思維進階：讓簡單的知識不簡單

施麗

【摘要】本文從運算律的課例中拓寬教師的教學思路，深度研究“交換律”的內容，是建立在學生已經經歷“觀察—猜想—驗證—歸納”的探究過程上，大膽鼓勵學生在課堂上繼續理性地探新奇、辨真偽、明所以然，自然推導至其他運算中交換律的問題，著眼于換個角度，生成不簡單的精彩課堂.

【關鍵詞】交換律;不簡單;探究;教學

一、課例描述

前不久，學校的青年教師進行了一次“同課異構”的數學課堂教學展示.教學內容是蘇教版小學數學四年級下冊“運算律”.聽了幾節課，筆者發現教師們基本上都是按照這樣的教學思路實施教學的，具體表現在以下七個方面.

1.“朝三暮四”創設情境或開門見山.

2.說一說：這兩個算式里的加數分別表示什么？結果相等可以用等號連接.

3.同學們能再舉幾個這樣的例子嗎？

4.仔細觀察這些算式，同學們有什么發現？（揭示加法交換律）

5.用自己喜歡的方式表示加法交換律.

6.經歷了“觀察—猜想—驗證—歸納”的探究過程后，同學們放手研究加法結合律.

7.練習鞏固，回顧反思.

每位教師在課堂中不僅重視學生主體地位的體現，而且重視對學習方法的滲透，讓學生充分經歷觀察—猜想—驗證—歸納的探究過程，多感官地理解加法交換律和結合律的含義.然而，在某節課的結尾談收獲的環節中，一名學生堅定地說道：“除了加法有交換律外，乘法也有交換律，而減法和除法沒有交換律！”教師立即詢問那名學生：“你怎么知道的?。?！”這名學生驕傲地說：“這個很簡單呀！”其他學生詫異地看著教師，教師提議給出掌聲.

二、引發思考

連續聽課后，最讓筆者感受深刻的不是教師在新授部分做到“樸實無華，彰顯魅力”，也不是教師在練習部分做到“層次分明，循序漸進”，而是學生口中的“簡單”一詞.如果從師、生雙重角度上看，“簡單”在于以下兩個方面.

（一）教學知識中的“簡單”

追溯學生的認識過程，其實從一年級開始，他們就對加法交換律有了初步的感知;他們在二年級認識了乘法口訣表，對乘法交換律有了初步的感知;到了三年級，他們已經會用交換兩個加數（乘數）的位置進行驗算或簡便計算.此時，加法（乘法）交換律已經被當成一種潛意識的規定，被學生默認運用.此時，學生如果真正地學起來，自然就會認為“簡單”，而教師難免會覺得知識點太簡單，學生的探究性不強.

（二）教學現場中的“簡單”

教師將掌聲送給了那句“這個很簡單呀”，這樣的處理無疑是讓其他學生帶著疑惑走出課堂，而且失去了學生思維進階的契機，這樣的課堂才是簡單的.“為什么加法和乘法有交換律，而減法和除法沒有交換律呢？”對于這一問題，數學教材里的運算律并沒有涉及減法和除法，那么是否就不需要建構呢？如何將“簡單”的知識變得“不簡單”，如果由我來實施教學，那么學生的思維又該如何進階呢？

三、我的教學課堂

片段一：多元表征 讓知識形成過程“看得見”

（教學加法交換律之后）師：關于加法交換律，你們有什么想說的？

生1：我知道兩個數相加，交換兩個加數的位置，和不變.

生2：我知道加法交換律可以用字母a+b=b+a表示.

師：我們今天繼續研究交換律.（板書：交換律）

教師出示研究一：新新在學習的過程中發現3×5=5×3，他認為乘法也有交換律，你們能試著舉出幾個這樣的例子并選擇其中的一個，用畫圖或自己喜歡的方式解釋說明一下嗎？

學生先獨立完成，再在小組里交流（教師出示小組交流注意點，如圖1所示）.

生1：我舉的例子是5×9=9×5，我發現它們的結果是相等的，所以乘法有交換律.

生2（補充）：我覺得一個例子的說服力不太夠，我還舉了10×2=2×10，10000×10000=10000×10000……我通過計算發現，兩個數相乘，交換乘數的位置后結果仍相等，所以我覺得乘法也有交換律.

（學生獻上掌聲，教師相繼板書：算結果）

生3：我舉的例子是2×3=3×2，我畫圖證明，（邊指圖邊解釋）我畫的左邊是2個圓圈一組，有3組，一共有6個圓圈，右邊是3個圓圈一組，有2組，一共有6個圓圈，6個圓圈等于6個圓圈，所以乘法有交換律，如圖2所示.

生4（補充）：我舉的例子是3×8=8×3，我也畫圖證明，（邊指圖邊解釋）我想到了計算長方形的面積，3×8表示長是8、寬是3的長方形面積，8×3表示長是8、寬是3的長方形面積，結果都是24，所以我也認為乘法有交換律，如圖3所示.

（學生獻上掌聲，教師相繼板書：畫圖示）

生4（再補充）：另外，我還認為3×8表示3個8相加，8×3表示8個3相加，這是從乘法的意義方面想的，結果都是相同的，所以乘法是有交換律的.

（學生獻上掌聲，教師相繼板書：說意義）

師（總結）：同學們真厲害！想到了三種辦法，分別是算結果、畫圖示和說意義，（出示線段圖）其實無論畫成什么樣的圖，都可以用乘法的意義來解釋，或許我們還能在接下來的研究中發現其他方法（教師補上省略號）.

師：那么這樣的例子還能舉得完嗎？

生（齊答）：舉不完.

師：現在，你們能用數學語言說一說到底什么是乘法交換律嗎？

生1：兩個數相乘，交換兩個乘數的位置，積不變.

生2：a×b=b×a.

（學生回憶在之前學習中見到乘法交換律的環節和練習環節略）

片段2：學思結合 讓思辨性思維“摸得著”

教師出示研究二：其他的運算中還有交換律嗎？請你們想一想、試一試、說一說.A38C4759-205F-4634-AD7C-11164E5A035B

學生先獨立研究，再在小組里交流，最后全班匯報如下.

生1：我舉的例子是10-10=0，12÷12=1，減法中交換被減數和減數的位置后差不變，除法中交換被除數和除數的位置后商不變，所以我認為加法、減法、乘法和除法都有交換律，但我們組長說這不對，我想知道為什么.

生2（組長補充）：因為我覺得你那兩個例子正好符合交換位置，得數不變，可是我舉的例子就不符合，我舉的是8-7，它并不等于7-8;200-100也并不等于100-200;12÷3也并不等于3÷12;9÷3也并不等于3÷9.像這樣不相等的例子還有很多，所以我覺得減法和除法有時有交換律，有時沒有交換律.

生3（補充）：我舉出了2-1和1-2，2-1=1，可是1沒辦法減2，所以我感覺這是無法判斷的.

生4（堅定地表明）：我覺得加法和乘法是有交換律的，但是減法和除法沒有交換律，如果減法和除法有交換律，它們就應該像加法和乘法那樣有舉不完的例子，可是這里很明顯沒有這種舉不完的例子.

（學生獻上掌聲，大家聽起來覺得有道理）

師（評價）：多么會舉一反三、思考的孩子們?。c撥總結）剛才第一名發言的學生說到了一組減法算式和一組除法算式恰好符合交換兩個數后結果不變的情況，他選擇了兩個數相同的特殊情況，我們將這樣的例子稱為“特例”，而我們在研究交換律時一般是兩個不同的數.后來，對于組長補充的不滿足交換律規律的幾個例子，我們稱之為“反例”，即只要能舉出一個反例就可以說明減法和除法是不滿足交換位置后得數不變的情況，因此，我們說減法和除法是沒有交換律的.

（教師相繼完成結構化板書，如圖4所示）

四、提煉認識

本節課研究的是“交換律”，是建立在學生已經經歷“觀察—猜想—驗證—歸納”的探究過程上，大膽鼓勵學生在課堂上繼續理性地探新奇、辨真偽、明所以然，自然推導至其他運算中交換律的問題.

基于以上的認識，通過本節課，筆者讓學生體會到簡單的數學知識并不簡單，主要圍繞以下兩點為課堂主線展開教學，并對教學片段進行提煉，現分述如下.

（一）不簡單——素養為本：“理解”比“知道”更深刻

現代教學理論表明，數學知識可以分為表層意義和深層意義兩個方面.表層意義是指表面的理解，即一些用文字和符號就可以直接表述出來的知識和內容;深層意義是指蘊含在數學知識和內容中或隱藏于知識意義背后的方法、價值、文化意義等.表層意義是邏輯的、顯性的和主線的，而深層意義以滲透的、隱性的、暗線的方式存在，是學生核心素養形成和發展的根本.具有生命力的數學課堂需要以發展素養為本，理解學生，理解數學，理解教學.

1.理解學生，符合兒童生長的節律

好奇心是學習的原動力和創新起源，小學生天生好奇，對周圍事物會表現出積極的求知欲望，喜歡刨根問底.在“交換律”的教學中，蘇教版數學教材中并沒有編寫減法和除法沒有交換律，但是學生在學習加法交換律之后不免產生其他運算是否存在交換律的疑問.這時，通過教師創設的具有適度挑戰的情境，學生能在舉例證明的研究中不斷感受到數學的豐富與簡約、神奇與美妙，從而獲得思維的進階體驗，形成對數學知識的敏感、好奇和追根究底的學習精神.

2.理解數學，挖掘數學內容的本質

數學史表明，數學是一種形式化的表現方式，它是通過直覺、猜測、反駁、再猜測、再反駁的多次重復過程，最終發現并獲得可靠的知識的形式.

在“交換律”的課堂上，學生經歷了觀察猜想—舉例驗證—得出結論—再觀察猜想—再舉例驗證—再得出結論……一直循環研究的過程，不僅猜測乘法有交換律，而且使用算結果、畫圖示和說意義等方法來驗證自己的猜測是正確的，在學習環節中收獲研究經驗，再猜想減法和除法有沒有交換律，通過舉反例來反駁和驗證，最終挖掘出數學知識的本質內涵，如圖5所示.

3.理解教學，發現教學內在的規律

教學不等同于講授知識，但教學一定是以知識為載體，圍繞知識的主線展開的.作為單個知識點可能是獨立地存在于每一冊、每個單元、每個學時中.然而，教師應該對知識的前后聯系有著清晰的了解，并且能夠在教學中利用結構化的梳理或板書幫助學生建構知識體系.本節課中的板書也是“不簡單”的，既有結論性的描述，又有過程性的軌跡表征，既能反映出知識的橫向擴展，又能表達出知識的縱向深遠.

（二）不簡單——思維轉向：“會學”比“學會”更重要

在執教本節研究課之前，筆者曾對不同的班級做過前測，第一個問題是“請舉例說一說什么是乘法交換律”，結果只有12.5%的學生知道乘法交換律，并能簡單地舉例說明;第二個問題是“根據加法交換律進行填空：3道類似6×7=（ ）×（ ）的填空題”，結果正確率高達 97.8%.從數據分析中，我們知道學生或許不知道乘法交換律這個名稱，卻已經感受到乘法交換律的意義且已經會運用，那么在課堂上讓學生學會什么、讓學生怎樣會學的問題勢必會困擾著一線教師們.

1.會學，重在積極思考

本節課力求以問促思，用問題促進學生的深度理解，如教師從培養學生的理性思維出發設置了如下兩個核心問題：（1）新新在學習的過程中發現3×5=5×3，他認為乘法也有交換律，同學們能試著舉出幾個這樣的例子并選擇其中的一個，用畫圖或自己喜歡的方法解釋說明一下嗎？（2）其他的運算中還有交換律嗎？請同學們想一想、試一試、說一說.第一個核心問題旨在讓學生通過多樣化的方式表征，深入理解乘法交換律，經歷觀察猜想、舉例驗證、得出結論的過程，積累數學活動經驗，感悟說理的必要性.第二個核心問題旨在讓學生遷移加法和乘法交換律的學習經驗，進行其他運算的深度探究，在慎思明辨中發展理性思維.

2.會學，妙在遵循法理

雖然交換律在四年級之前已經用于加法和乘法運算的驗算，但一些學生對于交換律的認識和理解僅停留在簡單的直覺感知、知識應用和機械的運算技能層面，并沒有深入到對交換律的概念內涵、算理的理解層面.本節課在理解加法交換律和結合律之后，并沒有單獨學習加法交換律，而是將“交換律”的視角打開，向縱向延伸、橫向拓展.這一舉措反映教師既勇于沖破教材的束縛，敢于整合資源，又有法可循，而學生的知識儲備已經能夠支撐他們進行科學的探究，加上課堂中簡單淺顯的學習場景更是讓學生產生深度的理解和探究的愿望.

3.會學，貴在交流碰撞

學生小組活動采取先在組內進行交流，再到全班大組里匯報的形式，組內交流時做到“小紅筆說到哪兒、指到哪兒、看到哪兒、想到哪兒”，組員每人都要做到“認真聽、仔細想，點頭鼓掌給個贊，搖頭舉手做補充”，正是這樣平等、開放的學習氛圍讓學生敢想敢說、敢于質疑、敢于反駁、敢于爭論、敢于認錯，有理有據地闡述乘法、減法、除法是否也存在交換律的驗證過程.學生在交流碰撞中能獲得知識上的習得，學會和他人對話，學會和他人合作.

不簡單的教學是基于課程標準、高于教材、貼近學生、思維進階的教學，這樣的課堂回歸了數學教學的本真，留給了學生心靈激蕩的數學思考和永遠受用的解決問題的思想方法，體現了教師用智慧讓簡單的數學知識變得不簡單.

【參考文獻】

[1]陳淑娟.審問之，慎思之，明辨之：《加法交換律》教學與思考[J].教育視界，2020（17）：46-49.

[2]李潔，李柱俊.淺淺深深：數學教學之道：以“加法交換律和結合津”的教學為例[J].小學教學參考，2020（8）：17-18.A38C4759-205F-4634-AD7C-11164E5A035B