決戰華容道

邵勇

周末，寧寧做完作業后，正在家里百無聊賴地擺弄花草。這時，寧寧接到了小明的電話。小明在電話里故作神秘地說：“寧寧，我得到了一個奇怪又好玩的玩具，現在帶過去給你看看！”

放下電話，寧寧期待起了小明所說的奇怪玩具：到底是什么樣的玩具呢？過了一會兒，小明就到了寧寧家門口，未見其人先聞其聲：“寧寧，快開門，我帶著玩具來了！”一進門，小明就遞上來兩個四四方方的盒子，說：“數字華容道來也。”還沒等寧寧看清楚玩具的細節，小明就快速地講了一大堆游戲規則，還讓寧寧和他進行比賽，看誰先完成游戲。

數字華容道的玩法是：通過移動數字木塊，把混亂排列的數字擺成從小到大的排列順序。

寧寧一邊回憶小明剛剛說的游戲規則，一邊擺弄手中的華容道玩具。突然，寧寧手一滑，她手中的華容道就摔在了地上，里面的數字木塊都被摔出來了。小明眼疾手快，先把他手中的華容道塞到寧寧手里，再一把撈起地上的數字木塊，胡亂地塞回去。匆忙間，寧寧發現自己手中華容道的數字木塊排列順序和小明手中的并不一樣。

隨著小明的一聲“開始”，兩人快速滑動著華容道里面的數字木塊。過了一會兒，寧寧率先完成了，卻發現小明還在搗鼓著手中的華容道。小明嘴里還念念有詞：“怎么8一直在7的前面，挪不過去呢？”寧寧幸災樂禍地說：“肯定是你剛剛亂塞的原因。”

按照從左至右、從上至下的順序看，小明的華容道結果為“12345687”，這并不是一個正確的結果。而寧寧的結果才是正確的。

百變逆序數

為什么小明和寧寧的華容道結果會不一樣呢？我們先研究一下華容道中蘊藏的數學原理。下面兩幅圖分別是華容道中八個數字木塊的不同排列情況，（1）中的數字排列沒有規律，（2）中的數字排列看上去就整齊多了。

按照從左至右、從上至下的順序，（2）中的八個數字木塊排列相當于“12345678”。那么，這個數字排列不存在逆序的情況。

逆序是指一個數字排列中存在前面的數字比后面的數字大的情況。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，該數字排列存在逆序的情況。而“1358”就不存在逆序的情況。

逆序是指一個數字排列中存在前面的數字比后面的數字大的情況。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，該數字排列存在逆序的情況。而“1358”就不存在逆序的情況。

逆序數是指一個排列中逆序的個數。比如，“321”的逆序數是3，因為“3”比“2”大，“3”比“1”大，“2”比“1”大。排列“5392”的逆序數是4，因為“5”比“3”大，“5”比“2”大，“3”比“2”大，“9”比“2”大。

下面我們來關注逆序數的奇偶性，并且研究華容道中一個數字木塊左右、上下移動會對逆序數及其奇偶性產生什么影響。

圖1是數字華容道最終要得到的結果，它的逆序數是0，為偶數。如果我們把“8”左右移動，則不影響總排列“12345678”的逆序數。而把一個數字木塊上下移動，逆序數則會發生變化，但逆序數的奇偶性不變。

我們不妨實際操作一下。把圖1中的“6”向下移動，這相當于把“6”移到“7”和“8”之后，于是產生了兩個逆序：“76”和“86”，而“6”“7”“8”這三個數仍然在“1”“2”“3”“4”“5”之后。所以，總逆序數就是2，逆序數由0變為2，其奇偶性不變。

我們再來看一下圖2的情況。如果把“5”向下移動，也就是把“5”移到“8”和“4”之后。那么，原來存在的逆序“54”消失，產生一個新的逆序“85”。至此，逆序數不變，其奇偶性也不變。

還有一種情形，如圖3所示。把“5”向下移，因為“5”后面的兩個數“3”和“4”都比“5”小，所以原來的兩個逆序“53”和“54”都消失了，但逆序數的奇偶性仍然不變。

以上三種情況是全部可能的情況。向上移動也類似。總之，向上或向下移動數字木塊，相當于把一個排列中的某一個數向前或向后移動兩位，逆序數加2、減2或不變，即逆序數的奇偶性不變。所以，我們可以得到一個有趣的結論。

如果逆序數是偶數，那么，我們就可以通過移動數字木塊，把混亂排列的結構變換成數字按照從小到大的排列順序。而如果逆序數是奇數，那就沒辦法做到。

因此，我們可以確定，小明的華容道出現“12345687”的結果是因為其初始的逆序數為奇數，所以無法將華容道中的數字木塊還原成“12345678”的排列順序。

一起數一數

我們來數一數“37254816”的逆序數吧。最簡單的方法是計算每個數后面有多少個比它小的數，這樣可以得到“37254816”的逆序數。

2+5+1+2+1+2+0+0=13

正像大多數人習慣使用右手，但仍然有一些人習慣使用左手一樣，計算逆序數的方法也有兩種。下面介紹另外一種計算逆序數的方法，即計算每個數前面比它大的數的個數。我們仍然可以計算出“37254816”的逆序數。

0+0+2+1+2+0+6+2=13

一個簡單的數字華容道游戲，竟然蘊含著這么有趣的數學思想。只要肯挖掘，生活中處處都有數學！

只要你認真觀察，生活中的大小事物也會充滿數學的味道。不管是玩具，還是日常學習，數學一直都在我們身邊。趕緊掃描二維碼，關注“廣西期刊傳媒集團”，和我們一起分享你的日常數學感悟吧。0B878496-FEA5-477D-8237-C9AEE759D08F