正切非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊的MSLP解

霍銀磊， 劉彥亨， 陳無(wú)忌

(河南科技大學(xué) 包裝工程系， 河南 洛陽(yáng) 471000)

包裝中的很多緩沖材料壓縮時(shí)體現(xiàn)為明顯的正切型彈性特性，例如緩沖氣柱、泡沫橡膠、預(yù)壓后的泡沫塑料等。此類材料組成的包裝系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性，基于小參數(shù)的傳統(tǒng)Lindstedt-Poincare攝動(dòng)法(L-P)對(duì)此類問(wèn)題的求解一般不再有效。

由于初始條件的差別，上述針對(duì)非線性系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的求解結(jié)果并不能直接應(yīng)用于跌落沖擊問(wèn)題。目前，針對(duì)正切型非線性系統(tǒng)的求解的研究還比較少，而且主要針對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)：宋浩等[12]基于何氏PEM法分析了無(wú)阻尼正切型非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)，利用沖擊過(guò)程中的能量關(guān)系修正了何氏PEM法的解析表達(dá)，得到較高精度的近似解析解；郭蓓蓓等[13-14]分別基于同倫攝動(dòng)法和Li-He氏修正同倫攝動(dòng)法分析了正切型非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)并對(duì)所得解析解基于能量關(guān)系進(jìn)行了修正；Song[15]還利用修正的同倫攝動(dòng)法分析了雙曲正切型無(wú)阻尼非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)解；趙曉兵等[16]基于牛頓諧波平衡法(NHB)分析了正切型緩沖系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)。最近，仲晨等[17]也基于NHB法分析了包含線性阻尼的正切型包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)。

上述沖擊響應(yīng)求解方法大多需要基于沖擊過(guò)程中的能量變化對(duì)所得解析解的幅值和頻率進(jìn)行修正以提高沖擊響應(yīng)的計(jì)算精度。對(duì)于有阻尼的包裝系統(tǒng)，能量修正會(huì)變得困難。因此，考慮到跌落沖擊的瞬時(shí)特性，本文嘗試將結(jié)合多尺度法和改進(jìn)的L-P攝動(dòng)法來(lái)討論正切型含有線型阻尼的非線性包裝系統(tǒng)在發(fā)生跌落沖擊時(shí)的響應(yīng)問(wèn)題。

1 系統(tǒng)模型及運(yùn)動(dòng)方程

圖1 包裝系統(tǒng)跌落動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The dropping dynamics model of packaging system

由牛頓第二定律可知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

(1)

由于變形過(guò)程中總有x

(2)

利用式(2)，式(1)寫為

(3)

其中：

對(duì)于跌落沖擊，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始條件為

(4)

2 基于MSLP方法的近似解

對(duì)于α,β不為小量的非線性系統(tǒng)，借鑒改進(jìn)的L-P法，令τ=ωt，對(duì)式(3)進(jìn)行時(shí)間變換得

(5)

式中，“′” 表示為對(duì)新時(shí)間變量τ的微分。

利用多尺度法，分別定義快、慢時(shí)間尺度

T0=τ，T1=ετ，T2=ε2τ

(6)

變換后的時(shí)間導(dǎo)數(shù)和因變量的多尺度展開分別為

x=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+ε2x2(T0,T1,

T2)+…

(7)

定義系統(tǒng)基頻ω，有：

(8)

ε2x2)+ε2μω[D0+εD1+ε2D2](x0+εx1+ε2x2)+(ω2-εω1-ε2ω2)(x0+εx1+ε2x2)+εα(x0+εx1+ε2x2)3+ε2β(x0+εx1+ε2x2)5=0

(9)

分離參數(shù)ε各階，得到：

(10)

(11)

(12)

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始條件

(13)

由式(10)可方便得到系統(tǒng)的0次近似解

x0=AeiT0+cc

(14)

式中：A為復(fù)振幅，包含振幅與相位信息；cc表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛。

將式(14)代入式(11)得

(15)

令D1A=0，根據(jù)消除久期項(xiàng)條件可得

(16)

考慮初始條件，式(11)有如下形式解

(17)

式中：B為復(fù)振幅；cc表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛。

進(jìn)一步地，將式(14)和(17)代入式(12)得

(18)

令D2A=0可知ω2為復(fù)數(shù)，方程的解不可得[18]。因此，根據(jù)消除久期項(xiàng)條件，令ω2=0，得

(19)

考慮初始條件，式(12)有如下形式的解

(20)

(21)

整理可得式(5)的一次漸進(jìn)解

3 sin(ωt+θ)]

(22)

及二次漸進(jìn)解

(23)

其中：

由式(8)及(16)可得

(24)

(25)

3 算例分析與討論

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，不考慮阻尼的影響，利用文獻(xiàn)[13-14]中的系統(tǒng)參數(shù)：m=10 kg,H=0.6 m,k0=600 N/cm,μ=0,εα=72 N/cm3,ε2β=0.000 1N /cm5，對(duì)比MSLP法(c=1×10-10N·s/m)與同倫攝動(dòng)解 (HPM)、修正的同倫攝動(dòng)解(CHPM)、Li-He修正同倫解(LHHPM)及修正的Li-He同倫解(MLHHPM)的計(jì)算結(jié)果見表1。可以看出：對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，考慮未修正的沖擊響應(yīng)，同倫攝動(dòng)法(HPM)的對(duì)應(yīng)誤差分別為6.14%和11.8%；同樣，未修正的Li-He同倫解(LHHPM)誤差也較大，分別為5.1%和8.5%。相比之下，修正的同倫攝動(dòng)法(CHPM)和修正Li-He同倫解(MLHHPM)的最大位移及加速度的相對(duì)誤差都降低了很多，精度有了很大的提高，顯示了能量修正的優(yōu)越性。本文MSLP計(jì)算的最大位移和加速度響應(yīng)的一階近似解與R-K數(shù)值結(jié)果對(duì)比的相對(duì)誤差分別為1.35%和3.28%，二次近似階的相對(duì)誤差分別為0.62%和1.84%。雖然相對(duì)于修正的同倫攝動(dòng)解精度稍低，考慮到阻尼系統(tǒng)能量修正的復(fù)雜性，本文方法具有更大的實(shí)用價(jià)值。與期望的一樣，相比于一次近似，取MSLP的二次近似解有助于提高系統(tǒng)響應(yīng)的計(jì)算精度。

表1 不同方法計(jì)算的近似解與數(shù)值解的對(duì)比Tab.1 Comparison of solutions obtained by different methods for the cubic-nonlinear system

考慮到文獻(xiàn)[13-14]中針對(duì)式(3)進(jìn)行的參數(shù)選擇，其中參數(shù)的取值并不嚴(yán)格滿足正切型彈性關(guān)系。為更嚴(yán)格的考察正切非線性MSLP解的準(zhǔn)確性, 若不做特殊說(shuō)明，以下分析均基于文獻(xiàn)[17]的系統(tǒng)參數(shù)：m=20 kg,g=9.8 m/s2，H=0.6 m,c=1 200 N·s/m,k0=2.5×105N/m,db=0.05 m。系統(tǒng)沖擊響應(yīng)與文獻(xiàn)[17]結(jié)果對(duì)比見圖2。可以看出：本文MSLP法計(jì)算的系統(tǒng)位移響應(yīng)與數(shù)值法得到的結(jié)果吻合很好，在其峰值處誤差最大，其一、二次位移響應(yīng)最大值分別為0.020 55 m和0.020 62 m，較數(shù)值解0.020 76 m相對(duì)誤差僅分別為1.0%和0.67%，較NHB法所得結(jié)果的5.58%的平均誤差精確度更高；同樣，本文方法計(jì)算的系統(tǒng)加速度響應(yīng)與數(shù)值法得到的結(jié)果吻合也較好，在其峰值處誤差最大，其一、二次加速度響應(yīng)最大值分別為-346 m/s2、-344 m/s2，較數(shù)值解-334.2 m/s2的相對(duì)誤差僅有3.53%和2.96%，較NHB法所得結(jié)果的5.61%的平均誤差精確度更高，證明了本文方法對(duì)阻尼正切型非線性系統(tǒng)的有效性。二次MSLP解較一次解精度有所提高，但總體差別不大，考慮計(jì)算的簡(jiǎn)便性和工程實(shí)際，認(rèn)為一次MSLP近似解即可滿足實(shí)際計(jì)算要求。后續(xù)的討論將基于一次MSLP近似解進(jìn)行。

圖2 不同方法得到的系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of dropping shock responses of the packaging system based on different methods

圖3 不同阻尼系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)(k0=2.5×105 N/m)Fig.3 Dropping shock responses of the damped packaging system for different damping c. (k0=2.5×105 N/m)

對(duì)于小阻尼(c=500 N·s/m)正切型非線性系統(tǒng)，不同初始彈性系數(shù)k0對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響見圖4。結(jié)果表明：隨著初始彈性系數(shù)逐漸增大，響應(yīng)幅值逐漸減小，響應(yīng)周期逐漸減小。這也與線性系統(tǒng)的結(jié)論一致，較大的初始彈性系數(shù)意味著較大的系統(tǒng)剛度和較大的響應(yīng)頻率；另外，隨著k0的逐漸增大，系統(tǒng)的最大位移響應(yīng)與最大加速度響應(yīng)的相對(duì)誤差也逐漸減小。

圖4 不同初始彈性系數(shù)的系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)(c=500 N·s/m)Fig.4 Dropping shock responses of the damped packaging system for different initial elastic constant k0.(c=500 N·s/m)

4 結(jié) 論

本文基于MSLP法分析了含有阻尼的正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)的一、二次近似表達(dá)，并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，主要結(jié)論如下：

(1) MSLP方法可有效用于含有阻尼的正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)的近似解析求解，其一、二次近似解都具有較高的精度并且無(wú)需額外的基于能量關(guān)系的幅值與頻率修正，二次近似解的精度相對(duì)于一次近似解有所提高，但其形式也更復(fù)雜。

(2) 隨著系統(tǒng)阻尼的增大，一次MSLP近似解的誤差逐漸增大。對(duì)于實(shí)際的小阻尼緩沖材料系統(tǒng)，一次MSLP近似解具有較高的精度。

(3) 隨著系統(tǒng)初始彈性系數(shù)的增大，基于MSLP方法的一次近似解的誤差逐漸減小，解析解的精度提高。

(4) 考慮到雙曲正切彈性材料力-變形關(guān)系有類似式(2)形式的泰勒展開式，本文方法可方便的應(yīng)用于雙曲正切系統(tǒng)的求解。