基于共軛梯度法辨識(shí)鋼渣溫度分布

翟恒東 李利民 楊駿 霍玉峰 鄧思洪 蔣麒麟

（1：中冶寶鋼技術(shù)服務(wù)有限公司 上海 200999；2：武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北 武漢 430081；3：武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北 武漢 430081）

1 前言

渣罐是在冶金環(huán)節(jié)完成之后用來(lái)放置剩余高溫爐渣的容器，是冶金企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的關(guān)鍵設(shè)備之一。鋼渣在生產(chǎn)后一直放在渣罐中進(jìn)行冷卻，是非常珍貴的二次資源，由于鋼渣中不同金屬離子結(jié)晶析出所需要的溫度不同，因此鋼渣的溫度對(duì)其回收率有著直接影響［1-3］。目前測(cè)溫方式主要分為兩類：機(jī)械類測(cè)溫和輻射測(cè)溫。但機(jī)械類測(cè)溫讀數(shù)無(wú)法穩(wěn)定，且需要人工現(xiàn)場(chǎng)操作電子探槍，危險(xiǎn)系數(shù)極高；輻射測(cè)溫基于紅外線進(jìn)行測(cè)溫，器件不需要接觸熱源，但此類方式易受外界干擾，測(cè)量精度無(wú)法保證。

由于傳統(tǒng)測(cè)溫方法存在較大弊端，大部分學(xué)者開(kāi)始將反問(wèn)題的理論和思想應(yīng)用于傳熱學(xué)研究中，通過(guò)反演方法對(duì)鋼渣溫度進(jìn)行間接測(cè)量。Fan Yang［4］等人通過(guò)Tikhonov正則化方法成功解決了利用拋物線方程求解熱源反問(wèn)題時(shí)的不適定性。吳洪潭［5］采用正則化思想研究了非穩(wěn)態(tài)一維線性傳熱反問(wèn)題，提升了研究結(jié)果的準(zhǔn)確率。Joanna Wrobel［6］等人利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)焊接加熱生產(chǎn)時(shí)的熱處理過(guò)程進(jìn)行了反向分析，且獲得理想結(jié)果。Hua Wang［7］等人提出了一種利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解熱傳導(dǎo)逆問(wèn)題的新方法，該方法已成功地應(yīng)用于具有接觸間隙導(dǎo)熱傳熱的背桿傳熱模型。劉梟［8］等人運(yùn)用譜共軛梯度法成功得到了更加真實(shí)的地下形態(tài)。卓立軍［9］等人將溫度測(cè)量數(shù)據(jù)作為熱源大小識(shí)別的反問(wèn)題模型的輸入?yún)?shù)，使用共軛梯度法研究了燒蝕材料的熱學(xué)參量表征。余遠(yuǎn)鋒［10］等人解決了二維空間跟著坐標(biāo)變換的接觸熱阻的困惑，證實(shí)了反演結(jié)果與真實(shí)接觸熱阻吻合。馬曉波［11］等人基于共軛梯度算法探究了材料亞表層缺陷深度。但目前還未見(jiàn)對(duì)渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布進(jìn)行反演的研究。

本文基于傳熱學(xué)反問(wèn)題，以渣罐外壁溫度為已知信息對(duì)冶金渣的溫度散布狀況進(jìn)行反演。通過(guò)創(chuàng)建渣罐傳熱數(shù)學(xué)模型，分析不同時(shí)刻鋼渣溫度分布情況。并運(yùn)用共軛梯度法（CGM），以局部測(cè)量壁溫為輸入值，對(duì)渣罐內(nèi)鋼渣溫度散布進(jìn)行反演。該方法避免了傳統(tǒng)測(cè)溫方法成本高以及精度不足的問(wèn)題，為研究鋼渣溫度分布提供了新思路。

2 正問(wèn)題

2.1 數(shù)學(xué)模型

考慮到渣罐的實(shí)際部件構(gòu)造較多，渣罐內(nèi)是熔融狀態(tài)下的熔渣，鋼渣處理時(shí)的工序也比較繁瑣。對(duì)某12m3的鋼渣罐工作開(kāi)展以下簡(jiǎn)化與假設(shè)：

（1）忽略圓周方向的換熱，將渣罐的傳熱看作二維層面；

（2）圖1為簡(jiǎn)化后的正問(wèn)題鋼渣罐模型。按照鋼渣罐的對(duì)稱性取圖1所示的陰影部分作為分析對(duì)象；

圖1 簡(jiǎn)化渣罐模型

（3）忽略渣罐與鋼渣的接觸熱阻；

（4）鋼渣比熱容不隨溫度變化；

（5）溫度較高的渣罐罐壁因?yàn)楹涂諝獾臒釋?duì)流和熱輻射，其溫度下降較快；

（6）渣罐上沿與外部環(huán)境接觸面積較小，散熱量較小，忽略其導(dǎo)熱作絕熱處理。

2.2 簡(jiǎn)化鋼渣罐的數(shù)學(xué)模型

在以上簡(jiǎn)化和假設(shè)基礎(chǔ)上建立物理模型，鋼渣罐的導(dǎo)熱過(guò)程滿足二維導(dǎo)熱方程：

式中： x，y—計(jì)算點(diǎn)的位置；

T—溫度，℃；

λ—鋼渣罐罐壁的導(dǎo)熱系數(shù)，與罐壁的材料有關(guān)，W／m·℃。

對(duì)于簡(jiǎn)化后的鋼渣罐模型，其傳熱現(xiàn)象可以歸納為熱對(duì)流與熱輻射。因此建立的鋼渣罐傳熱系統(tǒng)需滿足以下邊界條件：

邊界既存在對(duì)流換熱又存在輻射換熱：

鋼渣罐的外表面復(fù)合換熱量Φ是由對(duì)流換熱量和輻射換熱量組成，轉(zhuǎn)化公式如下：

式中： hT—鋼渣罐外表面的復(fù)合的傳熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

hc—對(duì)流換熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

hr—輻射換熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

Tw—鋼渣罐的外表面溫度，℃；

Tf—周圍環(huán)境擁有的溫度，℃；

A—物體表面面積，m2。

2.3 正問(wèn)題求解結(jié)果

根據(jù)有限元方法進(jìn)行正問(wèn)題求解，圖2為鋼渣罐的溫度場(chǎng)分布狀況。由圖2可得，鋼渣罐內(nèi)壁溫度較高，鋼渣罐壁溫度隨著離鋼渣距離增加有所下降，整個(gè)鋼渣罐溫度分布以罐體中部為圓心，呈環(huán)形分布，在耳軸附近溫度下降明顯。

圖2 溫度分布云圖

圖3為鋼渣罐外表面溫度分布曲線圖，能夠直觀看出罐體外表面的溫度散布狀況。由圖3可知，最大溫度在罐體中部，即腰線附近。罐體的最低溫度出現(xiàn)在耳軸處，這是由于耳軸遠(yuǎn)離鋼渣，有加強(qiáng)筋板輔助散熱。

圖3 鋼渣罐外表面溫度分布曲線圖

3 反問(wèn)題

由于鋼渣罐的服役工況條件極其惡劣，且鋼渣罐內(nèi)鋼渣為多種礦物的固溶體（屬于硅酸鹽類），直接獲取鋼渣的溫度分布非常困難，但是可以較容易的獲得鋼渣罐外壁的溫度信息。因此利用鋼渣罐外壁一定數(shù)量的測(cè)點(diǎn)的溫度信息，反演鋼渣罐內(nèi)鋼渣的溫度散布狀況具有可行性。

3.1 反演的目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)已知鋼渣罐熱物理數(shù)據(jù)和邊界條件，在鋼渣罐外壁安放一定數(shù)量的溫度測(cè)點(diǎn)，通過(guò)溫度測(cè)點(diǎn)反饋信息來(lái)預(yù)測(cè)鋼渣罐內(nèi)壁的邊界條件狀況。假定設(shè)置了K個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)處的溫度值為T(mén)mi（i=1，2，…，K），可以通過(guò)以下目標(biāo)函數(shù)的最小值來(lái)解決該傳熱學(xué)反問(wèn)題：

式中： H—待反演的溫度值，℃；

3.2 鋼渣溫度分布反演

基于共軛梯度法，需要反演的溫度值H要滿足公式：

式中： Hn—需要進(jìn)行反演的溫度值，℃；

H—第n次猜想值，℃；

αn—迭代步長(zhǎng)；

dn—共軛梯度的搜尋方向。

dn由式（9）確定：

式中： βn—共軛系數(shù)；

▽J（Hn）—對(duì)象函數(shù)的梯度。

βn可由式（10）確定，▽J（Hn）可由式（11）確定：

其中，

經(jīng)過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J（Hn-αndn）來(lái)確定搜索步長(zhǎng)αn：

式中： ▽Ti—行向量，求解如下：

運(yùn)用中心差分法來(lái)大致代替計(jì)算行向量▽Ti。

3.3 反演的收斂判斷

運(yùn)用共軛梯度法反推鋼渣的溫度散布時(shí)，假如符合式（8），那么就迭代中止，Hn是最終需要導(dǎo)出的反演結(jié)果。迭代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的收斂判別是：

式中： ε—迭代終止閥值。

在現(xiàn)實(shí)生活中溫度測(cè)量值Tmi肯定會(huì)有一定的測(cè)量誤差，所以在數(shù)值模擬試驗(yàn)時(shí)，溫度的實(shí)測(cè)值應(yīng)基于真實(shí)值Tei增添一個(gè)任意測(cè)量誤差，則溫度的測(cè)量值應(yīng)為：

式中： σ—標(biāo)準(zhǔn)狀況下的測(cè)量偏差；

ω—服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一系列波動(dòng)數(shù)，其取值范圍是［-2，2］，且其平均值為0。

此時(shí)，迭代終止閥值為：

當(dāng)存在測(cè)量誤差時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的收斂條件為：

3.4 反演的基本流程

采用共軛梯度法反鋼渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布情況的程序計(jì)算流程如圖4所示：

圖4 反演流程圖

4 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件

以真實(shí)傳熱邊界參數(shù)數(shù)值求解導(dǎo)熱微分方程得到鋼渣溫度場(chǎng)分布，以此來(lái)當(dāng)作實(shí)際生產(chǎn)中的溫度場(chǎng)分布，y是鋼渣罐的深度，即待反演的鋼渣溫度實(shí)際分布情況為拋物線：

結(jié)合正問(wèn)題的求解結(jié)果，使用正問(wèn)題計(jì)算所得的鋼渣罐外壁溫度，模擬鋼渣罐外壁測(cè)量溫度值，以測(cè)量值為基礎(chǔ)上填加一個(gè)未定的測(cè)量差作為反問(wèn)題的輸入?yún)?shù)。為評(píng)價(jià)反演結(jié)果精度與可靠性，定義待反演點(diǎn)處溫度值的可接受的誤差為：

N—需要反演點(diǎn)的數(shù)目。

初始溫度H0=1400℃，環(huán)境溫度Tf=20℃。取外壁溫度的測(cè)點(diǎn)數(shù)k=14，測(cè)點(diǎn)從鋼渣罐的底端到罐口依次均勻分布在外壁上，給定測(cè)量誤差σ=1.0℃，迭代終止閥ε=3。采用共軛梯度法對(duì)符合工程實(shí)際應(yīng)用下的渣罐內(nèi)的鋼渣溫度分布情況進(jìn)行反演，圖5為反演得到鋼渣溫度分布情況所示，表1為誤差分析結(jié)果。

圖5 CGM反演結(jié)果

表1 誤差分析

從以上反演結(jié)果中能夠看出，獲取的數(shù)值略偏離于真實(shí)值，因?yàn)椴贿m定是反問(wèn)題自身的特點(diǎn)，在求解的過(guò)程中輸入?yún)?shù)是欠正定或超正定的，因此偏差是無(wú)法避免的。結(jié)合圖表中可以得出，算例結(jié)果的最大誤差是0.16%，相應(yīng)的最大誤差值是5℃，誤差值非常小，因此本文所運(yùn)用的共軛梯度法能夠完成對(duì)鋼渣溫度散布狀況的反演，且具有較高的精度。

4.2 初始值的影響

表2 誤差分析

由上述不同的溫度猜想值得到的鋼渣溫度散布的反演結(jié)果的平均相對(duì)誤差依次是0.19%、0.20%、0.30%，對(duì)應(yīng)的最大反演誤差分別為2.1℃、2.2℃、4.7℃。從圖6中可以看出，當(dāng)溫度分布的初始值比較接近真實(shí)值時(shí)，CGM反演模型能夠取得較優(yōu)異反演結(jié)果。在初始猜想值出現(xiàn)明顯偏離真實(shí)值的狀況下，反演結(jié)果的誤差隨之增大，所以初始猜想值會(huì)干擾反演狀況。

圖6 反演結(jié)果

4.3 測(cè)點(diǎn)數(shù)目的影響

取初始溫度猜測(cè)值H0=1400℃，測(cè)量誤差σ=0℃，分別對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)目K=14、K=11、K=8這三種方式進(jìn)行反演，溫度測(cè)點(diǎn)均勻分布在鋼渣罐的外壁上。

表3 誤差分析

測(cè)點(diǎn)數(shù)目分別為8、11和14時(shí)，由CGM得到的鋼渣溫度散布狀況，其平均相對(duì)誤差分別為0.10%、0.21%、0.47%，對(duì)應(yīng)的最大誤差分別為1.12℃、2.34℃、5.30℃。結(jié)合圖7可以得出，測(cè)點(diǎn)數(shù)目K=11時(shí)便能夠得到較為理想的反演結(jié)果，反演結(jié)果的平均相對(duì)誤差因?yàn)闇y(cè)點(diǎn)數(shù)目增加而減小，其原因是溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)目的提升，能獲得的已知信息增多，相應(yīng)的溫度信息也就更加完整，所以反演精度會(huì)有所提高，即測(cè)點(diǎn)數(shù)目的增加有益于反演精度。但是較多的測(cè)點(diǎn)數(shù)目將會(huì)增加計(jì)算量，會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，所以結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，應(yīng)盡量減少測(cè)點(diǎn)數(shù)目。

圖7 反演結(jié)果

4.4 測(cè)量誤差

反問(wèn)題的不適定性導(dǎo)致反演結(jié)果略微敏感于測(cè)量誤差，即測(cè)量溫度值的極小偏差，便有可能導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)波動(dòng)。

對(duì)測(cè)量誤差的抗干擾性是判斷反演算法有效性的標(biāo)準(zhǔn)之一，取溫度初始猜測(cè)值H0=1400℃，K=14，溫度的測(cè)點(diǎn)位置保持不變，以此來(lái)判別測(cè)量誤差對(duì)CGM反演效果的干擾程度大小。取測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ=0.5℃、σ=1.0℃、σ=1.5℃，按照公式（17）設(shè)定終止閥值。從表4可以看出，各個(gè)誤差值下結(jié)果平均相對(duì)誤差依次是0.13%、0.25%、0.37%，最大誤差值依次是1.42℃、2.81℃、4.70℃。結(jié)合圖8可以看出，測(cè)量誤差較小時(shí)，采用共軛梯度法（CGM）可以得到較準(zhǔn)確的反演溫度，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大會(huì)使溫度反演誤差增大。

表4 誤差分析

圖8 反演結(jié)果

4.5 測(cè)點(diǎn)位置的影響

鋼渣溫度在該處的靈敏度大小與測(cè)點(diǎn)位置有關(guān)系，通常情況下，測(cè)點(diǎn)處的溫度靈敏度與測(cè)點(diǎn)到待反演點(diǎn)的距離有關(guān)。靈敏度的大小決定了反演結(jié)果的好壞，因此有必要分析測(cè)點(diǎn)位置對(duì)所得結(jié)果的干擾程度。令溫度初始猜想值H0=1400℃，測(cè)量誤差σ=0℃，使用以下布置方式。

方式一，所有測(cè)點(diǎn)依次散布在鋼渣罐的罐體表面。方式二，部分測(cè)點(diǎn)分布在鋼渣罐外表面與加強(qiáng)筋外表面之間。方式三，部分測(cè)點(diǎn)分布在加強(qiáng)筋外表面。上述3種測(cè)點(diǎn)布置方式得到的鋼渣溫度分布的平均相對(duì)誤差如表5所示。

表5 誤差分析

分別為0.11%、0.35%、0.45%，對(duì)應(yīng)的最大誤差分別為1.22℃、3.85℃、5.13℃。從圖9中可以得出，測(cè)點(diǎn)位置所產(chǎn)生的影響明顯，溫度反演結(jié)果隨著測(cè)點(diǎn)位置遠(yuǎn)離待反演點(diǎn)位置而變差。此現(xiàn)象在罐底附近及罐口附近較為明顯，主要原因是罐底附近加強(qiáng)筋很多，罐體溫度差別較大；罐口不與鋼渣直接接觸，可以利用的有效測(cè)點(diǎn)信息較小。所以利用方式一和方式二的測(cè)點(diǎn)布置獲得的反演效果不太理想。

圖9 反演結(jié)果

5 結(jié)論

本文在12m3鋼渣罐傳熱系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，利用共軛梯度法以渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布為反演量進(jìn)行仿真試驗(yàn)，證實(shí)了共軛梯度法的實(shí)用性，且探究了四種因素對(duì)反演精度的影響，主要結(jié)論如下：

（1）初始猜測(cè)值越偏離于真實(shí)值，反演精度就越差。基于3個(gè)不一樣的初始猜想值，本文所運(yùn)用的反演模型依然能夠獲得優(yōu)異的反演數(shù)據(jù)。

（2）較少的測(cè)點(diǎn)數(shù)目會(huì)致使反演精度比較差，即反演精度隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)目的增多而有所提高。布置適當(dāng)?shù)臏y(cè)點(diǎn)數(shù)目，運(yùn)用共軛梯度法能夠獲精度比較高的反演數(shù)據(jù)結(jié)果，本文采用14個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)目即可獲得較高精度。

（3）測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σ在相對(duì)的測(cè)量誤差范圍內(nèi)對(duì)反演精度影響較小，但當(dāng)誤差進(jìn)一步增大時(shí)，反演精度隨之降低。當(dāng)σ≤1.0℃時(shí)，共軛梯度法能獲得符合實(shí)際的反演結(jié)果。

（4）測(cè)點(diǎn)位置對(duì)反演精度的干擾比較顯著，反演結(jié)果因測(cè)點(diǎn)位置的不同而表現(xiàn)出較大差異。本文所采用的較差測(cè)點(diǎn)布置方式一和方式二得到的反演結(jié)果不太理想，即測(cè)點(diǎn)位置需能夠反映待反演參數(shù)。