一類復合函數求導的兩種解法

□胡夢薇

一、引言

在高職院校高等數學教學中，經常會遇到計算有關一類復合函數形式

y=eu(x)

(1)

的導數問題，這里u(x)是初等函數，教材中最常用的方法是復合函數求導法則，運用此種方法解決求導問題的關鍵是要對復合函數進行合理分層，雖然此種方法能夠解決大部分復合函數的求導問題，但是對于某些復合函數分層比較復雜的情況就需要尋找簡便方法。

對于(1)中的復合函數，選取通式y=esin(axn+b)為研究對象，發現學生在做題的過程中經常由于分層不清楚的問題，導致計算錯誤。鑒于此，本文采用對數求導法，對數求導法是一種利用對數的性質與隱函數的求導法則來簡化導數計算的方法，使用這種方法來解決形如(1)式的顯函數的導數問題，不僅減少了復合函數分層的麻煩，也有利于訓練學生的思維能力，提高解題思路的靈活性。

本文推廣研究了如下形式

y=esin(axn+b)

(2)

的復合函數，這里a、b是常數，n∈R。

二、準備知識

定義2.1[1]冪函數y=xa(a為任何實數)；指數函數y=ax(a>0,且a≠1)；對數函數y=logax(a>0,且a≠1)；三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx及反三角函數y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等五類函數統稱為基本初等函數。

定義2.2[1]如果一個函數可用一個式子表示，且這個式子是由常數及基本初等函數經過有限次四則運算與有限次復合構成的，則這類函數統稱為初等函數。

定義2.3[1]設D是平面上的一個點集，如果對于每一組數(x,y)(或稱點P(x,y))，變量z按一定規則f，都對應著唯一一個確定的值，則稱變量z是變量x,y的二元函數，或稱為點P的函數，記作

z=f(x,y)或z=f(P)

x,y稱為自變量，z稱為因變量，D稱為函數z=f(x,y)的定義域。

定義2.4[2]設函數y=f(u)和u=φ(x)，且u=φ(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中，則通過u,y與x建立了對應關系，記為y=f[φ(x)]，稱此函數是由函數y=f(u)和u=φ(x)復合而成的復合函數，其中u稱為中間變量。

定義2.5[2]在實際問題中，有時還會遇到用一個方程表示函數關系的情形，例如方程x2+y2=a2確定著y與x之間的函數關系。一般地，由一個二元方程F(x,y)=0所確定的函數y=f(x)稱為隱函數。

定義2.6[2]設函數y=f(x)在點x0的某領域內有定義，當自變量x在點x0處有增量Δx時(點x0+Δx仍在該領域內)，相應地函數有增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

也可以記作

定義2.7[1]設函數z=f(x,y)在點P(x0,y0)的一個領域內有定義，如果

定理2.2[2](隱函數求導)把由F(x,y)=0所確定隱函數y=y(x)代入原方程，得到恒等式

F(x,y(x))=0

運用復合函數求導法，在等式兩端對x求導，得到一個含y′的方程，解出y′，即為所求隱函數的導數。

三、問題解決的兩種方法

方法一，復合函數求導法[1]

解 函數y=esin(axn+b)可以看作由y=eu,u=sinv,v=axn+b復合而成，運用復合函數求導法，得

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y′=(eu)′·(sinv)′·(axn+b)′

=eu·cosv·naxn-1

=naxn-1·cos(axn+b)·esin(axn+b)

因為u和v是假設的中間變量，所以求導結束之后一定要記得回代，消去中間變量u和v。可以看出，運用復合函數求導法對此函數進行分層求導時，并且容易因為復合函數分層的問題而出現計算錯誤，所以需要嘗試其他更簡潔的方法。由于受到隱函數求導思想和對數函數性質的啟發，給出下面的第二種解法。

方法二，對數求導法

解 等式兩邊取對數，得

lny=sin(axn+b)

方程兩邊同時對x求導，得

即

y′=cos(axn+b)·naxn-1·y

=naxn-1·cos(axn+b)·esin(axn+b)

通過上面的解題過程可以看出，這個方法降低了對復合函數分層的要求，減少了求導次數，提高了解題的正確率。

此方法的解題步驟總結如下：

(1)函數等式的兩邊取對數；

(2)等式兩邊對x求導，并且注意到y是x的函數；

(3)解出y′，并把y關于x的函數表達式代入，得到所求的結果。

上面的方法對求多元函數的偏導數同樣適用，我們以二元函數為例進行說明。

例 求函數z=esin(axn+bym)，a、b是常數，n,m∈R

解 等式兩邊取對數，得

lnz=sin(axn+bym)

方程兩邊同時對x求偏導，得

即

=naxn-1·cos(axn+bym)·esin(axn+bym)

四、結語

本文完整、詳細地研究了形如(1)式的復合函數求導的兩種計算方法，通過對比可以看出使用對數求導法計算，能夠避免因為復合函數分層而容易出現的錯誤。另外，此題的結果可以作為一個通項公式來用，提高此類題目的解題效率。