證明：一種不可或缺的理性精神

王憲成

生活中，我們有時憑借已有經(jīng)驗做出的判斷并不一定正確。比如，某位運動員在歷次體育比賽中一直名列前茅，小明就說，這位運動員在接下來的體育比賽中一定能拿金牌。顯然，這樣的判斷只是預(yù)測，沒有經(jīng)過證實，結(jié)論不一定成立。再比如，我們在裝有一定量水的杯子里斜插一根筷子，發(fā)現(xiàn)杯子里的筷子被“折斷”了，而事實上，筷子并沒有斷。所以，有時眼見也不一定為實。這些都能讓我們感受到證明的重要性。

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們知道了許多數(shù)學(xué)知識，也經(jīng)歷了觀察、實驗、歸納、類比等活動，用“合情推理”的方式探索了許多結(jié)論，如圓的面積公式，三角形內(nèi)角和等于180°，周長一定的長方形當(dāng)長等于寬的時候面積最大，等等。但這些結(jié)論一定正確嗎？如何說明這些結(jié)論的正確性呢？看來證明在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中也是必不可少的。

一、關(guān)于“證明”的幾個概念

人們在說理的時候，常常使用一些名稱或術(shù)語。對名稱或術(shù)語的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定，就是給它們下定義。如“能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值”就是“方程的解”的定義。我們還常常要判斷事物的對與錯、是與非、可能與不可能等。判斷一件事情的句子叫作命題。如“等角的余角相等”，這就是作出一個判斷，是一個命題。正確的命題叫作真命題，錯誤的命題叫作假命題。

在前面的學(xué)習(xí)過程中，我們曾把一些真命題作為基本事實。從基本事實、確定的規(guī)則等出發(fā)證實某個命題真實性的過程就叫作證明。經(jīng)過證明的真命題叫作定理。由一個定理直接推出的正確結(jié)論叫作這個定理的推論。如“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”是三角形內(nèi)角和定理的推論。

二、“證明”的途徑、方法

觀察、操作、實驗往往是我們研究問題的重要手段。通過觀察、操作、實驗，我們會發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，但所得的結(jié)論一定正確嗎？答案是不一定。因此，我們要對結(jié)論加以證明。證明過程通常包含幾個推理，每個推理應(yīng)包括因、果以及由因得果的依據(jù)。其中，“因”是已知事項的條件;“果”是推得的結(jié)論;“由因得果的依據(jù)”是基本事實、定義、已經(jīng)學(xué)過的定理以及等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等。下面，我們看幾道具體題目。

問題1 在圖1中，兩條線段AB與CD，哪一條長一些？

看上去，線段AB似乎比線段CD長。但這個觀察結(jié)果正確嗎？怎么證明其正確性呢？我們可以通過度量線段AB和線段CD的長度來證實。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，線段CD比線段AB長。

問題2 任意取數(shù)值a、b，對于代數(shù)式a2+b2+2a-4b+6的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

有的同學(xué)代入了幾個值，發(fā)現(xiàn)得到的代數(shù)式的值總是大于或等于1。但可以直接說，對于任意的a、b，代數(shù)式a2+b2+2a-4b+6的值都不小于1嗎？不可以。我們要對其進(jìn)行證明。怎么證明呢？我們要尋找“因”，即尋找題目中的條件。本題條件中，有代數(shù)式a2+b2+2a-4b+6，我們就試試能否由這個“因”推出“果”。因為a2+b2+2a-4b+6=a2+2a+1+b2-4b+4+1=（a+1）2+（b-2）2+1，而（a+1）2≥0，（b-2）2≥0，所以（a+1）2+（b-2）2+1≥1。這樣就證明了結(jié)論。

問題3 如圖2，AC、BD相交于點O。求證：∠A+∠B=∠C+∠D。

本題中，由∠A、∠B、∠C、∠D所在的三角形，自然想到“三角形內(nèi)角和定理”，即在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°;在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°。所以∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD。∠AOB與∠COD又有什么關(guān)系呢？此時，同學(xué)們是不是會證明∠A+∠B=∠C+∠D了？

請同學(xué)們再想一想問題3，有沒有其他方法？仔細(xì)觀察圖形，你有沒有發(fā)現(xiàn)：∠A+∠B等于圖中哪個角呢？∠C+∠D又等于圖中哪個角呢？這兩個角是同一個角嗎？你能寫出完整的證明過程嗎？請同學(xué)們自己試一試，也可以與老師或同學(xué)進(jìn)行交流。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）