三角形的內角和為什么等于180°

李迎新

在小學的時候我們就已經知道三角形的內角和是180°（如圖1）。但是，還記得那時我們是如何說明的嗎？

肯定有同學想起來了：用量角器去量一量各個內角，然后把三個內角加起來就可以了。

當然，還有同學可能會想到拼接的辦法。如圖2所示，我們將三角形的三個內角撕下來，拼接到一起，通過觀察、測量，發現三角形的內角和是180°。這種方法，我們稱之為合情推理。

所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的、似乎為真的推理。它是根據已有的數學事實和正確的數學結論，或以個人的數學經驗（數學實驗或實踐）和數學直觀進行推測而得到某些結果的一種推理，通過觀察、實驗、歸納、類比、從特殊到一般等方法，憑直觀、直覺或聯想直接獲得某種數學結論。

當然，不論是度量，還是拼接，我們會發現，在實際動手操作過程中，可能會存在誤差，導致我們的結果不盡如人意。

那么，學習了本章之后，大家對“三角形的內角和為什么是180°”這個結論，是否有了新的證明方法？

蘇科版教材第153頁就為我們提供了一種證明的方法：添加平行線，根據兩條直線平行得到內錯角相等和同位角相等，完成三角形內角和的證明（詳見教材）。這種證明的方法，我們稱之為演繹推理（或論證推理）。

所謂演繹推理，就是從一般性的前提出發，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結論的過程。

這種推理方法也是同學們在后續學習平面幾何證明時常常要用到的方法。演繹推理一般包含三個部分：條件、結論和依據。

現在我們回到剛剛的話題“三角形的內角和為什么是180°”。在課下，有的同學學習了教材上的證明方法之后，想出了其他不同的證明方法。我們一起來看一看吧。

方法一：類比教材中的輔助線作法，如圖3，直接過點A作一條與BC平行的直線DE，根據“兩直線平行，內錯角相等”，得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再利用“平角為180°”證明即可。

方法二：如圖4，過點A作AD∥BC，根據“兩直線平行，內錯角相等”，得到∠C=∠DAC，再根據“兩直線平行，同旁內角互補”，得到∠DAB+∠B=180°，從而得到三角形的內角和為180°。

我們可以從剛剛的兩種證明方法中看到，如果想證明三角形的內角和等于180°，那么，我們可以利用平角是180°，或者利用兩條直線平行，得到同旁內角互補來進行轉化。

同學們，看到這，你們是不是還想到了其他的證明方法？快寫下來，與老師和其他同學一起分享吧。

（作者單位：江蘇省蘇州外國語學校）