一類不定積分的兩種解法

胡夢薇

【摘要】本文研究了一類不定積分的兩種解法：一種是教材常用的分部積分循環解出的方法，另一種是借助于歐拉公式構造復變函數積分的新解法，并且給出了此類不定積分的計算結果.其中第二種方法具有計算簡潔的優點.

【關鍵詞】不定積分;指數函數;三角函數;歐拉公式

一、引言

在高等數學教學中，我們經常會遇到計算有關指數函數與三角函數乘積形式

∫eaxsin bxdx，ab≠0（1.1）

的不定積分，此類不定積分計算過程比較復雜，也是教學中的難點問題.鑒于此，本文給出了兩種求解方法：一種是教材中常用的分部積分循環解出的方法，另一種是利用復變函數知識，借助于歐拉公式的推廣形式，構造一個復變函數積分進行求解.

二、準備知識

定義2.1 如果自變量從初值x0變到終值x，對應的函數值由f（x0）變化到f（x），則稱x-x0為自變量的增量，f（x）-f（x0）為函數的增量，分別記作Δx，Δy，即

Δx=x-x0，或x=x0+Δx.

Δy=f（x）-f（x0）.

函數增量又可表示為

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

定義2.2 設函數y=f（x）在點x0及其領域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx時，函數有相應的增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

如果當Δx→0時，ΔyΔx的極限存在，則稱f（x）在點x0處的導數存在或者可導，這個極限值就稱為函數y=f（x）在點x0處的導數，記為y′x=x0，即

y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.（2.1）

也可以記為f ′（x0），dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

如果（2.1）式的極限不存在，則稱函數y=f（x）在點x0處導數不存在或者不可導.如果函數y=f（x）在區間（a，b）內每一點都可導，則稱函數y=f（x）在區間（a，b）內可導.這時，對于（a，b）內的每一個確定的x，都有唯一的導數值f ′（x）與之對應，所以f ′（x）也是x的函數，稱它為y=f（x）的導函數，記為

y′，f ′（x），dydx，df（x）dx.

區間（a，b）稱為函數y=f（x）的可導區間，于是導函數的定義為

f ′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

下面給出文章中用到的幾個基本初等函數的求導公式：

（1）C′=0;

（2）（ex）′=ex;

（3）（sin x）′=cos x;

（4）（cos x）′=-sin x.

定義2.3 ?設函數y=f（u）和u=φ（x），u=φ（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則通過u，y與x建立了對應關系，記為y=f[φ（x）]，稱此函數是由函數y=f（u）和u=φ（x）復合而成的復合函數，其中u稱為中間變量.

定義2.4 ?設函數y=f（x）在點x0處可導，則稱f ′（x0）Δx為函數f（x）在點x0處的微分，記作dy或df（x），即

dy=f ′（x0）Δx，

并且說函數f（x）在點x0處可微.

通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即

dx=Δx.

于是函數y=f（x）的微分又可記作

dy=f ′（x0）dx.

根據微分的定義dy=f ′（x0）dx，再由導數公式，就得到相應的微分公式，這里給出本文用到的幾個基本初等函數的微分公式：

（1）d（C）=0;

（2）d（ex）=exdx;

（3）d（sin x）=cos xdx;

（4）d（cos x）=-sin xdx.

定義2.5 設函數f（x）在某區間上有定義，如果存在一個函數F（x），使得在該區間內任意一點都有

f ′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，

則稱F（x）是f（x）在該區間內的一個原函數.

定義2.6 在區間I內，如果F（x）是f（x）的一個原函數，那么函數族F（x）+C（C為任意常數）稱為f（x）在I內的不定積分，記作

∫f（x）dx，

即∫f（x）dx=F（x）+C.

其中記號“∫”稱為積分號，f（x）稱為被積函數，f（x）dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，C稱為積分常數.

下面給出本文需要用到的有關復數域上的三個定義.

定義2.7 形如z=x+iy或z=x-iy的數，稱為復數，其中x和y是任意的實數.i滿足i2=-1，i稱為虛數單位.

定義2.8 歐拉公式

eiθ=cos θ+isin θ，

這里e是自然對數的底，i是虛數單位，它將函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關系.

定義2.9 對于任何復數z=x+iy，我們用關系式

ez=ex+iy=e（cos y+isin y）（2.2）

來定義指數函數ez.

當z的實部x=0時，就是定義2.8的歐拉公式，所以（2.2）是歐拉公式的推廣.

根據不定積分的定義和求導數的運算法則，可以得到如下不定積分的性質（假設所討論的不定積分均存在）：

性質2.1 被積函數中不為零的常數因子可提到積分號之外，即

∫kf（x）dx=k∫f（x）dxk≠0.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

性質2.2 兩個函數代數和的不定積分等于各個函數不定積分的代數和，即∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx.

下面給出文章中用到的不定積分的幾個基本公式：

（1）∫sin xdx=-cos x+C;

（2）∫cos xdx=sin x+C;

（3）∫exdx=ex+C.

（4）∫kdx=kx+C.

定理2.1 設函數u（x），v（x）在點x處可導，則函數u（x）v（x）在點x處可導，且

（u（x）v（x））′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.

簡記為

（uv）′=u′v+uv′.

定理2.2 （復合函數的微分法） 若y=f（u），u=φ（x），且φ（x）在點x處可導，f（u）在對應點u處可導，則f（φ（x））在點x處可導，且[f（φ（x））]′=f ′（u）φ′（x）.

簡記為

y′x=y′uu′x.

例如，下面兩個復合函數求導：

（eax）′=aeax; （sin bx）′=bcos bx.

計算不定積分的常用方法：

定理2.3 第一類換元積分（湊微分法）：

設∫f（u）du=F（u）+C，且u=φ（x）可微，則

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C.

定理2.4 （分部積分法）設函數u=u（x），v=v（x）具有連續的導數，由函數乘積的導數公式有

（uv）′=uv′+u′v.

兩邊取不定積分得∫（uv）′dx=∫uv′dx+∫u′vdx.

移項得∫uv′dx=uv-∫u′vdx，

或

∫udv=uv-∫vdu.

上述公式叫作分部積分公式.

三、問題解決的兩種方法

方法一：使用分部積分循環解出法.

∫eaxsin bxdx，ab≠0

=1a∫sin bxdeax

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxd（eax）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

移項，得

1+b2a2∫eaxsin bxdx=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx，

則有

∫eaxsin bxdx=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

因為不定積分代表全體原函數，循環解出時，特別注意要加上任意常數C. 可以看出，此法比較煩瑣，并且容易出現計算錯誤，需要尋找更簡潔的方法.由于受到相關文章的構造復變函數思想的啟發，給出下面的第二種解法.

方法二：構造復變函數積分

∫eaxcos bxdx+i∫eaxsin bxdx

=∫eax（cos bx+isin bx）dx

=∫eax+bixdx

=1a+bie（a+bi）x+C

=a-bia2+b2eaxcos bx+isin bx+C

=1a2+b2eax[（acos bx+bsin bx）+（asin bx-bcos bx）i]+C.

等號兩端比較虛部得

∫eaxsin bxdx

=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

此方法的解題步驟總結如下：

（1）構造一個復變函數積分;

（2）使用不定積分的性質和定義2.7的有關公式，解出不定積分;

（3）比較式子等號兩端的虛部，得到所求的結果.

下面舉例說明.

例如 求∫e-3xsin 6xdx.

方法一：分部積分循環解出法

解 ∫e-3xsin 6xdx.

=1-3∫sin 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x+2∫e-3xcos 6xdx

=1-3e-3xsin 6x-23∫cos 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x-4∫e-3xsin 6xdx，

移項，得

5∫e-3xsin 6xdx=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x，

則有

∫e-3xsin 6xdx

=1-15e-3xsin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

方法二：構造復變函數積分

∫e-3xcos 6xdx+i∫e-3xsin 6xdx

=∫e-3x（cos 6x+isin 6x）dx

=∫e-3x+6ixdx

=1-3+6ie（-3+6i）x+C

=-1-2i15e-3x（cos 6x+isin 6x）+C

=115e-3x[（-3cos 6x+6sin 6x）-2（3sin 6x+6cos 6x）i]+C.

等號兩端比較虛部得

∫e-3xsin 6xdx

=-e-3x15sin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

比較上面兩種做法，可以得到：第一種方法，使用分部積分法來循環解題，在選擇被積函數的部分形式湊微分以及使用分部積分公式時，計算過程比較煩瑣，容易出錯;第二種使用構造復變函數進行求不定積分的方法思路簡單清晰，只須構造復變函數，分解得出其實部和虛部，然后即能比較虛部得出結果.

四、結束語

本文完整、詳細地研究了不定積分（1.1）式的兩種計算形式，通過對比可以看出，使用復變函數方法計算更為簡潔，避免了多次使用分部積分法的煩瑣過程.另外，此題的結果可以作為一個通項公式來用，能夠提高此類題目的解題效率.

【參考文獻】

[1]盛祥耀.高等數學：第4版[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]陶煌.高等數學[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]鐘玉泉.復變函數論：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]余家榮.復變函數：第5版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[5]陸光洲.一類函數不定積分的另一種求法[J]. 高等數學研究，2014（6）：36-37，40.

[6]郭國安，宋洪雪.一類不定積分的復變函數解法[J]. 高等數學研究，2017，20（3）：51-54.

[7]郭鵬云，云文在，田強，等.不定積分解法研究[J].大學數學，2012（3）：149-153.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE