-1和1之間存在λ>0，使得x=1-λ1+λ函數f（x）=1-x1+x的性質……（在轉化鏈上聯想，與函數建立聯系）;

（3）在平面直角坐標系上取點A（1，a）、B（1，-b）、M（1-b，1-b）（a>0、b>0時的示意圖如圖9所示，其他情況可逐一討論），有|a+b|2=S△AOB<S△AOB+S△AOM=a+b2+（1-b）（1-a）2=1+ab2（在數形結合上溝通，與解析幾何建立聯系）。