諧波齒輪系統的快慢振蕩機制研究1)

韓修靜 黃啟旭 丁牧川 畢勤勝

(江蘇大學土木工程與力學學院,江蘇鎮江 212013)

引言

諧波齒輪減速器是為了適應航天器的發展而發明的一種新型傳動裝置.由于它具有傳動比大、結構緊湊、噪聲低、傳動效率高、精度高等諸多優點,因而被廣泛應用于航空航天、工業仿生以及軍事等領域[1-3].由于諧波齒輪其自身的結構特點,系統受到了諸多非線性因素的作用,例如扭轉剛度、摩擦、運動誤差、傳動遲滯等[4-6],其作用載荷具有多源和多路徑的特征[7-8].這使得系統產生了復雜的振蕩響應,嚴重地影響了系統的正常工作[9-10].圍繞諧波齒輪系統的動力學問題,如動力學建模[11-13]、非線性因素的刻畫與表達[14-16]、動力學特性分析[17-19]、振動與控制[20-22]等,學者們開展了深入研究,取得了豐富的研究成果.

然而,關于諧波齒輪系統的動力學問題,相關研究主要集中在同一時間尺度下的情形;對于不同尺度耦合作用下的快慢動力學,相關研究鮮有報道.注意到,在諧波齒輪減速器系統中,輸入端(含波發生器)的轉動慣量通常要比負載端(含柔輪或剛輪) 的轉動慣量低2～3 個量級[23-24].因此,諧波齒輪系統是一個典型的快慢系統,它涉及快慢兩種振蕩尺度之間的耦合作用,而這會進一步導致快慢振蕩的產生[25].事實上,在諧波齒輪減速器系統中,可以經常觀測到快慢振蕩現象.例如,Taghirad 和Bélanger[26-27]研究發現,低轉速下的諧波齒輪系統能夠產生明顯的快慢振蕩.隨后,發現了類似的快慢振蕩,指出這種振蕩可能與扭矩波動有關.特別地,在由諧波齒輪驅動的諸如機械手、機械臂等裝置中,可以觀測到類似的快慢振蕩[28-30].然而,由于諧波齒輪系統的復雜性,關于快慢振蕩的研究,主要集中在現象報道上,而很少涉及動力學機理方面的研究.

本文考慮涉及扭轉剛度非線性因素的諧波齒輪系統,旨在揭示系統中的快慢振蕩及其動力學機制.當擾動力矩的頻率遠小于系統的固有頻率時,即當擾動力矩的頻率和系統的固有頻率之間存在量級差異時,可以觀測到快慢振蕩如圖1 所示.特別地,這種快慢振蕩其形式與之前的有關報道[31]非常相似.然而,研究表明,這里的快慢振蕩與平衡點曲線在局部小范圍內發生的急劇量變有關,其特征是平衡點在局部小范圍內可以在正坐標值與負坐標值之間快速轉遷.這是一種不同于以往所報道的新型動力學機制.

圖1 諧波齒輪系統從(a)～(c)常規振蕩模式向(d)～(f)快慢振蕩模式轉遷Fig.1 A transition of the harmonic gear system from (a)～(c) normal oscillation modes to (d)～(f) fast-slow oscillation modes

1 模型和快慢振蕩

考慮剛輪固定,柔輪作為輸出輪時的諧波齒輪傳動系統.根據諧波傳動原理,可得系統的簡化模型[11],如圖2 所示.在圖2 中,Ji和Jo分別是輸入端和負載端的轉動慣量,θi和 θo分別是電機輸入端角位移和負載端輸出角位移,Tim是輸入軸的靜態平均力矩,Tom是諧波齒輪柔輪輸出力矩,N是減速比,K(θ) 是非線性扭轉剛度,Ceq是系統的等效阻尼系數.

圖2 諧波齒輪系統的簡化模型[11]Fig.2 Simplified model of the harmonic gear system[11]

根據諧波齒輪傳動系統的力學關系,可得如下的運動微分方程

諧波齒輪傳動系統中的摩擦行為十分復雜,為了便于分析,這里采用文獻[20]給出的等效阻尼系數Ceq來近似刻畫系統中的摩擦因素,即

非線性剛度K(θ) 是系統重要的非線性因素,其貢獻不僅有齒輪嚙合部分,還包括柔性軸承部分.本文采用文獻[6]給出的非線性剛度形式,其兼具了上述兩個部分對扭轉剛度的影響,即

其中,k1和k2是扭轉剛度系數,θ=θo-θi/N是相對扭轉角(θi,θo和N的含義同前).

在系統(1)中,f(θ) 是諧波齒輪單向轉動時的間隙空程[20],即

其中,θ 的含義同前,φ 是尺側間隙空程.

本文假定諧波齒輪柔輪輸出力矩Tom受到周期慢擾動的影響,可以表示為Tom=Tfs+Tamsin(ωt) 的形式[25],其中Tfs=Tim,0 ＜ω ?1 .不妨記于是,原四維非線性系統(1)可以簡化成二維非線性系統(5)

將方程(5)進行無量綱化,可得

取定系統參數Tm=10 N·m,Tam=15 N·m[25],其他參數由表1[11]給出.此時,系統(6)的無量綱參數分別是 α=16,γ=30,ε=0.71,μ=0.07,δ=15 .數值模擬表明,當擾動力矩緩慢地(例如,ω=0.01)周期變化時,系統產生了普通的周期響應,見圖1(a).然而,如圖1 所示,隨著參數 γ 的不斷減小,系統逐漸演化為快慢振蕩,其特征是在時間序列中周期地出現了“脈沖”形的大振幅振蕩(例如,見圖1(f)).從形式上來看,這種快慢振蕩與文獻[31]所報道的振蕩模式非常相似.將在本文的第4 部分揭示其產生的動力學機制.

表1 系統參數[11]Table 1 System parameters[11]

2 快慢分析法

為了揭示圖1 中的快慢振蕩的動力學機理,本部分對快慢系統的定性分析方法,即快慢分析法[32],作簡要論述.

一般地,快慢振蕩可由以下形式的快慢系統加以描述

其中,ε ?1 是快慢時間尺度的比率,x∈Rm是快變量,y∈Rn是慢變量.快慢振蕩是一種特殊的振蕩模式,需采用特殊的分析方法加以研究.Rinzel[32]提出的快慢分析法是揭示快慢振蕩動力學機理的經典方法,其基本思想是將快子系統(7)與慢子系統(8)分開討論.快子系統的動力學行為由慢變量加以調控:快子系統可以處于不同的運動態,這由慢變量的值決定.將快慢系統的相圖與快子系統的分岔圖(其中,慢變量視為快子系統的分岔參數)進行疊加,進而可以解釋快慢振蕩的動力學機理.

3 快子系統的動力學特性

注意到本文關注的情形是擾動激勵緩慢地變化,且其頻率遠小于系統的固有頻率.因此,根據文獻[33],可將系統(6)視為一個快慢系統:慢變量是sin(ωt),快子系統是

其中a=sin(ωt) 是控制參數.為了便于分析,本文將α,μ,ε,δ 的取值固定(與圖1 中的取值相同),僅將γ和a視為系統參數.

顯然,快子系統(9)的平衡點可以寫成E=(x,0),其中x由方程

的實根決定.方程(10)的根的判別式為

其中q=-(γε+μ+δa) .顯然,系統其他參數固定,當,即當時,判別式 Δ ＞0 恒成立,系統(9)僅存在一個平衡點E.進一步的分析表明:平衡點E是穩定的焦點.

基于上述分析,下面探討平衡點E的動力學特性.圖3(a)給出了不同參數值 γ 下的平衡點曲線.可以發現,隨著 γ 的數值不斷減小,原先較為平緩的平衡點曲線發生了連續的彎折變形.特別地,在參數a=0附近,平衡點曲線變得陡峭,其特征是平衡點坐標可在正值與負值之間迅速轉遷;其陡峭程度隨著γ的數值遞減而逐漸加劇.圖3(b)給出了不同參數值γ下的平衡點曲線的變化率,這進一步證實了系統在參數a=0 附近發生的急劇變化.

圖3 平衡點E 的動力學特性Fig.3 Dynamical characteristic of the equilibrium E

4 快慢振蕩的動力學機理

前一部分揭示了快子系統在參數a=0 附近的動力學特性.在此基礎上,本部分探討快慢振蕩的動力學機制.

如前所述,當 γ 不斷減小時(可通過改變扭轉剛度系數來實現),平衡點曲線將在a=0 附近發生急劇量變.如圖4 所示,這種急劇量變的動力學特性,形成了一個狹小的“激發態區域”(spiking area).當參數取在“激發態區域”時,系統將發生急劇轉遷.在“激發態區域”的左右兩側,系統的動力學特性較為溫和,由此形成了兩個“沉寂態區域(quiescent area)”.

圖4 (示意圖)系統的激發態區域(黃色)和沉寂態區域(灰色)Fig.4 (Illustrative diagram) Spiking area (yellow) and quiescent area (gray)

當慢變量 s in(ωt) 被接入系統時,s in(ωt) 周期地緩慢穿越“激發態區域”和“沉寂態區域”.這導致系統在“快速轉遷”和“慢速演化”中不斷交替,例如見圖5(a1),圖5(a2),進而形成了所謂的快慢振蕩.特別地,如圖3 所示,當 γ 不斷減小時,“激發態區域”中的量變行為越來越劇烈.這導致系統的快慢振蕩特征愈發顯著,例如見圖1(d)～圖1(f).

另一方面,當 γ 較大時(例如 γ=30),平衡點曲線沒有形成“激發態區域”.此時,系統隨著平衡點曲線一直“緩慢”地演化,而沒有“快速轉遷”現象的發生,例如可見圖5 (b1).因此此時無法產生快慢振蕩,只形成了較為常規的振蕩模式,例如見圖5 (b2).

注意到在本文的研究中,所涉及的兩個沉寂態區域中的吸引子均是平衡點,因此以圖5(a1)和圖5(a2)為代表的快慢振蕩,其本質上屬于“點-點”型.需要指出的是,“點-點”型快慢振蕩是一種較為常見的振蕩模式.在以往的研究中,“點-點”型快慢振蕩通常與折(fold)分岔[34]和亞臨界Hopf 分岔[35]有關.此外,延遲分岔(delayed bifurcations)[36]等因素也可以誘發“點-點”型快慢振蕩.然而,本文中的“點-點”型快慢振蕩不是由具體的某種分岔所引起的,而是由平衡點曲線的急劇量變所誘發.

圖5 典型振蕩行為的動力學分析Fig.5 Dynamical analysis of the typical oscillation modes

最后指出,脈沖式爆炸[37]和吸引子的極速逃逸[38]等因素是已知的可以誘發快慢振蕩的其他急劇量變行為.然而,脈沖式爆炸的特征是,在平衡點曲線上形成了“脈沖”型的尖峰;而吸引子的極速逃逸的特征是,平衡點在某點附近迅速趨于無窮大.這些均與本文報道的急劇量變行為不同.綜上所述,本文揭示的快慢振蕩的誘發機制,是未曾報道過的新型動力學機制.

5 結論

快慢振蕩普遍存在于諧波齒輪傳動系統;探討快慢振蕩的動力學機理問題具有重要意義.本文研究涉及扭轉剛度非線性因素的諧波齒輪傳動系統的快慢動力學,揭示誘發快慢振蕩的新機制.研究表明,當扭轉剛度系數不斷減小時,平衡點曲線可以產生不同于以往的急劇量變,即在某局部小范圍內,平衡點可在正、負坐標值之間快速轉遷.這直接形成具有不同動力學特性的激發態區域和沉寂態區域.在慢變量的調控下,系統在激發態與沉寂態之間相互轉遷,進而產生快慢振蕩.本文的研究豐富快慢振蕩的誘發機制,為實際諧波齒輪傳動系統中的快慢動力學機理與控制研究提供參考.