基于映射常數的動態量值不確定度評定方法

盧達，白靜芬，林繁濤，段永賢，孟靜

(中國電力科學研究院有限公司，北京 100192)

0 引 言

動態量值是實際工況中量值最主要的存在形式。產生動態量值的原因有三種：(1)工程技術原理產生的動態，如脈寬調制[1]等；(2)應用需求產生的動態，如電機啟動、停止[2]等；(3)干擾產生的動態，如熱噪聲、電磁干擾[3]等。但在試驗室檢測中，出于檢測結果可復現、可溯源等原因，通常使用穩態信號進行檢測，這導致試驗室檢測結果和現場檢測結果之間不一致，是目前檢測面臨的難題之一。

國內外學者在動態檢測方面已開展很多研究，主要有三種思路：(1)研究被測信號，對典型動態信號提出測試方法。文獻[4]提出了針對階梯波的片段采樣方法，以丟棄邊緣采樣點的方式提升測量準確度，文獻[5]研究了符合IEEE 1459標準的含有間諧波的電能測量方法；(2)設計專用的動態測試信號。文獻[6]提出了針對電能表的電流正弦包絡工頻信號和電流梯形包絡工頻信號，文獻[7]利用上述兩種電流信號估計了當時標準電能表的動態測量不確定度，測試了安裝式電能表之間的動態電能測量誤差。文獻[8]設計了用于測試動態性能的二進制通斷鍵控電流信號模型，文獻[9]評定了采用這種方法的測試系統的不確定度。文獻[10]在文獻[8]的基礎上提出了基于偽隨機序列函數的動態測試信號設計方法，并采用壓縮感知理論縮短了測試時間；(3)研究動態不確定度評定方法。文獻[11]中利用了表示為隨時間變化的動態不確定度，文獻[12]根據數學模型計算了測量系統隨時間變化的不確定度。文獻[13]將對設備動態性能的分析轉化為對其頻域性能的分析，提出應計算幅值和相角誤差范圍內的頻域指標。

在上述研究的不確定度評定中，大部分只能評定一段時間內動態量值不確定度的平均值，難以獲得某個時間點量值的不確定度[7,9]；有些可以評定某個時間點的不確定度，但需要依靠準確的被測系統和噪聲的頻域[12]或時域[13]數學模型，且無法評定測試過程中隨機效應引入的不確定度。

在實際應用中，明確動態量值在各時間點的測量不確定度對系統分析和控制有重要作用。本文分析了動態量值不確定度評定的難點，考慮到當前很多測試設備基于采樣原理實現測量，以采樣值表示的動態量值為研究對象，提出一種基于映射常數的不確定度評定方法(以下簡稱MCA)，在錄波儀等以采樣值為基礎進行測量的設備或系統中均可應用。試驗結果驗證了文中提出方法的有效性。

1 動態量值不確定度評定

1.1 穩態不確定度評定方法應用于動態量值時存在的問題

不確定度評定方法分為A類和B類[14]：

(1)

B類不確定度評定采用除數值統計以外的方法，根據相關信息判斷不確定度分量的概率密度函數。B類不確定度的評價沒有統一公式，因具體設備、環境和測量方法而異。值得注意的是，不確定度評定類別區別的是不確定度的評定方法，而不是不確定度本身。選用A類還是B類不確定度評定方法僅與具體評定的計算量、準確性、操作便捷性有關。

在評定動態量值不確定度時，對于B類評定，穩態量值的不確定度分量范圍不能覆蓋動態量值的不確定度分量范圍，動態量值的B類不確定度評定還需要考慮被測量值在不同頻段的誤差分布等。已有不少文獻研究動態量值B類不確定度評定[15]，不再贅述。對于A類評定，動態量值試時變化，對同一被測量的重復觀測難以實現，不能滿足A類評定時 “對同一被測量重復觀測” 的前提條件。這個原因導致了傳統的A類不確定度評定不適用于動態信號，是傳統不確定度評定方法難以評定動態量值不確定度的癥結點。

1.2 基于映射常數的不確定度評定方法

1.2.1 評定方法原理

動態量值不確定度評定的核心是找到可以重復觀測的常數。

令動態信號連續n+1個采樣點的測量值為x1、x2、…、xn、xn+1，若該信號對應的函數在(x1，xn+1)區間內n+1階可導，則根據泰勒展開公式，可對這個函數進行n次泰勒展開，在連續的n+1個采樣點，展開式可由式(2)表示：

(2)

式中t為初始采樣時刻；T為采樣間隔；a0、a1、…、an為各展開項前的系數，是一組與動態信號對應函數相關的常數。

為得到一個在相鄰采樣時刻可重復觀測的間接被測量，令β1、β2、…、βn、βn+1滿足式(3)：

(3)

式中A為任意常數。

若式(3)成立，則式(2)帶入式(3)后，tn、…、t前的系數均應為0，可得式(4)：

(4)

式(4)中有n個方程、n+1個未知數，因此β1、…、βn均可用含有βn+1的代數式表達，由此求解式(4)可得：

(5)

將式(5)帶入式(3)，整理可得：

(6)

因此，將任意采樣點與其后續n個采樣點按式(6)計算均可得到一個理論上是常數的間接被測量y，從而實現了動態量向常數的映射。文中將這個常數稱為映射常數，由于映射中用到了n階泰勒展開，定義這個映射常數的計算階數為n。

若被觀測信號在相鄰m+n個采樣點的動態特征穩定，則m個相鄰的采樣點滿足相同的n階泰勒展開，即按式(6)計算出的m個間接被測量y1、y2、…、ym理論上是相同的常數，由此可以實現對間接被測量的重復觀測。采樣點與間接被測量之間的映射關系如圖1所示。

圖1 動態量值與映射常數關系

利用式(1)計算y的A類不確定度：

(7)

假設x1、…、xn、xn+1是相互獨立的，根據合成不確定度傳播率[14]：

(8)

將式(6)代入式(8)，可得：

(9)

假設x1、x2、…、xn、xn+1不確定度相同，則由式(9)可得x的A類不確定度：

(10)

因此，對于一組動態量值，由式(6)、式(7)和式(10)即可求出其A類不確定度。

1.2.2 評定方法分析

(1)MCA推導中的假設條件

在MCA的推導中，使用到兩個假設條件，一是假設臨近采樣點的不確定度相同，二是假設臨近采樣點相互獨立。式(1)計算試驗數據均值不確定度時也用到了上述假設，因此MCA與傳統A類不確定度評定方法的假設條件相同。

在臨近的采樣點，測量設備和被測信號的物理狀態相近，環境因素、外界干擾、人為因素和噪聲等的影響方式類似，因此臨近采樣點不確定度相同的假設是合理的。

動態測量中的臨近采樣點和穩態測量中的臨近測量事實上一定是相關的，但在不確定度評定過程中，始終試圖利用B類不確定度評定降低這種相關性。在穩態量值的B類不確定度評定中，上級傳遞、年穩定性等不確定分量均有效降低了臨近測量的相關性。在動態量值的B類不確定度評定中，除上述分量外，頻域誤差分布不確定度分量也降低了臨近采樣點的相關性。因此，在B類不確定度評定合理時，臨近采樣點相互獨立的假設是合理的。

(2)映射常數計算階數的影響

MCA對映射常數計算階數要求是，被測動態信號對應的函數在采樣區間內n+1階可導。在允許的階數范圍內，計算階數和信號的采樣周期綜合影響MCA的計算結果。當信號的采樣周期相同時，計算階數越高，泰勒展開式的余項越小，擬合越準確，反映的信號動態特征越細致。若計算階數不足，泰勒展開式余項過大，將導致映射常數不能反映被測信號的動態特征，此時MCA引入的不確定度較大。以正弦信號為例，若被測動態信號為：

f(t)=sin(ωt)

(11)

式中ω為被測正弦信號的角頻率。特別說明的是，這里評定的是正弦信號每個采樣點的不確定度，而不是正弦信號有效值的不確定度，因此將正弦信號視為動態信號。用各采樣點不確定度的平均值作為評定方法不確定度的評價指標，若被測信號有k個采樣點，則該評價指標可表示為：

(12)

當k為20、式(7)中m為5時，E與映射常數計算階數n的關系如表1所示，可見當采樣率固定時，評定方法引入的不確定度隨著計算階數的增加而減小。

表1 測量正弦信號時計算階數與采樣周期對MCA引入不確定度的影響

可以采用縮短采樣周期的方法降低計算階數。當T足夠小時，Tn?Tn-1，式(2)可表示為：

(13)

由式(13)可知，x1、x2、…、xn、xn+1相對于T線性變化，即此時n階泰勒展開與1階泰勒展開的結果近似相同。式(12)表示的算例，當其它條件保持不變，采樣率分別為100點/周期和500點/周期時，如表1所示，計算出的評價指標E有數量級的降低。

(3)動態量值不確定度對信號復現性的影響

在不確定度的物理意義之中，動態量值不確定度對動態信號復現性的影響值得注意。在相同的評定條件下，若動態量值不確定度一直較小，則采樣時刻變化對動態信號的檢測結果影響不大，即每次檢測時根據采樣值復現出的動態信號相似。一旦出現動態量值不確定度較大的采樣點，則該點之后的動態信號檢測結果對采樣時刻的變化可能敏感，即每次檢測時根據采樣值復現出的動態信號會有差別。

這個現象可根據式(2)解釋。由于x不確定度隨t變化，當x不確定度較大時，根據式(8)，t系數的不確定度也較大，即復現出動態信號隨t變化的范圍較大。

以矩形信號為例，如圖2所示，分別對矩形信號進行3次測量，每次測量的初始時刻不同。不確定度評定時每秒采樣率為1 000、映射常數計算階數為3、式(7)中m為5。在圖2(c)中由于0.399 s附近出現了不確定度較大的采樣點，0.399 s后初始采樣時刻不同的3次測量值復現出的信號出現了較明顯的差別，而在0.399 s之前，各次測量值復現出的信號幾乎相同。

圖2 矩形信號不確定度及信號復現

2 仿真和試驗驗證

2.1 仿真驗證

在matlab中進行MCA驗證，選取3種典型信號。正弦信號是電學檢測中最常見的信號，正弦包絡信號和OOK激勵信號是主要的電能表動態性能測試信號。對3種信號均增加服從均值為0、標準差為1.0e-4正態分布的隨機噪聲rn，以模擬環境、人員等各種外界干擾對檢測結果的影響。

(1)含有隨機噪聲的正弦信號

被測信號如式(14)所示：

f(t)=sin(2πt)+rn

(14)

采用MCA對式(14)的代表的信號進行動態量值不確定度評定，每周期采樣率為100，映射常數計算階數為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點不確定度如圖3所示，評價指標E為1.2e-4。MCA評定出的不確定度是被測信號的A類不確定度即標準偏差，本次仿真評定出的信號平均不確定度與實際噪聲信號的標準偏差相差0.2e-4，說明MCA可有效評定正弦信號的動態量值不確定度。

圖3 含隨機噪聲正弦信號不確定度

計算階數變化對評價指標E的影響如表2所示。當計算階數大于等于3階時，E已基本不隨計算階數的變化而變化，說明在這種情況下MCA引入的不確定度對動態量值不確定度評定的影響較小。

表2 計算階數變化對含隨機噪聲正弦信號不確定度的影響

(2)含有隨機噪聲的正弦包絡信號

被測信號為含有隨機噪聲的正弦包絡信號[6]，如式(15)所示：

f(t)=(0.5+sin(ωt/10))sin(ωt)+rn

(15)

采用MCA對該信號進行動態量值不確定度評定，每周期采樣率為100，映射常數計算階數為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點不確定度如圖4所示，評價指標E為1.0e-4，評定結果與實際標準偏差十分接近，說明本文提出的方法可以有效應用于正弦包絡信號的不確定度評定。

圖4 含隨機噪聲正弦包絡信號不確定度

(3)含有隨機噪聲的OOK激勵信號

被測信號為含有隨機噪聲的2周期開通、2周期關斷OOK激勵信號[8]，采用MCA對該信號進行動態量值不確定度評定，映射常數計算階數為3、式(7)中m為5，如圖5所示。若每周期采樣率為100，評價指標E為2.2 e-4，遠大于真實噪聲的標偏。這是因為在0.5s時，OOK激勵信號出現拐點，導致不確定度在拐點附近計算偏差較大，如圖5(b)所示。在這種情況下，根據式(13)，應減小采樣周期，使采樣點更趨近低階變化。當每周期采樣率為10 000時，評價指標E為1.0 e-4，較好地估計了真實噪聲偏差，此時各采樣點的不確定度如圖5(c)所示。

圖5 含隨機噪聲OOK激勵信號不確定度

2.2 試驗驗證

用MCA評定試驗室中1臺直流電能表測試臺體輸出動態信號的不確定度。輸出動態信號為含有20%紋波的10 A直流電流，測試設備為錄波儀DL850E，采樣周期為2×10-5s。試驗場景如圖6所示。

圖6 實驗環境

對每個采樣點進行評定，映射常數計算階數為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點不確定度如圖7所示，評價指標E為0.064 7。計算階數變化對E的影響如表3所示。當計算階數在1階到5階變化時，E的變化率約為3%，計算階數變化為E的影響可以忽略不計。由此，MCA可以對實際設備進行有效的動態不確定度評定。

圖7 MCA不確定度評定試驗結果

表3 試驗中計算階數變化對不確定度評定的影響

3 結束語

文章提出了一種基于映射常數的動態量值不確定度評定方法，可以將動態量值轉化為一個穩態量值計算標準偏差，解決了傳統不確定度評定方法中無法評定動態量值A類不確定度的問題。通過選擇不同的映射常數計算階數和采樣周期，可以實現對動態量值不同分辨力的不確定度評價，仿真和試驗驗證了所提出方法的有效性。該方法可用于評定錄波儀等以采樣值為基礎的設備或系統的動態不確定度。