關于“分數乘分數”的深度思考

張春梅

（涉縣第二實驗小學，河北 邯鄲 056400）

分數乘法是人教版六年級的內容，每年在教學這部分內容時，總要遭遇分數乘分數這塊難啃的“骨頭”。大家一致認為，分數乘分數的計算法則是容易掌握的。最棘手的問題是，如何讓學生在學會計算的同時更好地理解分數乘分數的意義，因為這對后續分數應用題的學習具有重要的意義。

基于以上一系列思考，本設計主要通過兩個環節開展教學活動，一是讓學生理解分數乘分數的意義；二是在理解意義基礎上推導計算法則。

一、激發認知沖突，拓展乘法意義

（一）比較

學生在過去分數乘整數的基礎上，很快畫圖列出算式：

師：你能說出每個算式的含義嗎？

學生結合圖示說出每個算式表示的含義。

師：為什么這樣列式？能說一下理由嗎？

生2：根據“工作效率×工作時間=工作總量”，可以列出算式。

生3：1 小時就相當于1 份，3 小時就是3份，所以用乘法計算。

師：這些算式有什么相同之處呢？

生：都是求一個數的幾倍是多少。

設計說明：此處教師讓學生尋找三個問題的共同之處，喚醒舊知，明確分數乘整數的意義，為下面遷移類推拓展乘法的意義做好充分準備。此環節的展開還是比較順利的，因為學生有過去整數乘法做基礎。

（二）建構

教師接著出示問題并提出要求：

A.采取自己喜歡的方式解決問題，比如畫圖。

B.解釋算理。

學生列出算式，交流列式根據。

生1：根據“工作效率×工作時間=工作總量”，直接列出算式。

生2：1 小時刷的面積知道了，那么不管幾小時都用乘法計算。

師：請同學們結合一位同學畫的圖，思考一下，這三個算式表示什么意義？學生在辨析討論中遇到困難，教師引導：

師：我們把這三個圖與剛才第一組的第三個圖比較一下，你發現了什么？

生1：從圖上可以知道，第一組的第三個圖表示1 小時刷整個墻的，那么小時刷的就是這個的

師：回過頭來看我們列出的算式，還是原來的求幾個幾的意義嗎？

設計說明：此環節教師拋出今天研究的新問題，借助畫圖的方式幫助理解和列出算式，在利用舊知無法解釋新問題時，學生一般會打破心理平衡，產生認知沖突，即皮亞杰提出的順應現象。此時，教師引導學生認真觀察圖示，從圖示中尋求算式的意義，學生很快發現乘一個分數就是求這個數的幾分之幾這樣的關系。

（三）提升

師：將前三個問題歸為第一組，后三個問題歸為第二組，這兩組問題有什么相同和不同之處嗎？請大家小組討論交流一下。

師：也就是說，當我們求一個數的幾倍的時候用乘法，當我們求一個數的幾分之幾的時候也可以用乘法，對嗎？下面我們再重新來看看剛才出示的所有圖示和算式：

設計說明：從相同點可以統一概括乘法的意義，突顯新知與舊知之聯系；從不同點使學生明確整數乘法與一個數乘分數的意義有所不同，沖破過去乘法的理解限制，突顯新知之“新”在何處，舊知與新知關系清晰，此時學生的小學乘法意義結構已初步構成。

二、利用數形結合，推導計算法則

（一）方法發現

師：剛才我們理解了算式的意義，那么你知道第二組的算式等于多少嗎？

學生很快找出答案。

師：觀察圖示和算式的結果，你發現了什么？為什么會這樣？

學生發現了用分數的分子乘分子得出積的分子，分母乘分母得出積的分母。

（二）專項練習

A.請你根據下面的圖示列出算式，并寫出計算過程。

B.計算下面各題

C.通過畫圖的方法解釋B 題中的任意一個算式意義和算理。

設計說明：學生雖然能夠從圖上得出算式的答案，但不代表已經通曉算理。教師沒有簡單地停留在計算技能的訓練上，而是引導學生思考計算過程的道理，采取的方法就是結合圖示對應理解。同時，為了擺脫例題圖示的影響，出示三道練習題，進一步加深對算式的意義和算理的理解；一方面拓展圖示的份數，另一方面由圖示過渡到單獨的算式，最后再由算式嘗試解釋，這樣的過程有效地建構起分數乘分數的計算法則。

【教學反思】

1.從整數到分數，實現乘法意義的拓展。如果教師直接按照教材呈現新知，勢必會使學生陷入多重問題之中：一個分數的幾分之幾如何理解，為什么用乘法計算，乘法的意義如何建構等等。不僅意義理解不到位，計算法則也會流于技能層面。俗話說，“接知如接枝”，新的知識總是在原有知識的基礎上發展而成的。以上設計從學生的已有知識經驗出發，根據過去整數乘法意義的理解，先從3 小時、2 小時、1 小時開始，然后逐步拓展到小時、小時、小時等，由整數的幾倍過渡到一個整體及到這個整體的一部分，使學生遭遇認知沖突，繼而上升到對一個數的幾分之幾的認識，實現了乘法意義的有效拓展。美國著名教育家布魯姆明確提出，不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。本節課中乘法意義的知識結構就顯得清晰連貫，有效溝通了新知與舊知之間的密切聯系，取得了較好的教學效果。

2.從圖形到算式，突破學生學習的難點。本設計無論是分數乘法意義的建構還是計算法則的推導均采用了畫圖理解的方式，使得學習難點得到了有效突破。首先，在意義理解上，的幾倍和的幾分之幾通過表格表示，給學生提供一個十分清晰的表象，為抽象意義準備了充分的感知材料。其次，在計算法則的推導上，每步計算都能在圖形中得到解釋和意義支撐，使得法則的形成順理成章，有效突破了學習難點。曹培英教授指出，這種表格圖示就是分數乘法的幾何模型，為什么分母相乘、分子相乘，一目了然，可以很好地培養學生的幾何直觀能力。