復(fù)合材料加筋板軸壓后屈曲及承載有限元分析

王維陽，李 偉，曹奇凱

(沈陽飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧 沈陽 110035)

1 引言

隨著輕量化技術(shù)的發(fā)展，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在航空、航天、汽車、船舶等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。長桁復(fù)合材料壁板由于較好的穩(wěn)定性、抗沖擊性能、較高的縱向荷載傳遞效率在以上研究領(lǐng)域中得到了國內(nèi)外廣泛關(guān)注[1-3]。較高的工程應(yīng)用價(jià)值及這類結(jié)構(gòu)缺陷的敏感性，使得這類結(jié)構(gòu)在應(yīng)用過程中的損傷失效問題顯得尤為重要。加筋復(fù)合材料壁板常見的失效形式為屈曲，但其屈曲后依然表現(xiàn)出較強(qiáng)的持續(xù)承載能力。為了兼顧結(jié)構(gòu)的安全性能及使用效率，加筋復(fù)合材料的屈曲失效及后屈曲持續(xù)能力問題成為這類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及分析的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[4]。

由于缺陷及干擾的敏感性，這類結(jié)構(gòu)后屈曲行為的復(fù)雜多變，使得不同缺陷及干擾條件下的屈曲及后屈曲失效行為較難預(yù)測，這也加大了復(fù)合材料整體加筋板屈曲及后屈曲試驗(yàn)的難度和成本[5，6]。由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得問題理論分析難以得到有效結(jié)果。目前，在這類問題數(shù)值模擬研究方面，學(xué)者們通常圍繞不同類型缺陷的復(fù)合材料加筋板的屈曲及后屈曲行為試驗(yàn)，采用CAE軟件對(duì)結(jié)構(gòu)的屈曲及后屈曲持續(xù)能力進(jìn)行計(jì)算，比較分析不同失效準(zhǔn)則的計(jì)算精度，同時(shí)構(gòu)建加筋復(fù)合材料諸多失效評(píng)估方法，比如漸進(jìn)損傷分析方法、粘聚區(qū)模型。在描述單層復(fù)合材料失效方面，常見的失效準(zhǔn)則有Hoffman準(zhǔn)則、Tsai-Wu準(zhǔn)則、Hashin準(zhǔn)則、Puch準(zhǔn)則、Chang-Chang準(zhǔn)則等[5-7]。數(shù)值模擬往往與試驗(yàn)結(jié)果較難吻合，即使吻合較好，其破壞機(jī)理難以確定，另一方面，自主軟件的缺失，使得深入完備的失效機(jī)理比較分析面臨困境。

本文在以往研究基礎(chǔ)上[1]，擬針對(duì)帽形長桁復(fù)合材料壁板屈曲、后屈曲失效承載過程進(jìn)行非線性理論分析，基于Hoffman失效準(zhǔn)則，采用層合板理論構(gòu)建出帽形長桁復(fù)合材料壁板屈曲及后屈曲計(jì)算方法和自主程序。對(duì)比現(xiàn)有方法驗(yàn)證分析本文方法的有效性，進(jìn)一步針對(duì)復(fù)雜帽形長桁復(fù)合材料壁板屈曲及后屈曲路徑進(jìn)行追蹤，并進(jìn)行失穩(wěn)后持續(xù)承載特性、承載能力分析。

2 復(fù)合材料層合板基本控制方程及數(shù)值模擬方法

2.1 空間折板本構(gòu)關(guān)系及Hoffman失效準(zhǔn)則

本文采用Mindlin板理論對(duì)面板和長桁進(jìn)行統(tǒng)一建模。對(duì)于一般平板，Mindlin板幾何關(guān)系如下

u=u0-z(φx-γzx)

v=v0-z(φy-γzy)

w=w0

(1)

φx=w，x，φy=w，y

(1a)

其中，u，v，w是任一點(diǎn)x，y，z方向的位移，u0，v0，w0是面板中面位移，γzx，γzy是橫向剪切角，φx，φy是中面轉(zhuǎn)角。

中面應(yīng)變

(2)

曲率變形

κx=-w，xx+γxz，x

κy=-w，yy+γyz，y

2κxy=-2w，xy+γxz，y+γyz，x

(3)

圖1 帽形長桁結(jié)構(gòu)

對(duì)于長桁結(jié)構(gòu)，將如圖1所示長桁結(jié)構(gòu)視為空間折板，將其處理為5個(gè)相交的平板。針對(duì)每個(gè)板的中面分別建立局部坐標(biāo)系x(i)，y(i)，z(i)(i=1～5)。在各自局部坐標(biāo)系中，板的幾何關(guān)系同式(1-3)，但各變量應(yīng)加上標(biāo)(i)以示區(qū)別，例如

(4)

(5)

(6)

由位移轉(zhuǎn)換關(guān)系可以得到折板單元?jiǎng)偠汝噺木植孔鴺?biāo)系向總體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

(7)

其中

(8)

K′e是局部坐標(biāo)系中的單剛，若i是轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)Ri=R(α，e由長桁局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系之間確定)，若i不是轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)Ri=I7(7階單位矩陣)。

面板和長桁滿足各自的單層板本構(gòu)關(guān)系。各層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(9)

其中k是層的編號(hào)。

假定面板破壞由單層破壞引起。復(fù)合材料單層破壞可采用Hoffman準(zhǔn)則[8，9]

(10)

其中，σL，σT，τLT是單層中沿纖維方向應(yīng)力，垂直纖維方向應(yīng)力和剪應(yīng)力，Xt，Xc是纖維方向拉伸和壓縮強(qiáng)度，Yt，Yc是垂直纖維方向拉伸和壓縮強(qiáng)度，S是面內(nèi)剪切強(qiáng)度。當(dāng)時(shí)上式滿足時(shí)，該層破壞、剛度降為0；若大量單層破壞，導(dǎo)致層板剛度大幅度下降，即可認(rèn)為層板失效。

2.2 協(xié)調(diào)層板單元基本假定及控制方程

基于廣義變分原理和擬協(xié)調(diào)方法[10]，采用擬協(xié)調(diào)三角形層板單元對(duì)帽形長桁結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，節(jié)點(diǎn)自由度為u0，v0，w，w，x，w，y，γzx，γzy。

(11)

其中ε*αβ，κ′*αβ，φ*α是試函數(shù)，可用節(jié)點(diǎn)位移表示線性應(yīng)變、彎曲曲率和轉(zhuǎn)角的離散變量，對(duì)位移自由度建立單剛，從而得到擬協(xié)調(diào)位移模式幾何非線性三角形層板單元。

為了模擬實(shí)際邊界在后屈曲變形中保持直線的特點(diǎn)，在面板邊界引入節(jié)點(diǎn)自由度為6的空間梁元，因此邊界節(jié)點(diǎn)自由度變?yōu)?

u0，v0，w，w，x，w，y，γzx，γzy，φ

φ是板的法線自轉(zhuǎn)角，即邊梁在板平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，通過罰因子(梁在面板中面內(nèi)的彎曲剛度)使該轉(zhuǎn)角趨于0。

2.3 屈曲及后屈曲數(shù)值模擬方法

系統(tǒng)的平衡條件是

δP=0

(12)

P=U-W是位能(W是已知外力的功)。上式給出在小有限轉(zhuǎn)動(dòng)條件下的后屈曲狀態(tài)有限元平衡方程。為了求解非線性方程(12)，需要采用增量迭代法，上式的有限元增量迭代形式為

(13)

(14)

具體的基本計(jì)算步驟如下：

形成線性剛度陣K0和參考載荷向量F，求解方程K0η=F，給出線性解η0；

形成幾何剛度矩陣K1(η0)，用反冪法求解特征值問題[K0+λK1(η0)]Δη=0，得到臨界載荷因子λcr和屈曲形態(tài)η1；

用漸近后屈曲有限元分析，形成分支路徑轉(zhuǎn)換初值(λb，aη1)、切線剛度矩陣KT和不平衡力R，求解增量方程(13)，通過迭代計(jì)算后屈曲路徑上的第1個(gè)解點(diǎn)；

在求出第i步位移和應(yīng)力后，進(jìn)行失效分析，確定本步各單元單層破壞情況和i+1步初值預(yù)測，修改切線剛度陣KT，迭代求解方程(13)，繼續(xù)跟蹤后屈曲路徑，直到結(jié)構(gòu)失效。

需要注意的是為了監(jiān)視二次屈曲、發(fā)現(xiàn)和越過后屈曲路徑上的奇異點(diǎn)，在每步收斂之后需要判斷解路徑上本載荷步的平衡穩(wěn)定性。根據(jù)穩(wěn)定性能量準(zhǔn)則，可利用該點(diǎn)切線剛度陣(KT)LU分解結(jié)果，如果L陣對(duì)角元素皆為正，即

Lii>0

(15)

則該點(diǎn)是穩(wěn)定的；若至少有一個(gè)元素為負(fù)值，則不穩(wěn)定；如果相鄰兩個(gè)計(jì)算點(diǎn)，發(fā)生從穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的轉(zhuǎn)變，則兩點(diǎn)間必存在奇異點(diǎn)。

3 算例分析

【算例1】為驗(yàn)證所構(gòu)建方法的正確性，將如圖2所示工字截面長桁壁板(360×480)軸壓后屈曲有限元分析，計(jì)算結(jié)果與平板/梁組合模型有限元分析結(jié)果符合，見表1。組合板模型中筋的下翼板對(duì)于面板局部屈曲的約束比梁更強(qiáng)，所以臨界載荷較高。

圖2 算例1 模型

表1 工字長桁壁板屈曲有限元分析結(jié)果

【算例2】 采用層板單元離散面板和長桁，整個(gè)面板作為一個(gè)區(qū)域。荷載及結(jié)構(gòu)截面圖如圖3所示。面板鋪層：16層(45/-45/0/-45/0/45/0/90)s。長桁鋪層：11層 (45/-45/0/-45/0/90)s，單層厚度均為δ=0.125mm。面板和長桁材料為T300/BA9913。材料力學(xué)性能參數(shù)為E11=127GPa，E22=9.435GPa，ν12=0.305，G12=G13=4.680GPa，G23=3.300GPa，XT=1569，XC=1140，YT=54.7，YC=156，S=118(MPa) 。

如圖4所示，分別采用稀疏網(wǎng)格和密集網(wǎng)格對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，其中稀疏網(wǎng)格模型包括5472個(gè)板元(其中長桁2736個(gè))、148個(gè)梁元(邊梁)、2262個(gè)節(jié)點(diǎn)，15982個(gè)自由度。密集網(wǎng)格模型包括8600個(gè)板元(其中長桁4200個(gè))、188個(gè)梁元(邊梁)、3366個(gè)節(jié)點(diǎn)，2259個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)，23750個(gè)自由度。

為模擬實(shí)際邊界，假設(shè)后屈曲時(shí)邊界保持直線，在面板四邊引入邊梁，加載邊邊梁單元在板面內(nèi)的彎曲剛度(EJ′)很大，作為罰因子，取EJ′=1010，其余剛度為0。邊界條件為總體簡支和固支兩種，令板中點(diǎn)A和y=0邊中點(diǎn)B點(diǎn)的位移uA=vA=uB=0。

圖3 截面形狀、荷載及結(jié)構(gòu)分布圖

圖4 結(jié)構(gòu)網(wǎng)格離散

首先，針對(duì)不同約束進(jìn)行結(jié)構(gòu)屈曲分析，屈曲載荷在表2中給出。從計(jì)算結(jié)果可以看出計(jì)算簡支屈曲載荷稀網(wǎng)格已經(jīng)滿足要求，而固支情況由于屈曲形態(tài)變化更加劇烈，需要采用密網(wǎng)格。

表2 屈曲載荷Pcr

圖5和圖6分別給出稀疏網(wǎng)格模型簡支和密集網(wǎng)格固支屈曲形態(tài)。從圖5結(jié)果圖可以看出，簡支邊界時(shí)壁板為總體屈曲(上凸)，縱向?yàn)?個(gè)半波、橫向?yàn)?個(gè)半波與4個(gè)微小半波之和，在加載端附近面板波形幅度增加較快，在中部面板和長桁單向上凸。由長桁屈曲形態(tài)可見，受面板轉(zhuǎn)角(w，y)的影響，帽形長桁兩個(gè)側(cè)板外凸顯著。由圖6結(jié)果圖可見，固支邊面板的屈曲變形遍及大部分板，長桁間面板幅度較大，劇烈起伏，這也是稀網(wǎng)格臨界載荷誤差大的原因，長桁波形與面板協(xié)調(diào)，幅度略小。

圖5 簡支約束條件下稀疏網(wǎng)格屈曲形態(tài)圖

圖6 固支約束條件下密集網(wǎng)格屈曲形態(tài)圖

從分支點(diǎn)(λcr=33.465)開始跟蹤后屈曲路徑。圖7為載荷-位移路徑圖，其路徑為0-1-2-3-4-5-6。0是分支點(diǎn)(λ=33.465)。圖8和圖9為典型的兩個(gè)荷載步19步(λ=31.35)和75步(λ=58.73)時(shí)單層應(yīng)力分布圖。

圖7 面板中點(diǎn)撓度隨荷載變化圖

圖8 單層失效發(fā)生后長桁頂部和面層R分布

圖9 第75荷載步長桁頂部和面層R分布

路徑1-2(向長桁一側(cè)凸出狀態(tài))是不穩(wěn)定的，對(duì)于完善(無缺陷)結(jié)構(gòu)實(shí)際上不能發(fā)生；路徑2-3(向面板一側(cè)凸出狀態(tài))是穩(wěn)定的，并且未發(fā)現(xiàn)有其它鄰近的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，因此可以認(rèn)為路徑2-3能夠發(fā)生。實(shí)際上，受缺陷影響，屈曲前的基本狀態(tài)會(huì)偏離理想路徑上升，并轉(zhuǎn)向路徑2-3，在理想情況下可達(dá)到載荷極值λs=63.97(Ps≈640kN)，壁板發(fā)生不穩(wěn)定失效。在特定缺陷影響下，可能發(fā)生3根長桁同時(shí)向上彎曲的后屈曲波形，即第7步之前、與屈曲形態(tài)類似的變形，此時(shí)的承載能力應(yīng)為λ′s≈33。

從圖8也即是單層失效發(fā)生后的第2步R的分布情況可見失效單層只在長桁2#的頂部各層出現(xiàn)，共628個(gè)單元層。圖9為結(jié)構(gòu)接近失穩(wěn)破壞的高載荷下應(yīng)力水平參數(shù)及單層破壞分布，情況與圖8類似，破壞單層只在2#長桁的頂部，仍無各層均破壞的單元，但面板應(yīng)力水平顯著提高(R=0.309)。

從后屈曲損傷計(jì)算結(jié)果可以看出，壁板失效前未發(fā)生強(qiáng)度破壞。3根帽形長桁加強(qiáng)壁板可以有效地提高局部屈曲載荷，降低彎曲應(yīng)力水平、改善結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。但后屈曲行為十分復(fù)雜，伴隨波形的突然變化，對(duì)缺陷敏感程度可能加大。壁板在較高載荷下發(fā)生總體屈曲和失穩(wěn)破壞，預(yù)測的臨界壓力約為Pcr≈335kN，極限承載能力約為壓力Ps≈640kN。受缺陷因素影響承載能力可能更低一些，在特定缺陷情況下甚至低得多、與臨界載荷相當(dāng)。

4 結(jié)論

本文基于Hofman失效準(zhǔn)則和層合板理論構(gòu)建了帽形長桁加筋結(jié)構(gòu)板屈曲及后屈曲分析方法。通過工字長桁壁板算例驗(yàn)證了方法的有效性，同時(shí)針對(duì)典型的3根帽形加筋板壁屈曲臨界荷載和后屈曲行為進(jìn)行了求解，預(yù)測了臨界壓力和極限承載能力。計(jì)算結(jié)果表明帽形長桁加強(qiáng)壁板可以有效地提高局部屈曲載荷，降低彎曲應(yīng)力水平、改善結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，另外，帽形長桁壁板后屈曲失效發(fā)生在中間長桁頂部，壁板失效前未發(fā)生強(qiáng)度破壞，具有較大的持續(xù)承載能力。本文方法的構(gòu)建為復(fù)雜的長桁加筋結(jié)構(gòu)板屈曲臨界荷載預(yù)測及后屈曲承載能力預(yù)測提供了有力的理論及軟件技術(shù)支持。進(jìn)一步為類似復(fù)雜加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供可靠的數(shù)值依據(jù)，可以有效降低結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)成本，并提高結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的效率。