一類圓錐曲線定點問題的解題策略探究 教學設計

張秀春

一、內容和內容解析

1.內容：圓錐曲線中的定點問題，主要包括圓錐曲線中的動直線過定點問題和圓錐曲線中的動圓過定點問題。

2.內容解析：

內容的本質：定點問題是在變化中表現出來的不變的量，可以用變化的量（參數）表示問題中的直線方程，而此直線方程又不受參數影響的一個點，就是要求的定點。系數含有參數的直線方程稱為直線系方程，直線系方程會隨著參數的變化而形成一系列直線，稱為直線系。當參數滿足一定條件時，直線系會經過某個定點。從代數的角度來看，將參數看作主元，分離參數，令各項的系數與常數項都為0，得到關于x，y的方程組，若關于x，y的方程組有唯一解，則直線系經過定點，否則直線系不經過定點。

蘊含的數學思想和方法：圓錐曲線中的定點問題蘊含了運動與變化的思想、特殊與一般的思想、數形結合的思想方法、轉化與化歸的思想方法。

知識的上下位關系：過定點的曲線系方程是上位概念，過定點的直線系方程與圓系方程是下位概念。

育人價值：通過探究圓錐曲線中的定點問題，讓學生學會觀察變化中的不變性，發現特殊中的一般性，學會運用類比猜想探究問題，并加以拓展與推廣，培養學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等數學核心素養。

3、問題診斷：學生對直線系過定點的求解原理與方法不熟悉，對如何處理圓錐曲線中的定點問題有畏難情緒，對含有參數的解析幾何運算不過關。

4、教學難點：領悟對參數的常用處理思路和對參數設而不求的常用運算技巧。

二、教學支持條件分析

（1）學生已經學習了直線與圓錐曲線的方程與性質，熟悉直線與圓錐曲線的位置關系，具備探究直線系過定點過定點的基本能力。

（2）運用“GeoGebra”的畫圖與動畫功能，可直觀演示動直線與動圓的不同位置，幫助學生觀察、猜想定點的位置，促進學生對定點問題的直觀理解與拓展推廣。

三、課時教學目標

1.學會觀察動直線過定點的幾何特征與代數特征。

2.學會梳理圓錐曲線中動直線過定點的常見思路。

3.通過經歷設參、用參、消參的解題過程，不斷積累處理參數的技巧，提高運用類比方法探究一般性問題的能力。

四、教學重點與難點

（1）教學重點：梳理圓錐曲線中動直線過定點問題的常見思路。

（2）教學難點：處理參數的技巧及求解問題的方法。

五、教學過程

環節1、問題引入。

【問題1】回顧課本：選擇性必修一教材80頁16題：已知λ為任意實數，當λ變化時，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0，表示什么圖形？圖形有何特點？

解析：當λ變化時，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0）表示直線，這些直線都經過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點（-2，2）。

師生共同梳理總結出求解直線過定點問題的基本思路及常用方法：

①幾何方法 ②代數方法 ③先猜后證法

環節2、問題探究。

【問題2】如果直線系方程未知，如何判斷動直線是否過定點？

如例1，過橢圓 的上頂點P作兩條互相垂直的直線交橢圓于A、B兩點，求證：直線AB恒過y軸上一定點。

【問題2-1】未知直線系方程，如何判斷動直線是否過定點？能否先求出直線系方程再進行判斷？

【問題2-2】若直線系過定點，則直線方程的系數有什么特點？直線的斜率是否含有參數？

【問題2-3】如何選擇合適的參數求出直線系方程？

師生活動：首先教師結合問題2-1、問題2-2、問題2-3與學生一起分析例1的解題思路，并展示回答例題的解法，同時相互交流在解題過程中的一些困惑。

設計意圖：通過一系列的問題探究，給學生創設探索問題的深度和廣度，引領學生感悟思想，養成“從思想的高度考察具體事例”的意識和“透過現象看本質”的能力。

環節3：課堂小結。

你能簡要的概括本節課的學習要點嗎？

師生共同概括本節課的學習要點：

1：直線過定點問題

2：主要數學方法：數形結合法、先猜后證法

3：發現問題、分析問題、解決問題的能力。

【作業設計】（略）