基于有限時(shí)間擾動(dòng)觀測器的模糊補(bǔ)償控制

孫國法，于瀚博，王 剛

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520)

1 引言

在工業(yè)生產(chǎn)中，由于設(shè)備所處環(huán)境不同，擾動(dòng)問題在機(jī)械動(dòng)力和化工等控制系統(tǒng)中是普遍存在的，隨著生產(chǎn)力智能化的迅速發(fā)展，產(chǎn)品的生產(chǎn)對(duì)設(shè)備控制精度要求也更加苛刻，例如高精度機(jī)械運(yùn)動(dòng)裝置，飛行器控制，復(fù)雜藥劑的合成等。由于控制精度越來越高，誤差幅值也隨之逐漸縮小，此時(shí)擾動(dòng)信號(hào)的存在對(duì)系統(tǒng)的影響也變得更加顯著，其直接影響到系統(tǒng)的工作性能以及控制精度，是控制領(lǐng)域不斷在攻克的難題。

近年來，隨著基于擾動(dòng)觀測器的控制策略得到了廣泛的研究，擾動(dòng)問題也被逐漸攻克。相比于魯棒控制(高增益，滑模切換等)，基于擾動(dòng)觀測器的控制策略具有一定優(yōu)越性，其控制結(jié)構(gòu)不存在復(fù)雜度過高的問題，且具備更加適度的控制量，避免執(zhí)行器飽和問題。到目前為止，針對(duì)在控制輸入通道中存在的匹配擾動(dòng)問題，多種擾動(dòng)觀測器被設(shè)計(jì)，并得到了應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]利用動(dòng)態(tài)增益自適應(yīng)擴(kuò)張觀測器去觀測由磁性無桿氣缸靜摩擦力所帶來的擾動(dòng)；文獻(xiàn)[2]采用自適應(yīng)擾動(dòng)觀測器結(jié)合魯棒遞推滑模控制器，處理電機(jī)因負(fù)載變化、摩擦和外部干擾等因素而受到影響。然而，在許多實(shí)際系統(tǒng)中，不匹配擾動(dòng)更加常見，也更難處理。因此，近年來針對(duì)含有不匹配擾動(dòng)系統(tǒng)的控制策略越來越受到了重視[3-5]。

文獻(xiàn)[3]針對(duì)系統(tǒng)中存在的匹配和非匹配擾動(dòng)進(jìn)行分別處理，在傳統(tǒng)擴(kuò)張觀測器的基礎(chǔ)上，采用混合擴(kuò)張觀測器對(duì)不匹配擾動(dòng)觀測；針對(duì)不匹配不確定項(xiàng)的二階系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]更是提出了一種基于非線性擾動(dòng)觀測器的滑模控制方法。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5]結(jié)合高階滑模微分器[6-7]，提出了基于有限時(shí)間擾動(dòng)觀測器的連續(xù)動(dòng)態(tài)滑模控制方法，有效地提高觀測精度和系統(tǒng)魯棒性。

與滑模控制不同，反步法作為處理高階非線性系統(tǒng)的一種有效方法，其原理是通過逐步對(duì)虛擬控制設(shè)計(jì)，直到獲得實(shí)際控制信號(hào)，在提高了控制精度的同時(shí)，考慮到每一階設(shè)計(jì)中都會(huì)包含擾動(dòng)的抵消項(xiàng)，所以，該控制策略的不匹配擾動(dòng)問題更加需要被重視。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了基于多種擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)的控制策略，有效地處理了不匹配擾動(dòng)對(duì)控制器設(shè)計(jì)的影響。然而，反步法設(shè)計(jì)在解決了不匹配擾動(dòng)問題之后，其擾動(dòng)觀測誤差收斂速度問題也是當(dāng)前研究的重要方向，文獻(xiàn)[9]采用有限時(shí)間觀測器估計(jì)擾動(dòng)信號(hào)以及其微分信號(hào)，顯著地提高了擾動(dòng)信號(hào)的觀測精度和觀測速度。

反步法在被廣泛的應(yīng)用的同時(shí)，也出現(xiàn)了弊端，傳統(tǒng)反步法在逐階設(shè)計(jì)的過程中，需要對(duì)虛擬控制信號(hào)不斷進(jìn)行微分，帶來計(jì)算復(fù)雜性爆炸問題，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。近年來，為了解決傳統(tǒng)反步法控制固有的復(fù)雜性爆炸問題，研究人員都付出不懈的努力，并提出了幾種新型的控制方法，如動(dòng)態(tài)面控制(DSC)[10]、基于濾波器的反步法控制[11-12]等。文獻(xiàn)[10]討論一種動(dòng)態(tài)面反步控制策略，使用了低通濾波器避免模型微分，并在飛行器模型中進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]則是在反步設(shè)計(jì)過程中，采用二階跟蹤微分器對(duì)虛擬信號(hào)進(jìn)行求導(dǎo)，從而簡化控制器設(shè)計(jì)。以上控制策略有效地解決了反步法復(fù)雜性爆炸的問題，不足的地方是未考慮到濾波誤差收斂速度的問題，從而很難保證系統(tǒng)的跟蹤誤差快速地收斂。

另一方面，上述控制策略有效地處理了不匹配擾動(dòng)和控制器計(jì)算膨脹的問題，但只有當(dāng)系統(tǒng)滿足嚴(yán)格反饋形式時(shí)，上述控制策略才是有效的，如果將這些控制策略用于處理非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，其虛擬控制信號(hào)將包含所有的系統(tǒng)狀態(tài)，從而產(chǎn)生代數(shù)環(huán)問題，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。而非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)在實(shí)際系統(tǒng)中常見，且更難處理。文章[13-15]為了克服代數(shù)環(huán)問題， 提出了一些有意義的方法。文章[13]利用單調(diào)遞增特性，設(shè)計(jì)了變量分離技術(shù)，建立了相應(yīng)的自適應(yīng)控制器來處理非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)。而文章[14-15]通過自適應(yīng)模糊和NNs技術(shù)可以避免控制器中的代數(shù)環(huán)問題。但在處理實(shí)際系統(tǒng)含有不匹配擾動(dòng)的非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的問題上，仍需要被進(jìn)一步的研究。

本文在以上研究成果的基礎(chǔ)上，做出以下主要工作：

1)針對(duì)含有不匹配擾動(dòng)的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，本文控制策略解決了虛擬信號(hào)中代數(shù)環(huán)問題以及系統(tǒng)不匹配擾動(dòng)問題；相比已有擾動(dòng)觀測[9，18]，本文改進(jìn)有限時(shí)間觀測器具備誤差快速收斂且克服快速收斂帶來的穩(wěn)定抖振問題，提高系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能以及魯棒性。

2)設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑模微分器避免反步法設(shè)計(jì)中重復(fù)微分所帶來的“計(jì)算膨脹”的缺點(diǎn)，相比于普通微分器[12，19]具備更快速的濾波誤差收斂速度。

3)將本文控制策略應(yīng)用于連續(xù)攪拌式反應(yīng)釜的濃度控制仿真，有效地解決外界擾動(dòng)信號(hào)的干擾，提高反應(yīng)釜的控制精度以及魯棒性。

2 問題描述及準(zhǔn)備工作

考慮如下非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

(1)

圖1 系統(tǒng)的控制框圖

從圖1的控制框圖中可以得出，本文的主要控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律使得系統(tǒng)輸出能夠跟蹤上給定的參考輸入xd。為了便于控制器和觀測器設(shè)計(jì)需給出以下假設(shè)和引理。

引理1[16]：f(x)為緊集Ω?Rn內(nèi)任意連續(xù)函數(shù)，則?η>0，存在模糊系統(tǒng)θTξ(x)使得

(2)

(3)

引理2[15]：當(dāng)0<ξT(·)ξ(·)<1，則對(duì)于任何i≤n，存在

(4)

引理3[6-7]：以下系統(tǒng)

(5)

(6)

3 模糊邏輯系統(tǒng)

采用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行逼近，根據(jù)引理1可以得到fi(X)及其誤差

i(X)=Tξ(X)

(7)

將(7)代入(1)可以得到

(8)

wi=εi+di，i=1，…，n.

(9)

其中式(9)為總擾動(dòng)項(xiàng)， 其包括模糊逼近誤差和外界擾動(dòng)。且總擾動(dòng)存在邊界

|wi|=|εi+di(t)|

≤ε+D≤Ci

(10)

從式(8)可以發(fā)現(xiàn)，不匹配擾動(dòng)wi的存在會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制效果產(chǎn)生影響。為了可以通過控制器將擾動(dòng)誤差補(bǔ)償，必須對(duì)未知的擾動(dòng)進(jìn)行精確的觀測。所以，針對(duì)擾動(dòng)觀測進(jìn)行深一步設(shè)計(jì)。

4 改進(jìn)的有限時(shí)間擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)

本節(jié)在引理3 Levant微分器基礎(chǔ)上結(jié)合非線性函數(shù)設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器，對(duì)系統(tǒng)中不匹配擾動(dòng)和匹配擾動(dòng)精確觀測。

將系統(tǒng)(8)中第i階改寫為

(11)

設(shè)計(jì)如下三階有限時(shí)間擾動(dòng)觀測器

(12)

其中λi，0，λi，1，λi，2為擾動(dòng)觀測器的可調(diào)設(shè)計(jì)參數(shù)，ei0=zi0-xi，ei1=zi1-vi0，ei2=zi2-vi1為觀測誤差，選取fal(·)為

(13)

當(dāng)|eij|>δ時(shí)，擾動(dòng)觀測器選擇如下設(shè)計(jì)

(14)

注：式(14)設(shè)計(jì)具備快速收斂性能，并在多個(gè)文獻(xiàn)[6-7，9]得到佐證。但收斂速度速度提高的同時(shí)也帶來了抖振，如何消除擾動(dòng)觀測的抖振也應(yīng)該被關(guān)注，為了避免抖振的產(chǎn)生。

當(dāng)|eij|≤δ時(shí)，采用如下擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)，使得誤差可以平緩收斂于零，并將觀測擾動(dòng)信號(hào)在控制器設(shè)計(jì)中進(jìn)行補(bǔ)償。

(15)

5 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)詳細(xì)地給出自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)過程。控制器的設(shè)計(jì)包含n個(gè)步驟，其中在前n-1個(gè)步驟中，每一步都會(huì)給出虛擬控制信號(hào)αi(i-1，…，n-1)，最終的控制律u將會(huì)在第n步中給出。

此處針對(duì)反步法所造成“計(jì)算膨脹”問題，設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑模微分器，該微分器采用引理3中一階形式代替濾波器，以虛擬控制信號(hào)為輸入，其不僅可以精確地濾波信號(hào)和得到其微分信號(hào)，而且保證了微分器跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂。當(dāng)以αi為輸入信號(hào)時(shí)，設(shè)計(jì)如下結(jié)構(gòu)

(16)

Step1)考慮閉環(huán)系統(tǒng)(1)(8)的第1個(gè)子系統(tǒng)，并利用模糊系統(tǒng)逼近可得

(17)

及其誤差向量S1=x1-xd。

設(shè)計(jì)如下虛擬控制律和模糊自適應(yīng)律

(18)

其中ri，mi，ι為正常數(shù)，ci>0為系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)，i是的估計(jì)，滿足并定義系統(tǒng)跟蹤誤差定義為S2=x2-x2，c，…，Sn=xn-xn，c。

考慮如下形式的李雅普諾夫泛函

(20)

對(duì)V1求導(dǎo)可得

(21)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(22)

其中τ>0， 帶入式(19)可得

(23)

將式(18)(19)代入可得

(24)

通過Young’s不等式可得

(25)

將(25)代入(24)可得

(26)

Stepi)考慮系統(tǒng)(8)的第i個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下形式的李雅普諾夫泛函：

(27)

對(duì)Vi求導(dǎo)

(28)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(29)

將(29)代入(28)可得

(30)

并將(18)(19)代入可得

(31)

通過Young’s不等式可得

(32)

將(30)代入(29)可得

(33)

Stepn)考慮系統(tǒng)(1)的第n個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下形式的李雅普諾夫泛函

(34)

Vn對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

(35)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(36)

將(36)代入(35)

(37)

并將(18)(19)代入可得

(38)

通過Young’s不等式可得

(39)

將(39)代入(38)可得

(40)

證明：通過不等式關(guān)系可以得到

(41)

將(41)代入(40)可得

(42)

其中

a={2c1，…，2cn，m1，…，mn}

(43)

通過(40)可以得到

(44)

6 仿真算例

本文采用級(jí)聯(lián)攪拌式反應(yīng)釜(CSTRs)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證本文所提出的基于改進(jìn)有限時(shí)間觀測器的模糊補(bǔ)償控制算法的有效性。

圖2 連續(xù)攪拌式反應(yīng)釜

考慮了兩個(gè)相同型號(hào)CSTR，如圖2所示，反應(yīng)罐內(nèi)部發(fā)生不可逆的基本反應(yīng)A→B。級(jí)聯(lián)反應(yīng)釜通常用于提高反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率。此處假設(shè)兩個(gè)反應(yīng)釜中的反應(yīng)都是在等溫條件下發(fā)生的，對(duì)反應(yīng)釜中反應(yīng)物濃度進(jìn)行控制。兩個(gè)CSTR的數(shù)學(xué)模型由反應(yīng)物的質(zhì)量守恒規(guī)律得到[17]，具體模型如下所示。

(45)

其中“1”“2”分別表示第一個(gè)和第二反應(yīng)釜，CA表示反應(yīng)物在反應(yīng)釜中的濃度，F(xiàn)是反應(yīng)釜的液體流速，V表示反應(yīng)釜的容量，d為反應(yīng)釜外部的未知擾動(dòng)信號(hào)，參數(shù)k1=α1e-(E/RT)，k2=α2e-(E/RT)。而CAi，F(xiàn)i分別是系統(tǒng)輸入端可調(diào)濃度以及不變的流速，上述模型具體參數(shù)如表1所示。

表1 CSTRs參數(shù)

基于上述CSTRs 模型，設(shè)計(jì)本文所提出控制器，微分器以及擾動(dòng)觀測器，具體設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示。設(shè)定反應(yīng)釜初始濃度值為0(mol/lit)，為了驗(yàn)證系統(tǒng)對(duì)不同擾動(dòng)信號(hào)都具備較好的抗擾動(dòng)性能，設(shè)計(jì)如下擾動(dòng)信號(hào)

d2=2(sin(0.5t)+cos(t))

(46)

系統(tǒng)控制目的是使反應(yīng)物出口端濃度穩(wěn)定在CA2=2(mol/lit)，在仿真中為了突出本文控制器的設(shè)計(jì)優(yōu)勢，與文獻(xiàn)[1]的ADRC技術(shù)進(jìn)行對(duì)比，并在本文控制器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，采用不同的擾動(dòng)觀測器、微分器進(jìn)行對(duì)比分析。

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)取值

本文針對(duì)兩種不同擾動(dòng)進(jìn)行擾動(dòng)的觀測與補(bǔ)償，此處本文擾動(dòng)觀測器(falFTDOS)分別與高階次冪擾動(dòng)觀測器(HPDOS[18])、線性擾動(dòng)觀測器(LDOS)，有限時(shí)間觀測器(FTDOS[9])進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果(圖3-5)中，圖3為控制器的跟蹤效果以及誤差曲線，可見本文控制器設(shè)計(jì)與文獻(xiàn)[1]中ADRC(未補(bǔ)償不匹配擾動(dòng))相比具備更快速的精確收斂特性，在擾動(dòng)的補(bǔ)償上，相比于HPDOS、LDOS、FTDOS具備更好的抗擾動(dòng)性能和魯棒性。圖4、5分別為對(duì)擾動(dòng)d1，d2的跟蹤效果，可見本文設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測器誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且相比LDOS、HPDOS收斂速度上更快速，穩(wěn)態(tài)性能也更加優(yōu)異；相比于FTDOS，消除了穩(wěn)態(tài)抖振問題，且仍然具備著相同的收斂速度。

圖3 跟蹤效果對(duì)比

圖4 擾動(dòng)d1跟蹤效果及誤差對(duì)比

圖5 擾動(dòng)d2跟蹤效果及誤差對(duì)比

為了更好地處理反步法帶來的“計(jì)算膨脹”問題，本文設(shè)計(jì)了有限時(shí)間滑模微分器(FTSMD)，并與一階低通濾波器、線性微分器[19]和非線性微分器[12]進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果如圖6所示，為直觀體現(xiàn)對(duì)比效果，采用誤差曲線積分面積圖進(jìn)行對(duì)比，表3求取微分器的均方誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差。可見有限時(shí)間滑模微分器具備更好的跟蹤效果，在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性更上都更加優(yōu)異。

圖6 微分器跟蹤效果及誤差

表3 微分器誤差

7 結(jié)論

針對(duì)含有不匹配擾動(dòng)的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，本文在解決虛擬信號(hào)代數(shù)環(huán)問題的基礎(chǔ)上，改進(jìn)有限時(shí)間擾動(dòng)觀測器，通過CSTRs仿真結(jié)果可明顯發(fā)現(xiàn)本文設(shè)計(jì)策略提高了系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能，使擾動(dòng)觀測誤差平穩(wěn)且快速收斂，優(yōu)異于已有擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)[9，18]。設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑模微分器避免反步法設(shè)計(jì)中重復(fù)微分所帶來的“計(jì)算膨脹”的缺點(diǎn)，并驗(yàn)證相比于普通微分器具備更快速的濾波誤差收斂速度。