含中性點參數的三相變壓器建模及其在潮流計算中的應用

姚玉斌，張悅，王愛芳

(大連海事大學 船舶電氣工程學院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

潮流計算是電力系統計算和分析的基礎，相較于輸電系統，配電系統的三相不平衡問題格外突出，無法直接采用單相潮流算法進行計算分析，因此對配電系統進行三相潮流計算是十分必要的[1-2]。變壓器作為電力系統中最重要的電力設備之一，建立變壓器的三相模型也是配電網潮流計算的基礎工作[3-4]。

建立詳細的變壓器三相模型需注意以下因素，如考慮銅損和鐵損、相位偏移問題，以及考慮中性點接地和不接地的變壓器模型等[5-8]。變壓器的實用模型可以由漏磁導納矩陣和鐵損等值回路兩部分表示[6,9]，鐵損等值回路通常作為功率損耗合并至節點負荷或按經驗公式計算[6]，變壓器建模時不再考慮勵磁回路部分。漏磁導納矩陣又稱節點導納矩陣，變壓器三相建模的關鍵是得到變壓器的三相節點導納矩陣。

目前廣泛采用對稱分量法和關聯矩陣法對變壓器節點導納矩陣進行推導，如文獻[6, 10]采用基于序分量的對稱分量法對變壓器節點導納矩陣進行推導，由文獻[10]可知，對稱分量法將變壓器的電壓(電流)相量分解為正、負、零序分量，有著計算速度快，占用內存較小等優點，但對稱分量法不能在變壓器參數不對稱時使用。文獻[11]采用基于相分量的關聯矩陣法對變壓器節點導納矩陣進行推導，關聯矩陣法可直接對變壓器三相整體建模，較為直觀，更適合應用于三相不對稱的計算中。但對于繞組連接方式為中性點不接地的星形接線，由于其中性點電位不為零，變壓器的繞組支路電壓與節點電壓的關系不再是關聯矩陣，傳統的關聯矩陣法便不再適用。因此文獻[12]提出了基于電氣量變換矩陣法的三相變壓器建模方法，解決了中性點不接地星形接線的變壓器三相模型問題，但該方法的電壓變換矩陣和電流變換矩陣不再互為轉置，推導也較為復雜。目前中性點不接地星形接線的變壓器模型中沒有中性點電氣量，進行潮流計算時，無法直接求出中性點電壓。因此需要對中性點不接地星形接線的變壓器三相模型進行研究，以推導其節點導納矩陣。

文中分析了中性點不接地星形接線方式的變壓器關聯矩陣的特點，推導出了相同連接方式不同組別標號變壓器關聯矩陣的相互聯系，提出了基于關聯矩陣法的含中性點參數的變壓器模型建立方法。通過文中方法可使關聯矩陣法應用于中性點不接地的星形接線方式的變壓器建模，建模過程也更加簡潔，模型應用于潮流計算可以直接方便地求出變壓器中性點電壓。最后以IEEE-4節點標準測試系統為例對所述方法進行了驗證。

1 不含中性點參數的變壓器模型

圖1為變壓器的三相模型，三相變壓器中存在一個公共鐵芯，因而各繞組之間存在相互耦合。

圖1 三相變壓器實用模型

通過變壓器繞組之間的連接關系，可以用變壓器原始導納矩陣Yp來表示變壓器三相繞組支路電壓向量Ub和變壓器繞組支路電流向量Ib之間的關系，如式(1)：

Ib=YpUb

(1)

(2)

式中yt為三相變壓器三相參數對稱時每相繞組的短路導納。

如圖2所示為變壓器非標準變比模型，將原邊、副邊繞組等效為兩個理想變壓器，α0是原邊繞組的非標準變比，β0是副邊繞組的非標準變比。

圖2 變壓器非標準變比模型

考慮非標準變比后，變壓器的原始導納矩陣可變為如下形式：

(3)

通過節點導納矩陣YT可以表示變壓器各端點的節點電壓向量Un和節點電流向量In之間的關系：

In=YTUn

(4)

三相變壓器繞組支路電壓Ub和節點電壓Un之間的關系為：

Ub=CUn

(5)

式中C為變壓器的電壓關聯矩陣。

三相變壓器繞組節點電流In和支路電流Ib之間的關系為：

In=GIb

(6)

式中G為變壓器的電流關聯矩陣。

如果變壓器不存在中性點不接地星形連接方式，則G=CT。由原始導納矩陣Yp、電壓關聯矩陣C可推導得出變壓器節點導納矩陣YT的表達式為：

YT=CTYpC

(7)

2 含中性點參數的變壓器模型

變壓器繞組連接方式為中性點不接地的星形接線時，由于中性點電位不為零，那么變壓器的繞組支路電壓與節點電壓的關系就不能用關聯矩陣表示，傳統的關聯矩陣法便不再適用。文獻[12]提出了基于電氣量變換矩陣法的三相變壓器建模方法，解決了中性點不接地星形接線的變壓器三相模型問題，但該方法的電壓變換矩陣和電流變換矩陣不再互為轉置，推導也較為復雜。目前中性點不接地變壓器模型中沒有中性點電氣量，進行潮流計算時，無法直接求出中性點電壓。因此需要對中性點不接地星形接線的變壓器三相模型進行研究，以推導其節點導納矩陣。

繞組連接方式為中性點不接地的星形接線時，如果變壓器各端點的節點電壓向量中包含中性點電壓，各端點的節點電流向量中包含中性點電流，則式(7)對中性點不接地星形接線的變壓器仍然適用。

變壓器原副邊相同連接方式下不同組別的變壓器電壓關聯矩陣之間存在相互聯系，可由一個基本電壓關聯矩陣與一個統一的轉換矩陣運算推導出同一連接方式下不同組別變壓器的電壓關聯矩陣，然后推導出變壓器三相模型。

為分析方便起見，定義變壓器原邊繞組采用中性點接地星形連接、中性點不接地星形連接、三角形連接時，原邊時鐘分別為0、0、1；定義變壓器副邊時鐘為變壓器連接組別標號與原邊時鐘之和，如果所得到的和為12，則副邊時鐘為0。

變壓器原邊(副邊)繞組采用時鐘為0的中性點接地星形連接、時鐘為0的中性點不接地星形連接、時鐘為1的三角形連接時，對應的含中性點參數的原邊(副邊)電壓關聯矩陣分別為：

(8)

(9)

(10)

對所有接線類型的三相變壓器，變壓器的電壓關聯矩陣寫成統一形式如下：

(11)

式中Cp為原邊電壓關聯矩陣；Cs為副邊電壓關聯矩陣；下標k表示副邊時鐘，k=0，1，…，11。

以Yd接線的變壓器為例，討論原副邊相同接線方式下不同連接組別變壓器的副邊電壓關聯矩陣的關系，推導三相變壓器的節點導納矩陣。

Yd接線的變壓器組別標號可以為1、3、5、7、9、11，Yd1接線的變壓器等效電路圖如圖3所示。

圖3 Yd1變壓器等效電路圖

Yd1變壓器繞組支路電壓向量和繞組支路電流向量分別用Ub、Ib表示，同式(1)。Yd1變壓器的節點電壓向量和節點電流向量分別用Un、In表示，即：

式中UN為原邊繞組的中性點電壓;IN為原邊繞組的中性點電流。

Yd接線的變壓器原副邊繞組的非標準變比與變壓器相電壓非標準變比之間的關系為：

(12)

將式(12)代入式(3)可以得到Yd接線的變壓器原始導納矩陣為：

(13)

Yd1接線的變壓器的支路電壓與節點電壓的關系為：

Ub=C1Un

(14)

(15)

根據變壓器的原邊、副邊接線方式可以得到Yd1原邊電壓關聯矩陣Cp和副邊電壓關聯矩陣Cs1為：

(16)

(17)

變壓器的原邊繞組采用原邊時鐘為0的中性點不接地的星形接線，Cp=CY；變壓器的副邊繞組采用副邊時鐘為1的三角形接線，Cs1=CD。

觀察變壓器原副邊繞組的接線，可以發現隨著組別標號的變化，原邊繞組不發生變化，只有副邊繞組的相位關系發生變化，副邊繞組的電壓關聯矩陣也隨之改變。因此當組別標號變化時，只需對副邊電壓關聯矩陣Cs的變化進行研究即可。圖4為Yd接線的變壓器不同組別的副邊繞組接線方式。

圖4 Yd變壓器副邊繞組的接線

觀察圖4，Yd3變壓器的副邊繞組接線與Yd1變壓器相比，有兩個變化：(1)三相相序仍為正相序，但后移了一相，由a、b、c變為b、c、a；(2)極性相反。

式(1)可以通過轉換矩陣E1實現：

(18)

式(2)可以通過轉換矩陣E2實現：

(19)

結合式(18)和式(19)，得到兩個組別的變壓器副邊電壓關聯矩陣的轉換矩陣為：

(20)

這樣，得：

(21)

根據圖4(b)，可以看出Yd3接線的變壓器的副邊電壓關聯矩陣就是式(21)，說明所推導的轉換矩陣E是正確的。

Yd5變壓器的副邊繞組接線與Yd3變壓器相比，也同樣有兩個變化：(1)三相相序仍為正相序，但后移了一相，由b、c、a變為c、a、b；(2)極性相反。這樣也可以通過轉換矩陣E由Cs3得到Cs5為：

(22)

同理，可以得到Yd7、Yd9、Yd11組別的變壓器副邊電壓關聯矩陣與Yd1副邊電壓關聯矩陣的關系。

對其他接線方式的變壓器也可以得到類似的結論，綜合以上，各副邊時鐘對應的副邊電壓關聯矩陣為：

Csk=CssEm(k=0，1，…，11)

(23)

式中變壓器副邊繞組為中性點接地星形連接時，Css=CYN；變壓器副邊繞組為中性點不接地星形連接時，Css=CY；變壓器副邊繞組為三角形連接時，Css=CD；指數m=0，1，…，5，為副邊時鐘k除以2之后的整數部分；轉換矩陣E用來實現不同組別標號的副邊電壓關聯矩陣之間的互相轉換，副邊繞組為中性點接地星形連接或三角形連接時，為：

(24)

副邊繞組為中性點不接地星形連接時，轉換矩陣E為：

(25)

將得到的變壓器副邊電壓關聯矩陣Csk代入式(11)中求出電壓關聯矩陣Ck，再與式(13)中的原始導納矩陣Yp一起代入式(7)中，便可以得到節點導納矩陣YT。

為方便分析和觀察，可以將節點導納矩陣分塊，如式(26)所示：

(26)

不同接線方式的三相變壓器節點導納矩陣如表1所示。

表1 三相變壓器節點導納矩陣

由表1可知，除含中性點不接地星形接線的變壓器外，本文導出的三相變壓器節點導納矩陣與文獻[6]所得到的節點導納矩陣完全相同。與文獻[6]相比，本文導出的含中性點參數的變壓器的節點導納矩陣中包含有中性點參數，使含中性點不接地星形接線的變壓器三相模型更加直觀。

3 變壓器模型在潮流計算中的應用

以IEEE-4節點標準測試系統為例，采取電流偏差型直角坐標牛頓法進行潮流計算，驗證提出的含中性點電氣量的變壓器三相模型的正確性。

IEEE-4節點系統接線圖如圖5所示，節點1為平衡節點，其線電壓幅值為12.47 kV，A、B、C三相電壓相角分別為0 °、-120 °、120 °。選擇連接組別為Yd1的三相降壓變壓器，節點4接三相不對稱負荷，A、B、C三相有功功率分別為1 275 kW、1 800 kW、2 375 kW，功率因數分別為0.85、0.9、0.95，設置收斂精度為0.000 1。

圖5 IEEE-4節點系統

牛頓法在導納矩陣對稱性及稀疏性有著明顯優勢，因此在中低壓配電網潮流計算中常采用牛頓法進行計算[13]。但由于潮流計算的雅可比矩陣奇異，會導致牛頓法收斂困難[14]，故在各節點每相上加一個電納值為10-6S的小電容，因電容值很小，不影響最終的計算精度。

為驗證所使用方法的正確性，采用文獻[15]中的“Ladder Iterative Technique”方法作為對比方法對相同算例進行了潮流計算。

采用文中方法和對比方法對算例進行潮流計算，得到的各節點電壓如表2所示。

表2 不同方法潮流計算的節點電壓

由表2和表3可知，計算結果保留三位小數時，采用文中方法和對比方法潮流計算得到的節點電壓幅值計算結果相差很小，均在0.01 V以內，節點電壓相角計算結果相差也很小，均在0.001°以內；支路電流幅值計算結果相差很小，均在0.01 A以內，支路電流相角計算結果相差也很小，均在0.001°以內。由此說明采用文中方法建立的變壓器三相模型是正確且有效的。而且基于本論文模型的電流偏差型直角坐標牛頓法不僅可用于輻射形配電網，還可以用于環形配電網，比僅適合于輻射形配電網的“Ladder Iterative Technique”方法的適應面更廣。

表3 不同方法潮流計算的支路電流

4 結束語

提出了一種計及中性點參數的變壓器三相模型建立方法，解決了中性點不接地星形接線的變壓器不能采用傳統關聯矩陣法建模的問題。該方法建立的變壓器三相模型的關聯矩陣包含中性點電氣量，使得關聯矩陣法可以應用于各種組別連接的三相變壓器，而且可以通過轉換矩陣從一個基本副邊電壓關聯矩陣得到相同原副邊連接方式下各連接組別的副邊電壓關聯矩陣，進而得出變壓器的電壓關聯矩陣。采用IEEE-4節點配網系統對本文方法進行驗證，結果表明：所提出的計及中性點參數的變壓器三相模型是正確的，應用于配電系統三相潮流計算可以非常方便地求出各節點電壓及中性點電壓。