初中數學三角形輔助線的構造方法

楊魁平

（遵義市第五十五中學 貴州 遵義 563000）

初中階段數學學科中很多幾何問題的解答，都需要制作輔助線，但是如何有效地使用輔助線，就是解答問題的難點，所以在進行此類問題學習的時候學生會接觸到多種輔助線的運用方法，基于輔助線使用的靈活性強，所以在實際運用的時候要具體問題具體分析，不能直接套用現有的輔助線制作方法。例如在解答新的平面幾何問題的時候，不能從已有制作輔助線的經驗中獲得啟示，但還是要分析這些輔助線。隨著教師對幾何解題教學研究的深入，找出幾種幾何變換的方法，希望可通過此解答幾何問題?；诖吮疚恼驹趲缀巫儞Q的角度，對平面幾何問題中輔助線的運用進行研究。

1.輔助線在數學教學中的運用價值

新課程標準與中考數學考試指南，都提出“空間與圖形”是數學教學的重點。一方面，需要學生能夠更加直觀感受與理解幾何的知識，如三角形相似、全等內容學習的時候，學生可以快速反映出題目中的條件與圖形，挖掘三角形圈定或者相似方面性質的條件，進而證明。另一方面，學生在進行幾何問題解答的時候，提升了自己的逆向思維與推理能力。這樣在解決復雜的幾何問題的時候，輔助線的作用就顯現出來了，以其合理引入為前提，轉化幾何問題。現在新課改要求學生在進行“空間與幾何”問題解答的時候，提升幾何直觀能力，并能通過幾何體的表面條件能夠看到另一個層次，因此當看到幾何事物的時候，就會聯想到已學知識，建立連接。一般來說就是通過圖形為依托，進行深度思考，其中借助輔助線的工具，可助學生將已知條件與新創建的條件結合，進而解決幾何問題。據此，在初中數學幾何問題的解答中，可以使用輔助線，在一定城府下，幫助學生提升幾何直觀素養，發展幾何推理發展提供適合的途徑。在學生解答幾何問題的時候引入輔助線，可適當克服解題過程中產生的思維阻力，更快感知解答思路。在此輔助線在幾何問題解答中起到的作用為：

1.1 顯示圖形中的隱藏條件

很多幾何問題的編制，為了考察學生數學思維能力與推理能力，會將本就存在的線段隱藏起來，此就間接地增加了問題的難度。學生結合已知條件在圖形中增加輔助線，在一定程度上補充了原來的圖形，還隱藏了定理與性質直接展現出來。另外還能助學生清晰解題思路，借助已有知識，快速解答此類問題。

1.2 根據已知條件，為未知答案構建“橋梁”

很多幾何問題中條件與未知無直接聯系，學生按照正常的思想無法分析，不能建立與多條件之間的關系，所以不能充分發揮各個條件的作用。但是通過輔助線的使用，就能將原本不能建立起來的聯系構建起來，充分利用所給條件為未知結論的解答做有利紐帶。

1.3 有效轉化問題 由于幾何問題比較復雜，所以學生在讀完題目后，不能依據自身思維，建立適合的數量關系，另外面對此類問題，學生還會產生退縮心理。而輔助線的運用，就會將原有復雜的問題進行分解與重新整合，快速找到適合的突破口，將復雜的問題向簡單轉化，縷清解題思路快速整合。

2.初中數學三角形輔助線的構造方法

2.1 遇角平分線構造的輔助線

初中生學習三角形之后，在解題的時候經常會遇到角平分線的問題，內角平分線與外角平分線的運用與處理則成為解答問題的方法，如運用角平分線的性質證明三角全等或者三角形線段、角的相等?；蛘呃媒瞧椒志€的對稱性質，翻折圖形，然后進行推理論證與計算。在此，可根據三角形角平分線的性質，總結幾種做輔助線的方法，即過角平分線上的點，向兩邊取相等的線段；過角平分線上的點，向兩邊做垂線段；過三角形角一邊上的點，做角平分線垂線；過角平分線上的點，做一邊的平行線。

圖1

圖2

第二，一個角先做出角平分線，然后在角平分線上分別向角的兩邊，做相等的線段，形成的兩個三角形是全等的。例2，如圖2，三角形中，∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分線，請證明DC=AB-AC。此問題就是根據AD平分∠BAC，在AB上截取一點E，讓AE=AC，在此就構建兩個全等三角形。找到點E后，連接DE，可知∠C=∠AED，CD=ED，再根據題目給出的條件，得到∠C=2∠B，∠AED=∠EDB+∠B，得到EB=ED. DC=BE，又因為BE=AB-AE=AB-AC，由此可證DC=AB-AC。

第三，角一邊上的一點，做角平分線的垂線。此垂足為三角形底邊上的中點，而此角平分線所在的直線，又是底邊上的高與中線所在直線，在此就可運用等腰三角形“三線合一”的性質證明。OE是∠AOB的角平分線，做OE的垂線與直線OA相較于點D，延伸DE，與OB相交與點F，在此三角形ODF為等腰三角形，角平分線OE與三角形底邊DF上的高與中線為一條直線。例3，三角形ABC中，CD是∠ACB的角平分線，AD與CD垂直，DE和BC平行，求EB=EA。此證明題根據兩直線平行，在證明點D是AD所在某直線的中點即可，在此延長AD，與BC相較于F，再根據CD是∠ACB的角平分線與AD垂直于CD，得到三角形ACD與FDC全等，在此得到AD=FD，最后可證明EA=EB。

第四，過角平分線上的點，做邊的平行線，可得其線段與該線所截的交的邊長度相等。例4，∠AOB為30°，OD是角平分線，過點D做DC與OA垂直，與OA相較于點C，若DC=4，求OC的長。分析題意，可根據OD是∠AOB的平分線，想到過點D，構建等高三角形，所以過點D做ED與OB平行，然后依據等腰三角形性質求解。再根據題目中給出的∠AOB的度數，依據等角轉換，得到包含30°的直角三角形。

2.2 遇邊上中點構造的輔助線

初中階段的數學，關于三角形的問題，較多與三角形得中位線、中線有關。基于此平面幾何問題的解答，可根據邊上的中點做三角形的中線或者中位線解答。

2.3 遇邊上的高構造的輔助線

在學生學習三角形的高后，就可根據其有關性質做輔助線。

第二，直角三角形中可做斜邊上的高，然后以“等角的余角相等”或“同角的余角相等”證明三角形相似，進而利用成比線段求解問題。直角三角形ABC中的∠C=90°，過點C直線AB的垂線，與其相較于點D，則有∠A=∠BCD，∠B=∠DCA，三角形ABC與CBD與ACD相似，進而有很多成比例的線段。

結論

初中平面幾何作為數學中的基礎課程，教師要有效培養學生解答幾何問題的能力，在三角形問題的解答中，輔助線的構造很重要，可構成新的圖形，組建新的關系，進而增加解題條件，提升解題效率。