破解魔法城難題

黃旭軍

今天的數(shù)學(xué)課上，阿木老師正講著數(shù)學(xué)題。突然，一臉嚴肅的紀律委員小李忽地一下站了起來，手上還拿著一本筆記本。“老師，林一笑在上課記錄本上寫小說。”

阿木老師不得已停止了講課，接過本子翻看起來。林一笑同學(xué)看到證據(jù)落在老師手上，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢，閉口不言。

“好！寫得太好了。”阿木老師看著本子哈哈一笑，然后朗讀起里面的故事來，“在很遠很遠的地方，有一個魔法城，城里有3個居民區(qū)。A區(qū)住著獨腳獸和雙腳怪共28只，共有32只腳，請問A區(qū)住著多少只雙腳怪呢？”

林一笑同學(xué)一聽，原來阿木老師用他的小說編了一道題目。全班同學(xué)不知道，紛紛稱贊題目出得新鮮有趣。林一笑剛想開口解釋，卻被同桌小王搶了發(fā)言權(quán)：“阿木老師，我覺得這題可以用方程來解！”小張同學(xué)跟著說：“這個題目和雞兔同籠類似，可以用假設(shè)法來做……”

阿木老師哈哈一笑：“解題之前先分析題意，找準對應(yīng)關(guān)系，可以事半功倍！獨腳獸1只腳對應(yīng)1個頭，所以多出的腳都是雙腳怪的。雙腳怪1個頭對應(yīng)2只腳，多出的腳數(shù)正好就是雙腳怪的數(shù)目。那么雙腳怪就是32-28=4（只）。”

居然有這么簡便的方法。同學(xué)們對阿木老師佩服得五體投地。

例1

魔法城B區(qū)住著四腳吞金獸和雙腳怪，共28個頭，共有68只腳。請問B區(qū)住著多少只四腳吞金獸呢？

觀察開始 28個頭，說明B區(qū)有28只怪獸，共有68只腳，要求出四腳吞金獸的數(shù)量。

常規(guī)思路 假設(shè)法。假設(shè)這28只全是雙腳怪，那么共有28×2=56（只）腳。可是實際上共有68只腳，還差68-56=12（只）腳。這時，再用1只四腳吞金獸去換1只雙腳怪。每換1只，頭的數(shù)量不變，腳可以增加2只。這樣一共換12÷2=6（次），腳的數(shù)量就變成了68只。所以共有6只四腳吞金獸。綜合算式：（68-28×2）÷2=6（只）。

答：B區(qū)住著6只四腳吞金獸。

另辟蹊徑 對應(yīng)法。先讓所有妖怪抬起一半的腳，這樣站在地上的腳就只有68÷2=34（只）。這時，雙腳怪是1只腳對應(yīng)1個頭，頭和腳的數(shù)量是一樣多的。而四腳吞金獸是2只腳對應(yīng)1個頭，多出來的腳數(shù)就是它的數(shù)量。綜合算式：68÷2-28=6（只）。

答： B區(qū)住著6只四腳吞金獸。

例2

魔法城C區(qū)住著雙頭蛇和兩尾獸，雙頭蛇有2個頭、1條尾巴，兩尾獸有1個頭、2條尾巴，總共有28個頭、29條尾巴。請問C區(qū)住著多少只兩尾獸？

觀察開始 審題后，發(fā)現(xiàn)難點在于頭的數(shù)量，而不是怪獸的總數(shù)量，因為雙頭蛇有2個頭。

常規(guī)思路

用方程來解。

解：設(shè)雙頭蛇有x只，兩尾獸有y只。根據(jù)頭和尾巴的數(shù)量，可列出方程：

2x+y=28? ? ?①

x+2y=29? ? ?②

把兩式合并，①+②得3x+3y=28+29→x+y=19? ? ?③

再把③式代入 ②式，得19+y =29，y=10

答：C區(qū)住著10只兩尾獸。

另辟蹊徑 找對應(yīng)：1只雙頭蛇和1只兩尾獸正好就是3個頭、3條尾巴。這時，頭和尾巴的數(shù)量正好一一對應(yīng)。列表說明：

還有1個頭、2條尾巴，所以還有1只兩尾獸。則兩尾獸有9+1=10（只）。

答：C區(qū)住著10只兩尾獸。

例3 魔法城有48人去劃船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人。請問大船和小船各有多少只？

觀察開始 已知總?cè)藬?shù)48人，共12只船。條件比較充分，這是一道典型的雞兔同籠題目。

常規(guī)思路 用方程來解。

解：設(shè)大船有x只，小船有（12-x）只。列出方程5x +3×（12-x）=48，解得x=6，即大船有6只，小船有12-6=6（只）。

答：大船有6只，小船有6只。

另辟蹊徑 找對應(yīng)。如果每只大船送1人給每只小船，那么大小船上人數(shù)就都是4人了。這時船的數(shù)量和人數(shù)的比是1∶4，即1只船對應(yīng)4個人。現(xiàn)在共有48個人，正好對應(yīng)12只船。所以大船和小船一樣多，都是6只。

答：大船有6只，小船有6只。

訓(xùn)練一二一

魔法學(xué)校共有100名師生參加綠化校園活動，老師每人栽3棵樹，學(xué)生每兩人栽1棵樹，共栽樹100棵。請問老師和同學(xué)各栽樹多少棵？