基于HD和SVD的DWT變換的數字圖像水印

甘志超 劉丹

摘? 要：文章提出一種基于離散小波變換（DWT）、Hessenberg分解（HD）和奇異值分解（SVD）的圖像水印方法。在嵌入過程中，對原始載體圖像進行多級DWT分解，并將得出的子帶系數作為HD的輸入。在創建水印的同時對SVD進行操作，通過縮放因子將水印嵌入到主圖像中。運用果蠅優化算法，通過給出的客觀評價函數來尋找比例因子。在各種欺騙攻擊下，將所提出的方法與其他方法進行比較，實驗結果表明，該方法對水印具有良好的魯棒性和不可見性。

關鍵詞：圖像水印;離散小波變換;Hessenberg分解;奇異值分解

中圖分類號：TP391.4? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A文章編號：2096-4706（2022）01-0040-04

Abstract： This paper proposes an image watermarking method based on discrete wavelet transform （DWT）， Hessenberg decomposition （HD） and singular value decomposition （SVD）. In the embedding process， the original carrier image is decomposed by multi-level DWT， and the obtained subband coefficients are used as the input of HD. While creating the watermark， the SVD is operated， and the watermark is embedded into the main image through the scaling factor. Using the fruit fly optimization algorithm， the scale factor is found through the given objective evaluation function. Under various spoofing attacks， the proposed method is compared with other methods. The experimental results show that this method has good robustness and invisibility to watermark.

Keywords： image watermarking; discrete wavelet transform; Hessenberg decomposition; singular value decomposition

0? 引? 言

圖像的魯棒性和不可見性是評價水印技術有效性的兩個主要指標。水印技術大致可以分為三類，即魯棒水印、脆弱水印和半脆弱水印[1]。魯棒水印對圖像數據的保護至關重要，因為它不會顯著降低水印圖像的視覺質量，而且還能夠抵御各種攻擊。因此，魯棒水印廣泛用于版權保護和所有權驗證。脆弱水印僅用于保證圖像的完整性，并不能驗證實際的所有權。半脆弱水印融合了脆弱水印和魯棒水印的優點，旨在檢測未經授權的操作，同時保持對授權操作的魯棒性。此外，還可以在變換后的域內完成嵌入過程，如奇異值分解（SVD）、離散余弦變換（DCT）、離散傅立葉變換（DFT）、離散小波變換（DWT）。

1? 相關理論

研究表明，人眼視覺對中低頻系數更為敏感。因此，變換域內的運算方法具有良好的性能，特別是當水印嵌入在低頻范圍內時。基于DWT的水印方法具有分辨率高、能量壓縮性好、視覺質量高等優點，可用于圖像水印。然而，基于DWT的水印難以抵抗幾何攻擊。這個弊端可以采用矩陣分解方法提取圖像的幾何特征來解決，基于DWT和矩陣分解的方法廣泛應用于圖像水印中，從而使水印能夠耐受一定程度的圖像處理和圖像幾何攻擊[2]。水印中最常用的矩陣分解方法包括SVD和Hessenberg分解（HD）。此外，魯棒性和不可見性是評價圖像水印的兩個主要指標，二者之間的性能平衡是非常具有挑戰性的。本文利用FOA算法對算法中的參數因子進行了改進，在魯棒性和不可見性之間進行了權衡。本文提出一種結合DWT、HD和SVD的圖像水印算法[3]。性能測試結果表明，該方法具有較高的魯棒性和不可見性，且沒有水印大小的約束。具體來說，本研究利用FOA找到一個最優的自適應比例因子，實現不可見性和魯棒性之間的平衡。

1.1? 小波變換

輸入圖像經過多級小波分解后，生成三個高頻帶HH、LH、HL以及一個低頻帶LL，如圖1所示。其中低頻帶系列是小波分解級數對應的最小分辨率和最大尺度下對原始圖像的最佳逼近。其統計特征與原圖像近似，圖像的大部分能量集中于此。高頻帶是圖像在不同分辨率和不同尺度下蘊含的細節信息。分辨率越低，其中的有用信息比例就越高。圖像小波分解分成若干級，對于同級圖像，低頻子圖像LLj最重要，其次是LHj和HLj，而高頻子圖像HHj相對不重要。對于不同級來說，級高者重要，級低者不重要，如圖1所示。小波理論使得進一步的分解成為可能，直至子帶的大小達到水印的標準。與其他子帶相比，LL的攻擊性能更優，例如對濾波、壓縮攻擊。這一特性使LL子帶成為魯棒水印的最佳候選[4]。

1.2? HESSENBERG分解（HD）

HD是一種矩陣分解方法，可用于方陣分解[4]。HD可以找到更精確的圖像信息，因此魯棒性得到了提高，可以用HD來分解一個N×N的方陣X。其中H是上Hessenberg矩陣，P是正交矩陣，當i>j+1時，hi，j=0。HD與宿主矩陣的計算關系為：

宿主矩陣Q也是一個正交矩陣，Q的表達式為：

其中，μ是Rn中的一個非零向量，而In是一個N×N的單位矩陣。整個過程包含n-2個步驟，HD計算公式為：

1.3? 奇異值分解（SVD）

奇異值分解是一種常用且重要的矩陣分解方法，其基于特征的分解可運用于任意矩陣的分解，并可將圖像看作是由若干非負標量組成的非負矩陣。奇異值分解可用來提取圖像的特征值，從而實現對圖像的降維與壓縮，應用到數字水印中可以提高水印的魯棒性，奇異值分解的優勢在于可以對長矩陣進行處理，并不局限于方陣矩陣。圖像在經過SVD分解后可以得到3個矩陣（2個正交矩陣和1個對角矩陣），分別對應左奇異值矩陣U、右奇異值矩陣V和奇異值矩陣S[5]。在奇異值矩陣中，奇異值按照由大到小的順序排列成對角矩陣。尺代表實數域，矩陣A的大小為M×N。其中UUT=In，VVT=In（In是一個N×N的單位矩陣）。若r為待分解矩陣Y的秩且滿足r≤n，則對角矩陣S的元素滿足式（7）中的關系，而待分解矩陣Y可以寫成式（8）。

其中，σi為第i個奇異值，μi，νi分別為U和V的第i個特征向量。采用奇異值分解的奇異值矩陣S，通過合適的比例因子系數將水印的奇異值嵌入到載體圖像的信息中。

1.4? 果蠅優化算法（FOA）

FOA是一種仿生優化算法。實驗中經常運用一些仿生算法來求解優化問題，相較于其他仿生算法，FOA算法實現簡單，具有較強的全局優化能力。FOA算法啟發于果蠅的閃爍行為，該行為的作用相當于一個中樞信號系統，目的在于吸引其他果蠅[6]。本文運用該方法找到一個最優的自適應比例因子，實現不可見性和魯棒性之間的平衡。

2? 數字圖像水印算法

2.1? 水印嵌入算法

水印W和載體圖像C是水印嵌入算法的輸入，含水印圖像C*是輸出。C、W、C*的尺寸分別為M×M、N×N和M×M。此外，該水印方法可以容納多個尺寸不同的水印，并對宿主圖像進行r級DWT分解。水印嵌入的過程如圖1所示，具體的嵌入步驟為：

（1）基于R級DWT，將C分解為LL、LH、HL、HH的分量，其中R=log2（M/N）。

（2）HD在LL上執行，顯示為：

（3）將SVD應用于H：

（4）W與SVD結合使用：

接著使用Logistic映射產生的混沌系統對Uw、VwT的運算加密，加密后的兩個組件標記為Uw1和VTw1。

（5）通過將HSw和Sw與縮放因子α的乘積相加，計算嵌入的奇異值HS*w：

（6）帶水印的子帶H*是通過逆奇異值分解生成的，即：

（7）基于給出的逆HD，重建一個新的低頻近似子帶LL*：

（8）水印圖像C*是通過執行逆r級小波變換獲得的，水印嵌入流程圖如圖2所示。

2.2? 水印提取算法

在水印提取算法中，加水印的宿主圖像C*是輸入，提取的水印W*是輸出。W*的大小為N×N。水印提取過程如圖3所示，具體提取步驟為：

（1）經過水印的主圖像C*通過r級DWT分解為四個子帶，分別為LLw、LHw、HLw、HHw。

（2）對LLw執行HD

（3）將SVD應用于Hw，

（4）提取的奇異值Sw*為：

（5）Uw1和Vw1T由混沌系統解密，解密的兩個組件被標記為Uw2和Vw2T。提取的水印W*通過逆奇異值分解（SVD）進行重構，公式為：

水印提取流程圖如圖3所示。

2.3? 實驗結果

原始載體圖像為64×64、128×128、256×256的lena標準彩色測試圖像，水印圖像采用256×256具有豐富細節的二值圖像。為了便于對比實驗結果，宿主圖像的尺寸大小沒有造成明顯的數據偏差，本文圖片數據采用256×256的數據對比。從人眼視覺來看，經過嵌入的圖像與原圖像沒有明顯的差別，但卻在不可見性上取得較好的效果，如圖4所示。為了測試該方法的魯棒性，本文對圖像進行了不同種類和不同強度的攻擊和干擾，分別進行了無攻擊、ɑ=0.05的高斯低通濾波、高斯濾波、中值濾波、斑點噪聲、椒鹽噪聲、JPEG壓縮、JPEG2000壓縮、銳化攻擊、直方圖均衡化、均值濾波、運動模糊等共16項攻擊，所提取的水印如圖5所示。該算法在無攻擊時能夠完美地提取出原水印圖像，在大部分情況下都能表現出出色的魯棒性，尤其是JPEG壓縮、JPEG2000壓縮以及各種濾波和噪聲。實驗采用PSNR、SSIM、NC指標來精準量化圖片的不可見性和魯棒性。

3? 結? 論

本文采用的基于小波變換的水印方法具有分辨率高、視覺質量好等優點，在數字圖像水印的基礎上運用一種基于DWT-HD-SVD變換的數字圖像水印技術。利用FOA來尋找最優比例因子，結果表明，基于該技術的水印主機圖像具有良好的視覺質量、PSNR值和SSIMS值。此外，在NC值較高的情況下，可以從不同攻擊下的水印主機圖像中清晰地提取水印。該方法對不同種類、不同強度的濾波和噪聲干擾以及JPEG2000壓縮、JPEG壓縮和銳化攻擊具有很強的魯棒性。

參考文獻：

[1] 吳德陽，張金羽，容武艷，等.數字圖像水印技術綜述 [J].高技術通訊，2021，31（2）：148-162.

[2] ZHANG H，WANG C Y，ZHOU X.Fragile watermarking for image authentication using the characteristic of SVD [J].Algorithms，2017，10（1）：1382-1396.

[3] LIU J X，HUANG J D，LUO Y L，et al.An Optimized Image Watermarking Method Based on HD and SVD in DWT Domain [J].IEEE Access，2019，7：80849-80860.

[4] SU Q. Novel blind colour image watermarking technique using Hessen-berg decompositi [J].IET Image Process，2016，10（11）：817-829.

[5] RUN R S，Horng S J，LAI J L， et al. An improved SVD-based watermarking technique for copyright protection [J].Expert Systems with Applications，2012，39（1）：673-689.

[6] Pan W P. A new fruit fly optimization algorithm： Taking the financial distress model as an example [J]. Knowledge-Based Systems，2012，26：69-74.

作者簡介：甘志超（1999—），男，漢族，福建漳州人，碩士研究生在讀，主要研究方向：數字圖像水印;通訊作者：劉丹（1969—），女，漢族，天津人，教授，理學博士，主要研究方向：圖像處理、非線性數學、模式識別。