淺談如何培養小學生的數學基本活動經驗

嚴冰

【摘要】數學學習是在“學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動中進行的，數學活動經驗產生于數學學習中，是對觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等活動的初步認識.數學知識總是基于學生已有的知識和經驗發生、發展的，學生學習任何數學知識都必然與頭腦中的數學活動經驗相聯系，離不開先前數學活動中習得的經驗的指導作用.數學活動經驗既是數學學習的產物，也是學生認知和實踐的基礎.

【關鍵詞】小學數學;活動經驗;圖形的密鋪

2011年《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）頒布實施，標志著我國基礎教學小學數學課程改革進入了一個全新的階段.“雙基”變“四基”、“兩能”變“四能”是新標準的特點.作為“四基”之一的基本活動經驗，首次在《標準》中明確提出.

基本活動經驗到底是什么？這里所說的“活動”究竟指的是操作性活動，還是將思維活動也包括在內？作為一個一線教育工作者，筆者認為所謂的基本活動經驗的核心是如何思考的經驗，是幫助學生建立自己的數學現實和數學學習的現實，并學會用數學的思維方式進行思考.一切操作性活動皆是讓學生學會用數學的思維方式進行思考的載體，讓學生在經歷觀察、猜測、驗證、推理、交流的活動過程，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，積累研究問題的方法和經驗，學會用數學的思維方式進行思考.本文筆者將結合“圖形的密鋪”一課，重點從如何培養學生的基本活動經驗來談談自己的想法.

“圖形的密鋪”選自北師大小學數學四年級下冊教材P76的教學內容，屬于該教材中“數學好玩”欄目.該欄目得名于2002年在北京舉行國際數學家大會期間，時年91歲高齡的微分幾何大師陳省身先生為少年兒童的題詞.設計該欄目的目的是激發學生數學學習的興趣，使其體會數學思想，鍛煉思維能力，積累思考經驗，開闊眼界，培養學生學數學、做數學、用數學的學習習慣，力求通過“數學好玩”欄目使學生體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系.

“圖形的密鋪”是一節根據有關平面圖形特點進行觀察、操作、思考和簡單設計的實踐活動.教材分三部分安排：第一部分，通過觀察生活中常見的用磚鋪成的地面或墻面，初步理解什么是圖形的密鋪.第二部分，通過動手操作和思考，探索并了解能夠進行密鋪的平面圖形的特點，知道有些平面圖形可以密鋪，而有些則不能，有的還可以利用兩種平面圖形密鋪，從而在活動中進一步體會密鋪的含義，更多地了解有關平面圖形的特征.第三部分，通過欣賞和設計簡單的密鋪圖案，進一步感受圖形密鋪的奇妙，獲得美的體驗.

通過前幾個學期的學習，學生對平面圖形的特征有了基本的了解，而且學生對于生活中的密鋪已經積累了一定的感性認識，在此基礎上，教師放手讓學生利用學過的平面圖形來探索密鋪的奧秘，培養學生的探究意識，有很強的趣味性.另外，動手設計密鋪圖案是學生感興趣的活動，可以將學生的創造力發揮出來.

因此，本課的教學目標定位為：

（1）在探索平面圖形密鋪的活動中，使學生初步理解密鋪的含義，發現平面圖形密鋪的特點及規律，認識一些可以密鋪的平面圖形.

（2）經歷觀察、猜測、驗證、推理、交流的活動過程，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，積累研究問題的方法和經驗.

（3）在欣賞密鋪圖案等活動中，使學生初步體驗數學內部知識之間、數學與生活、數學與其他學科間的聯系，發展學生的應用意識.

其中第二條直接指向基本活動經驗，通過一系列的數學活動讓學生積累研究問題的方法和經驗，用數學的思維方式進行思考.

一、引導學生發現已有生活經驗，將生活經驗轉化成數學經驗

1.談話導入，激發興趣

師：老師家最近在裝修，要鋪地磚.在鋪地磚的時候遇到了一些問題，你們能幫助我嗎？

2.觀察圖片，發現問題

（1）師：我選擇的是正六邊形的地磚，第一次這樣鋪，你覺得怎么樣？（板書：沒有空隙）

（2）師：那如果把空隙擋住，上面再鋪幾塊呢？（板書：不重疊）

3.歸納小結，初步感知

（1）師：請評價一下現在的鋪法？（沒有空隙，不重疊）

（2）展開想象，初步感知密鋪的意義.

師：如果地方足夠大，還可以繼續鋪下去嗎？可以往哪里繼續鋪？

（3）師：在數學上，我們把一些同樣的圖形按“沒有空隙、不重疊”的要求鋪在一個平面上叫作密鋪.（板書：密鋪）

4.揭示課題

師：這節課我們就來探究數學中“圖形的密鋪”.（板書：圖形的密鋪）

設計意圖：從生活實例引入，在判斷裝修鋪地磚是否符合要求的過程中，讓學生感受密鋪在生活中的應用，同時初步體會密鋪的外在特征，既基于學生的知識生長點，又符合學生認識事物的方式——形象直觀.

二、引導學生發現問題、提出問題，以問題引領展開數學活動

探究特殊圖形的密鋪，初步感悟能夠密鋪的原因.

1.鼓勵質疑，明確探究目標

師：研究圖形的密鋪，你們最想了解什么問題呢？

（出示核心問題：哪些圖形可以密鋪？密鋪的條件是什么？）

2.探究活動1

（1）師：我們學過哪些平面圖形？

（2）師：這么多圖形，形狀不同，邊數不同，一起研究顯然很麻煩，怎么辦？

（3）師：研究復雜問題時，可以先從簡單情況開始，讓我們先選幾個特殊圖形.（板書：特殊）

出示圖形：平行四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形.

（4）引發猜想

師：借助以前你對圖形的認識，猜想一下這些圖形哪些可以密鋪呢？

（板書：猜想）

（5）鼓勵驗證

師：你有你的想法，我有我的想法，到底哪些猜想是正確的呢？怎么辦？（板書：驗證）

（6）動手操作

師出示活動要求：用相同的圖形鋪一鋪，哪些圖形能夠密鋪？

學生邊觀察邊思考可以密鋪的條件是什么.

學生動手驗證.

（7）組織交流展示

適時將所給圖形按可以密鋪、不可以密鋪進行分類.

得出結論：通過動手驗證，用鋪一鋪的方法，我們發現平行四邊形、正六邊形可以密鋪，正五邊形、正八邊形不可以密鋪.（板書：結論）

（8）引發問題

師：圖形的密鋪和什么有關呢？為什么有的圖形可以密鋪，這兩個就不能密鋪呢？

問題梳理：和角有關，和邊有關，和一個點上的角有關……

設計意圖：數學是思維的體操，問題是思維的核心.讓問題與思考成為活動的主線，可鼓勵學生利用已有的活動經驗發現和提出問題，并從中提煉本課的兩個核心問題，圍繞這兩個核心問題進行課堂探究.教師要鼓勵學生利用已有經驗將復雜的問題轉化成一些簡單的問題，先選幾個特殊的平面圖形進行研究，為接下來的數學活動積累經驗，可從特殊的平行四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形入手，先猜想，再驗證，然后歸納結論，利用小組合作學習的方式讓學生初步體會密鋪可能和圖形的角有關.

三、引導學生經歷自主、多樣化的體驗過程，積累探究性經驗

（一）繼續探究特殊圖形的密鋪，利用已有經驗展開推理，進一步感悟平面圖形密鋪的條件

1.引發聯想

師：剛才我們研究了特殊的四邊形平行四邊形，現在讓我們再往深處繼續研究，你由特殊的四邊形平行四邊形又聯想到了什么圖形？

2.探究活動2

（1）出示正方形、長方形、梯形

師：這里還有三個特殊的四邊形，你覺得它們可以密鋪嗎？請你們

閉眼想象，誰先來說說你的想法？

（2）重點探究梯形

學生自主探究：可以動手操作，也可以推理.

集體交流：先展示動手操作的方法，再交流推理的方法.

師根據課堂生成進行小結.

預設1：我們可以用轉化的方法，把……

預設2：四個不同角正好圍成了一個周角……

3.小結

師：剛才同學們有的用鋪的方法，有的同學則用了轉化的方法.

設計意圖：教師應根據學生身心發展和數學學習的特點，關注學生的個體差異和不同的學習需求，愛護學生的好奇心、求知欲，充分激發學生的主動意識和進取精神，倡導自主、合作、探究的學習方式.在研究了特殊的四邊形平行四邊形后，讓學生嘗試研究特殊的四邊形正方形、長方形、梯形.正方形、長方形利用的是閉眼想象，讓學生間接參與，獲得經歷和體驗，而梯形是否可以密鋪，學生的爭議很大.面對爭議，教師讓學生直接參與，這時不同的學生有不同的辦法，有的學生動手鋪，有的學生則是用推理的方法，最后通過驗證得到結論，讓學生進一步感受密鋪和所圍成圖形相交于同一點的幾個角有關.

（二）探究一般四邊形的密鋪，利用已有經驗，進一步思考密鋪的原理.

1.引出問題

師：我們研究了比較特殊的四邊形平行四邊形、正方形、長方形、梯形，它們都屬于四邊形家族，那是不是所有的四邊形都可以密鋪？

2.探究活動3

（1）出示圖形：一般四邊形.

（2）猜想：你覺得它可以密鋪嗎？

（3）探究一般四邊形.

學生自主研究一般四邊形能否密鋪.

集體交流：交流操作經驗.

師根據課堂生成進行小結.

預設1：拼的時候把四邊形不同的四個角拼在一起……

預設2：四邊形的內角和是360°……

（4）得出結論：只要在一個點上幾個角能拼成周角，就可以密鋪.

設計意圖：讓學生的數學學習從膚淺到深入，從特殊走向一般，從幾個圖形走向一類圖形，從特殊的四邊形到所有的四邊形，鼓勵學生質疑一般四邊形是否可以密鋪.學生先猜想，再驗證，在動手操作過程中激活原有知識，利用已有的四邊形內角和360°的知識經驗，發現只要把四個不同的角相交于同一點，就可以拼成一個周角，就可以密鋪.密鋪和一個點上的幾個角能否拼成周角有關.

四、引導學生經歷推理思考的過程，積累抽象概括的經驗

探究一般三角形的密鋪，用多種方法進一步感受密鋪的條件.

1.引出問題

師：一般四邊形可以密鋪，那你又會聯想到什么圖形？

2.探究活動4

（1）出示一般三角形

猜想：對于一般三角形，你覺得它可以密鋪嗎？

（2）同桌討論.

（3）集體交流，適時歸納

預設1：我們可以用轉化的方法，把……

預設2：三角形的內角和是180°……

（4）得出結論

通過轉化、計算內角和的方法，我們推理出一般三角形可以密鋪.

3.簡單應用

列舉特殊圖形，用計算的方法來驗證密鋪的原理.

設計意圖：從一類圖形聯想到另一類圖形，鼓勵學生質疑：一般四邊形可以密鋪，那么一般三角形可以密鋪嗎？一開始的三個特殊圖形，它們能否密鋪的真正原因又是什么？學生借助已有的知識和經驗進一步地推理和思考，歸納出密鋪的真正原因，真正從具體走向抽象.

五、引導學生回顧反思，用數學的思維方式進行思考

1.回顧、梳理探索過程.

2.揭示密鋪的原理.

3.生活中的密鋪現象.

設計意圖：回顧反思，積累經驗，這里既包括感性的哪些圖形可以密鋪，也包括理性的密鋪的原理，既包括顯性的知識獲得，也包括隱性的思想方法，既包括個人的收獲，也包括群體的智慧，從生活現象引入，再次回到生活中去，用數學的思維方式重新觀察密鋪現象.

本節課抓住學生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生能夠積極主動參與的學習方式激發學生的興趣，有效培養學生的能力，促進學生個性的發展.本課中的大膽質疑、提出問題，結合已有的活動經驗進行猜想、動手驗證，嘗試解決問題，讓學生在不斷猜想、驗證、得出結論的過程中找到解決問題的辦法，得出原理，這不僅喚醒了學生已有的活動經驗，通過小組合作研究的形式幫助學生積累了更多的活動經驗，通過課堂上的小結反思促使學生的活動經驗拓展、延伸到了課后，還幫助學生提升了數學思維，使得學生對于幾何的學習能夠更好地思考、獲得新知，同時，本次的課堂教學也作為一個素材為學生下一次的抽象活動提供了經驗.

在整節課的教學過程中，由于經驗具有局限性，所以在強調幫助學生獲得基本活動經驗的同時，筆者也在思考如何將經驗改造為科學，而不是成為學生創新思維的絆腳石.對于學生的一些不合理的經驗，一些與數學無關的經驗，筆者更多的是給予時間，耐心等待，讓學生在數學活動中充分討論，從而獲得提升.

就像陶行知先生有過一個精辟的比喻，“接知如接枝”，意思是我們要以自己的經驗做“根”，以這個經驗所發生的知識做“枝”，知識才可以接得上去，知識才能成為我們知識的一個有機部分.因此，我們在平常的教學中要重視學生的基本活動經驗，幫助學生積累基本活動經驗，為后續的數學學習打下堅實的基礎.

【參考文獻】

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[3]鄭毓信.新數學教育哲學[M].上海：華東師范大學出版社，2015.