考慮滑動和熱膨脹的球軸承局部故障動力學建模

雷宏衛， 成建聯

(長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064)

滾動軸承是各種旋轉機械的重要零件，若其發生故障，會導致設備不能正常運轉。軸承的動力學特性可以反映軸承是否存在故障[1]。磨損、剝落等常見局部故障會影響軸承壽命，當發生這些故障時，軸承的動力學特性也會發生變化。因此對局部故障軸承的動力學特性進行研究很有意義[2]。Mcfadden等[3]建立了恒定徑向載荷下考慮軸承形狀、轉速、載荷分布以及振動衰減的內圈局部故障滾動軸承動力學模型。Patel等[4]考慮多種因素包括各組件質量和不同缺陷狀態，建立球軸承動力學二自由度模型，模型結果表明具有多個局部故障的軸承相比單一故障軸承的振動譜具有更高的幅值。Patil等[5]將軸承簡化為彈簧-阻尼系統，利用赫茲接觸理論計算滾動體與滾道的接觸力，對軸承的動力學特性進行研究，發現外圈局部故障所引起的振動幅值高于內圈局部故障和滾動體故障引起的振動幅值。Nakhaeinejad等[6]基于多體動力學建立了考慮陀螺效應、離心力、彈性撓度、滑動的局部故障動力學模型。曹宏瑞等[7]研究了外圈滾道表面狀態和滾動體與滾道間隙的變化對軸承動力學特征的影響，發現軸承出現磨損故障后，其振動響應時域信號波形無明顯規律；若間隙增加，振動的幅值以及磨損也會增加。牛藺楷等[8]建立六自由度軸承局部表面損傷動力學模型，充分考慮了滾動體三維運動和相對滑動，研究了滾動體在通過局部故障時的動力學特性。徐可君等[9]研究了滾動體存在缺陷的中介軸承采用不同支承形式時的振幅特征。田晶等[10]忽略滾動體滑動，建立了包含彈流潤滑和時變位移因素的動力學模型，結果表明缺陷尺寸增大會增加中介軸承的振動響應。

軸承運轉時內部各組件會由于相互摩擦而產生熱量，這些熱量使得軸承產生不均勻的膨脹，影響軸承性能。Ma等[11]建立精確計算球軸承發熱速率的模型，分析了多種因素對軸承溫度的影響。Hannon等[12-13]建立滾動軸承傳熱模型，研究了軸承以及軸承座、轉軸的溫度場。李歡鋒等[14]使用擬靜力學的方法建立角接觸球軸承生熱模型，研究了內溝曲率和外溝曲率對軸承生熱的影響。但多數對軸承溫度場的研究沒有包含軸承溫度對其動力學特性的影響。

綜上所述，對局部故障球軸承的動力學特性和軸承溫度場已有很多研究成果，但大都缺少對軸承溫度變化引起的組件熱膨脹對其動力學特性影響的考慮。本文綜合考慮滾動體經過缺陷區域不同狀態的時變剛度、時變位移，以及軸承轉動導致各組件摩擦產生熱量引發的熱膨脹對局部故障軸承動力學特性的影響，建立二自由度動力學方程，并利用試驗對其進行驗證。

1 軸承彈簧-阻尼模型

為簡化研究，本文對研究對象做出如下假設[15]：

(1) 軸承的故障為外滾道單一局部剝落，剝落形式為與滾道等寬的矩形凹槽，且凹槽具有一定深度；

(2) 滾動體均勻分布在滾道中且互不接觸；

(3) 滾動體與滾道之間滿足赫茲接觸理論；

(4) 接觸力只在徑向發生作用；

(5) 軸承的外圈與軸承座、內圈與轉軸皆為剛性連接，且轉軸質量包含內圈。

在上述條件下，將球軸承系統簡化為彈簧-阻尼模型，其中外加載荷Fy作用在轉軸上。

2 滾動體的滑動

如圖1所示，將第i個滾動體的角度位置記為Ψi。在軸向載荷Fr作用下，圖中θr范圍內為滾動體承載區。Ψi可以表示為[16]

(1)

圖1 軸承受載及位置關系Fig.1 Loading and angle relationship of bearing

式中:ωs表示轉軸的角速度;ωc為保持架角速度;Z為滾動體數量;Db是滾動體直徑;Dp為軸承節圓直徑；α表示軸承接觸角，深溝球軸承的α=0。Ψ0表示第1個滾動體的角度位置。

當滾動體剛受載時會發生相對滑動，此時Ψi表示為

(2)

式中,γ為在[-θslip,θslip]上的均勻分布函數，其中0.01 rad<θslip<0.02 rad。

3 時變剛度模型

通過Hertz接觸理論可得滾動體與滾道的接觸力[17]

F=Kδn

(3)

式中,K為滾動體與內、外圈等效接觸剛度；δ表示徑向位移;n是載荷-變形系數，球軸承取n=1.5。

等效接觸剛度K如式(4)所示

(4)

其可以由滾動體與內圈滾道的接觸剛度Ki和滾動體與外圈滾道的接觸剛度Ko計算得出，如式(5)所示

(5)

式中:∑ρi為滾動體與內圈接觸的曲率之和;∑ρo為滾動體與外圈接觸的曲率之和；Eeq為等效彈性模量；ξ2為第二類橢圓積分；ξ1為第一類橢圓積分；e為橢圓度參數。外圈滾道的局部剝落會導致剝落區附近一定范圍內的接觸剛度發生變化[18]，記θch為剝落區前后接觸剛度發生變化的角度范圍，βen、βex分別為滾動體進入和退出外圈滾道剝落區角度位置，βmid為剝落區中心在滾道上的角度位置，2θsp為βen、βex之間的角度，如圖2(a)。

(a)

(b)圖2 剝落區附近接觸剛度Fig.2 Contact stiffness values near the defect

當滾動體運轉至βen-θch<Ψi<βen范圍時，其與外圈滾道之間的接觸剛度Ko進行修正后得到新的接觸剛度Ke1為

Ke1=Ko[1-R[1+(Ψi-βen)/θch]S]

(6)

當滾動體逐漸遠離退出邊緣，即βex<Ψi<βex+θch時，修正后的接觸剛度Ke2可表示為

Ke2=Ko[1-R[1+(βex-Ψi)/θch]S]

(7)

式中：R為在θch范圍內的載荷-變形接觸比例數;S為形狀系數。隨著滾動體在θch內滾動，不同位置處對應的Ke值不同。

當滾動體處于βen<Ψi<βex范圍內時，如圖2(b)所示，有如下關系

Ke=(1-R)Ko

(8)

4 時變位移模型

滾動體經過剝落區時其位移會隨時間發生變化[19]，如圖2(a)所示。設H為剝落區深度，Hr為滾動體通過剝落區時的最大徑向位移，其值如式(9)所示。L為剝落區長度，Hd為滾動體時變位移,Do為軸承的外圈滾道直徑。圖2(a)所示情況剝落區的深度大于滾動體通過此區域時的最大徑向位移，圖2(b)所示情況剝落區深度等于滾動體最大徑向位移。

(9)

圖2(a)情況下滾動體經過剝落區域時會與凹槽兩側邊緣接觸。

根據幾何關系，其時變位移Hd表示為

(10)

圖2(b)所示情況下，滾動體先后經過接觸剝落區左側、底部、右側，再次進入正常滾道。Hd為

(11)

式中,θen為滾動體與剝落區域底部剛接觸時角度位置與βen之間的夾角，如圖2(b)所示，其值為

(12)

5 動力學模型的建立

5.1 軸承熱膨脹分析

球軸承在高速運轉時，滾動體的公轉攪油、自旋以及其與滾道的差速滑動等都會產生熱量[20]。由于軸承各組成部分的結構、散熱系數有所不同，內部產生的熱量會引起各部分的不均勻膨脹，導致熱誘導載荷的產生。因此，在對軸承進行動力學研究時熱膨脹因素不容忽視。

軸承常用的熱分析方法有整體法和局部法兩種。使用整體法得出的計算結果精度低，且難以對實際工況準確預測，本文采用精度高的局部法對球軸承進行熱分析。球軸承的嚴重故障通常發生在熱誘導載荷上升的初期階段。在軸承剛開始運轉時，軸承內部產生的摩擦熱有很大比例轉移到滾動體上，此時滾動體的溫度會明顯高于內滾道和外滾道。軸承工作一段時間之后，一方面熱量通過軸承座和轉軸散失，另一方面軸承座吸收了軸承的熱量而發生膨脹，軸承中的熱誘導載荷逐漸減小[21]。

由于內、外圈的散熱條件比滾動體好，而且滾動體的體積、質量小，因此在熱誘導預緊力上升的初期階段，滾動體的熱膨脹程度最大。綜上，本文在建立動力學模型時主要考慮滾動體熱膨脹對軸承動力學特性的影響。使用局部法計算軸承生熱率的方法如下所示[22-23]

(13)

式中:Hfb表示滾動體與滾道的摩擦生熱率，其中包含了差動滑動摩擦、陀螺轉動摩擦和自旋摩擦三種類型。τybi為滾動體在接觸點的剪切力，Vybi表示滾動體相對滑動速度，ωti、Fxbi為滾動體的自轉角速度和摩擦力，Mbi、ωri為滾動體的自旋摩擦力矩和角速度。其中下標y,x分別表示沿接觸橢圓的短軸和長軸方向，b取值0時表示內圈，取值1時表示外圈。

(14)

式中:Hli為滾動體公轉攪油生熱率;Hc、Hi分別表示保持架與引導面和滾動體的摩擦生熱率;Flui為潤滑油對滾動體摩擦力;ωsi、ωo分別為滾動體公轉和外圈的角速度。Hc表示保持架與引導面的摩擦生熱率，Dc為引導面直徑，Fsl是滑動摩擦力，csl為滑動系數，ωb為套圈角速度。Hi為滾動體與保持架的摩擦生熱率，μ、Qi分別為滾動體與保持架的摩擦因數和接觸載荷，ωi為滾動體角速度。忽略熱輻射的情況下，熱傳導熱阻Rh和對流熱阻Rc有如下關系式

(15)

式中:Lh、Ah為導熱特征長度和換熱面積;Kh為材料的熱導率;he為對流系數。he可表示為

(16)

式中:de為對流換熱特征長度;Nu為努塞爾數;λa為流體熱導率。軸承的瞬態熱平衡方程為

(17)

式中:T表示待求節點溫度;Tj是待求節點相關的各節點溫度;Rjp為節點j，p間熱阻;Hp是待求節點的生熱量;mp為節點相關的質量;Cp表示材料比熱容。如圖3為熱網絡模型示意圖。根據熱網絡模型和瞬態熱平衡方程，建立18個節點的微分方程組。采用四階龍格庫塔法求解微分方程組，得到軸承瞬態溫度特性。圖4為熱膨脹位移求解流程。

圖3 軸系的熱網絡節點分布Fig.3 Thermal network diagram of the shaft-bearing system

圖4 熱膨脹求解流程Fig.4 Thermal expansion solution process

5.2 軸承熱膨脹位移計算模型

球軸承滾動體徑向熱膨脹位移可表示為[24]

ub=βbTbDb

(18)

式中:ub代表滾動體徑向熱位移;βb是滾動體熱膨脹系數;Tb表示滾動體溫度。

5.3 軸承動力學模型

χi為滾動體與滾道的接觸參數，定義如式(19)

(19)

考慮滑動和熱膨脹的球軸承局部故障動力學模型如式(20)

(20)

6 試驗驗證

試驗軸承型號SKF6205，參數如表1所示。設定步長為Δt=3×10-5s，徑向載荷Fx=0，Fy=400 N。初始位移x0=10-6m，y0=10-6m。為了驗證本文軸承溫度和熱膨脹計算方法的正確性，試驗測量軸承外圈和內圈的溫度，在軸承座上沿徑向加工通孔以安裝溫度傳感器測量外圈溫度，傳感器量程0～750 ℃，分辨率0.05 ℃。利用紅外測溫法測量內圈溫度，所使用傳感器量程為-50 ℃～800 ℃，分辨率為0.1 ℃。

表1 SKF6205軸承主要參數Tab.1 The parameters of SKF6205 bearing

將試驗測得溫度結果與使用本文方法模擬所得軸承外圈和內圈溫度進行對比。如圖5所示，為試驗和模擬外圈溫度結果。圖6所示為試驗和模擬的內圈溫度結果。對比可知兩者誤差小于5%。圖7所示為模擬熱誘導載荷預測曲線，與文獻[20]中的預測趨勢一致。上述結果證明了本文軸承熱計算方法的可行性。

圖5 軸承外圈溫度Fig.5 The temperature of outer ring

圖6 軸承內圈溫度Fig.6 The temperature of inner ring

圖7 熱誘導載荷預測Fig.7 Prediction of thermally induced load

使用電火花在兩個軸承外圈上分別加工出與滾道等寬的長度為0.5 mm和4.0 mm，深度為0.2 mm的矩形凹槽。電機主軸轉速為2 500 r/min，軸承的特征頻率理論值計算公式如式(21)所示[25]，表2為軸承特征頻率理論值。

(21)

表2 軸承的特征頻率Tab.2 Characteristic frequency of bearing

式中:fo為保持架通過外圈的頻率;fr為轉頻;外圈剝落時的振動特征頻率為Zfo。

圖8、圖9所對應的軸承剝落凹槽長度為0.5 mm。圖8(a)為本文模型得到的振動信號時域圖，圖8(b)為將時域信號經過EEMD法處理過后的頻譜圖，從中可清晰識別故障頻率及其二倍頻。圖9為試驗所得時域圖和頻譜圖，可以發現試驗所得的頻譜中噪聲較大，這是由軸承的加工、安裝誤差等因素導致的。

(a)

(b)圖8 0.5 mm剝落軸承仿真時域與頻域Fig.8 Simulation of 0.5 mm defect bearing in time domain and frequency domain

(a)

(b)圖9 0.5 mm剝落軸承試驗時域與頻域Fig.9 0.5 mm defect bearing experiment time domain and frequency domain

圖10、圖11對應凹槽長度為4.0 mm，可以其從頻譜圖中識別故障頻率點及其二倍頻點。隨著凹槽尺寸

(a)

(b)圖10 4.0 mm剝落軸承仿真時域與頻域Fig.10 Simulation of 4.0 mm defect bearing in time domain and frequency domain

(a)

(b)圖11 4.0 mm剝落軸承試驗時域與頻域Fig.11 4.0 mm defect bearing experiment time domain and frequency domain

的變大，其信號幅值也增大。這表明軸承局部剝落尺寸對軸承壽命有重要影響，剝落尺寸越大尺軸承受到的沖擊越大，壽命越短。模擬信號的故障特征頻率與試驗值誤差小于3%。

7 結 論

(1) 考慮了滾動體相對滑動、時變接觸剛度和熱膨脹因素，建立了能更準確反映實際振動特性的二自由度軸承動力學方程。

(2) 所建立模型包含與剝落尺寸相關的滾動體時變位移。分析結果表明軸承滾道剝落尺寸越大，所引起的沖擊振幅越大。說明剝落尺寸的大小對軸、承壽命有重要影響。

(3) 本文所建立動力學模型的故障頻率與試驗相比，誤差小于3%。驗證了所建立模型的可行性。