高中數學新舊教材“立體幾何初步”的比較研究

劉海霞 陳小美 彭葉輝

【摘要】教材是課程知識的載體，是教與學的橋梁，在課堂教學中發揮著無以替之的作用.教材分析與課程的架構、安排和實施緊密相關，也與教育目標和教育價值的實現緊密相關.以高中數學中的“立體幾何初步”教材為例，本文從教材的內容、習題、概念等方面對2007版和2019版教材進行了簡單的比較研究.

【關鍵詞】數學教材;立體幾何;比較研究

【基金項目】湖南省普通高等學校教學改革研究項目（湘教通〔2018〕436號-369）; 湖南科技大學教學改革研究項目（No. G31915）

一、引言

教材是實施新課改的重要資源，教材分析是實踐教學的根本.章建躍提出教材內容的改革有兩條“永恒”的理由：一是為與時俱進，二是為“減負”，并指出教材內容的改革要以“精簡、增加、滲透”為方針.王成滿等人認為數學教材的編寫要注重整體性與系統性.吳立寶、曹一鳴兩人提出教材分析的八個策略，以此來提高教材的“附加值”.“立體幾何初步”是銜接初高中圖形與幾何知識的關鍵點，目前還缺少以其為研究內容的教材分析，因此，筆者試對其做簡單的分析與比較，以期拋磚引玉.

二、教材內容的比較分析

（一）章節目錄的比較

新、舊教材的目錄按章標題→節標題→小節標題展開，新教材將立體幾何初步知識重組為一章，并且節標題更為簡潔.此外，與舊教材對比，新教材的小節標題有以下五點改變：（1）將棱臺的結構特征移至圓柱、圓錐之前;（2）刪除了臺、球、柱、錐及簡易組合體的三視圖知識;（3）刪除了中心投影及平行投影知識;（4）將臺體、球體、柱體以及錐體的表面積和體積劃分為棱體、圓體兩部分;（5）增加了“線線平行”“線線垂直”兩節知識.

從整體來看，新教材按新課標的要求刪去了部分知識，更加強調前后知識之間的關聯，并對一些知識進行了必要的分類，便于學生對知識點的理解和記憶.新教材中增加的知識則考慮到學生由易到難、由簡到繁的認知特點，有助于學生逐步創建良好的空間觀念.

（二）重要定理的呈現方式比較

2007版：（1）線面平行（判定）：思考→觀察→探究→結論→例題練習;（2）面面平行（判定）：觀察→探究→結論→例題練習;（3）線面平行（性質）：思考→結合判定定理得出結論→例題練習→總結思想方法;（4）面面平行（性質）：思考→結論→例題練習;（5）線面垂直（判定）：思考→探究→思考→結論→例題練習→探究;（6）面面垂直（判定）：觀察→思考→結論→例題練習→探究;（7）線面垂直（性質）：思考→定理→例題練習→思考;（8）面面垂直（性質）：思考→結論→思考→例題練習→探究.

2019版：（1）線面平行：觀察→判定定理→例題練習→連接線面平行的充分條件研究線面平行的必要條件→性質定理→例題練習;（2）面面平行：探究→判定定理→例題練習→研究面面平行的性質→性質定理→例題練習→總結思想方法;（3）線面垂直：觀察→思考→探究→判定定理→思考→例題練習→觀察→采用反證法得到性質定理→例題練習;（4）面面垂直：二面角→思考→觀察→判定定理→例題練習→探究→性質定理→探究→例題練習→歸納.

對比來看，舊版教材多以思考導入為主，新版教材則以觀察和探究導入為主;舊版教材將單個定理分別呈現，新版教材則更注重定理之間的承接，將判定定理及性質定理接踵呈現.舊版教材設置了8條知識鏈來呈現定理，新版教材則整合為4條知識鏈，加強了知識點的關聯度.

（三）欄目設置的比較（見表1）

從表1中可以看出，新版教材較舊版教材的欄目設置更多樣化，舊版教材以思考和探究為主，新版教材以觀察和思考為主.新版教材增加了祖暅原理的探究與發現，可以引導學生探尋相關知識的開展歷程，從中領會數學的價值，提升學生的數學應用意識和科學精神.另外，新版教材中還增加了幾何學發展的文獻閱讀與寫作，有利于培養學生收集和整理資料、撰寫和論述內容的能力.

（四）教材章節引入與章末小結的比較

舊版教材的章節引入從空間幾何體的簡單概念和用途入手，簡單說明了章節的學習過程和目標;新版教材的章節引入首先讓學生結合章前圖回顧小學和初中的相關知識，其次給出章節的學習目標和具體順序，最后給出基本方法和途徑并結合數學核心素養對學生提出要求.新版教材與舊版教材的章末小結均通過“本章知識結構”和“回顧與思考”來呈現.不同的是，新版教材的章末小結不僅對知識點進行了總結，而且對章節所體現的數學核心素養和數學思想方法進行了總結;舊版教材的回顧與思考同步，新版教材則先回顧后思考.

三、教材習題的比較分析

（一）習題結構的比較

新、舊教材均按照知識點的順序按序設置了三類練習題：小節練習、節末習題、復習參考題.舊教材將習題分為A、B兩組，A組比較簡單，B組對學生提出較高的要求;新教材將習題劃分為三個層次：綜合運用、拓展探索、復習鞏固.與舊教材相比，新教材的習題難易程度劃分得更明顯，并增設了更多綜合型的習題，在注重學生基礎的同時兼顧了學生差異性.此外，新教材習題所用的插圖也更貼近實際生活，提升了學生解決問題的情境性.

（二）習題數量的比較（見表2）

從表2中可以看出，新教材在舊教材的基礎上增加了27.12%的習題量，并且這些增加的習題量主要體現在空間直線、平面的平行和垂直這類較難的知識點上，強調了學習不同知識的差異性，突出了章節重點.

（三）習題類型的比較（見表3）

選擇、填空和判斷是考試中常見的題型，這三類題型對學生掌握基礎知識有著顯著效果.從表3中可以看出，新教材對這三類題型做了適當的增加，體現了對于基礎知識訓練的重視.新教材刪去了三視圖和投影這部分知識，所以相應減少了作圖題的題量.對于“立體幾何初步”的計算，新課標僅要求了解一些簡易幾何體的表面積和體積的計算方法及用公式解決簡單的實際問題，因此，新教材對計算題也做了相應的刪減.此外，新課標對平行、垂直的性質與判定定理的論證提出了更為具體的要求，還要求學生能運用直觀感知、推理論證等認識和探索空間圖形的性質并創建空間觀念，因此，新教材增加了簡答和證明的題量來對應新課標提出的要求.

四、教材概念的比較分析

（一）概念的引入比較

2007版：（1）抽象圖與生活實例圖聯結總結出概念的內涵與外延（如棱、多面體、旋轉體等）;通過探究與思考給出立體圖形的重要結構特征，進而結合抽象立體結構圖給出概念（如圓錐、圓柱、棱錐等）.（2）利用生活常識或生活場景的陳述引出概念，給出概念之后再通過具體的生活實例來加深學生的印象與理解（如中心投影、投影線、平行投影等）.（3）通過思考并結合舊概念的呈現類比得到新概念，再結合探究思考與例題的講解進行概念鞏固，利用數學公式來簡化概念的記憶與理解（如體積、表面積）.（4）通過觀察與思考讓學生運用幾何抽象思維來形成概念的文字語言描述及數學幾何語言的表述，形成相應重要公理的表達.除了相應的文字與符號語言外，教材中還增加了圖形來加深學生的理解與記憶.

2019版：（1）觀察生活圖進而描述其結構特征，由特殊到一般總結出概念的外延與內涵，接著結合抽象立體圖形給出概念的描述性定義（如空間幾何體、軸、頂點等）.（2）通過與之前舊知識、舊概念的結合，對舊概念進行延伸，經過遷移與類比形成新的概念（如直棱柱、棱臺、圓柱側面的母線等）.（3）利用生活場景中蘊含的數學立體圖形的知識，經由初中的相關知識擴充到高中新知，再讓學生經歷具體的作圖過程，結合具體作圖步驟形成概念，最后結合實際的作圖例題加深學生對于概念的理解與應用（如斜二測畫法）.（4）由例題導入，首先給出分析與解答的過程，其次給出特殊性及簡單性的立體圖求解的公式方法，然后遞進思考非特殊及復雜的立體圖與舊知識間的關系，最后結合新知例題形成概念公式，并進行歸納與整理.（5）基本事實概念由學生熟悉的生活常識給出，明確了數學與實際生活密不可分，也利于知識的理解和知識的遷移與應用，推論與相關重要定理則結合基本事實與思考類推來呈現，明確了知識間的貫串性.

新版教材在概念引入的方法、順序及著重點上都有所不同，較舊版教材而言，新版教材偏向于先由思考和例題來引入，即先置疑，再解答，最后給出描述;舊版教材則多由觀察和探究入手，即先現象，再描述，最后解答.從整體來看，新版教材更注重知識概念的銜接與聯結，注意從學生已有的認知基礎出發，層層遞進，突出特殊到一般以及類比的數學思想.新版教材較舊版教材而言，在概念的引入上，其抽象圖形的數量進行了部分刪減，多以生活實景圖引入，更注重數學知識與實際生活之間的聯系.

（二）概念的陳述比較

新版教材較舊版教材的概念陳述方面最突出的區別是，新版教材用維恩圖對概念間的關系進行了總結，用圖示法更好地說明了各個概念之間的區別及聯系，這種方法更加簡潔且一目了然.此外，在概念的陳述方面，新版教材還注重概念知識的相互轉化，如內涵與外延的細致變化，這能更有效地使學生在腦中構建本章的知識結構圖，從而深化對概念知識的整體認識.

五、教材編排結構的比較分析

2007版：空間幾何體章節分三層展開：一層分為直觀圖和三視圖、結構、表面積與體積.二層分為：（1）球、柱、錐（結構）;（2）直觀圖三視圖;（3）表面積、體積.三層：臺（錐）.點、平面、直線間的位置關系章節按三層展開：一層為公理（1，2，3，4）.二層為平面、直線的位置關系.三層為面與面之間的位置關系，線與線之間的位置關系，線與面之間的位置關系.

2019版：空間幾何體章節分四層展開：一層是現實生活中的物體.二層是平面、點、直線的位置關系及幾何體（空間）.三層分為：空間幾何體：（1）臺、球、柱、錐的結構特征;（2）立體圖形的直觀圖;（3）臺、球、柱、錐的體積及表面積.直線、平面、點之間的位置關系：（1）線與面之間的位置關系;（2）面與面之間的位置關系;（3）平面的基本性質;（4）線與線之間的位置關系.四層分為：（1）平面、直線的垂直;（2）平面、直線的平行（線與面之間的位置關系）.

新版教材較舊版教材最大的區別在于垂直、平行（空間）關系之間的轉化，新版教材增加了線面垂直到線線平行以及面面平行到線線平行的性質推導，凸顯了立體幾何知識的邏輯推理性、證明聯結性.

六、新教材編排的突出特點

（一）注重培養學生獲得知識的手段以及方法

要認識和探索空間圖形，離不開推理論證、操作確認、度量計算以及直觀感知的方法，也離不開通過具體的實物模型進行結構特征的辨認，從而細致刻畫其圖形性質.結合新課標提出的學業要求，新教材也注意到對學生獨立查閱、獨立論述、獨立撰寫提出相應的要求.

（二）注重與實際生活的聯系，以及概念知識的遷移與類比

新教材在極大程度上考慮到學生的認知基礎，兼顧了學生初中已學習的相關知識，從而能更好地將知識進行貫串，更加注重與實際生活的聯系，由此加深了學生對知識的運用性理解.

（三）注重知識的關聯性和基礎性，兼顧互異性

新教材在舊教材的基礎上對某些知識點進行了增減，并調整了部分知識點的位置，使得知識結構的整體邏輯順序更符合學生認知結構的發展.新教材增加了直線與直線平行和垂直的論證，使知識按“線線→線面→面面”的順序展開，更加有規律和系統，習題也按難易程度進行了題量分配，有利于學生對知識的整體建構.

（四）注重數學技能的培養和數學思維方式的滲透

新教材加深了學生對類比與化歸、數形結合等思維的領悟，培養了學生抽象概括、空間想象以及邏輯推理的能力.

（五）重視立體幾何初階知識的本質

新教材在習題數量和難度上都分別多于和難于舊教材，總體上更傾向于促進學生對知識的轉化和應用.新教材將舊教材中習題的層次劃分進行重組，有利于學生對知識點的逐步深入，而且新教材中題型和結構的優化增強了學生解題的靈活性.

（六）注重數學的文化價值

新教材不僅要求學生了解有關史料，還要求學生查閱相關資料并進行寫作，強調對學生數學素養的培養.

七、結語

綜上所述，新教材的內容變化傾向于重精簡、重探究、重關聯、重多元，習題的變化趨于重增加、重層次、重靈活、重推理論證.新教材在與時俱進的同時做到了“減負”，形成了新的特點.

【參考文獻】

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[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準 （2017年版） [M].北京：人民教育出版社，2018.