追本溯源，回歸本質

魏新玉 楊田田 魏佳

◆摘要：數學史是學生學習數學的重要工具。在數學課堂中適當融入數學史，能向學生清楚地闡述數學的歷史，揭示數學規律。本文借鑒了有關圓面積的數學史知識，分別從學生認知、思維和能力的角度，結合六年級學生學習特點，以“圓的面積”一課為例，為教師提供教學設計思路，展現數學史的魅力。

◆關鍵詞：圓的面積;數學史;轉化

一、研究背景

六年級學生具有一定的轉化和類比推理能力，圓的面積這一節課是在學生已經有了一定的關于圖形的周長和面積計算的學習基礎之上進行的，如長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形。既是學生初步研究曲線圖形面積的開始，也是為后面學習圓柱、圓錐等知識打好基礎。本節課結合數學史的教學設計，通過學生動手剪拼，體驗“化曲為直”。

二、學情分析

（一）從學生認知角度

從學習一維點和線到學習二維的面，學生總是接觸到直線圖的面積，而對圓的曲線圖的面積感到困惑。但以往在平面圖形領域學習的轉化思想是明確的，如將平行四邊形變換為學過的長方形再求其面積等。

在本課程中，在尋找圓面積公式時，老師沒有向學生灌輸S=πr2，但學生們能夠自行利用“轉化”的思想，將圓運用已學知識轉化成平行四邊形、長方形等。通過學生動手操作剪切和拼接，交流、探討其中的關系，從而推導出圓面積的計算公式。

（二）從學生思維角度

在學生已經具備轉化和類比推理能力的情況下，難點并不在“轉化”，而在于應該如何轉化，這成為了學生的困惑。因此，在利用轉化和類比推理的基礎上，有必要與動手操作結合起來。

在實際的生活情境中，不僅能夠激發學生參與課堂、融入課堂的興趣，也為后續的學習奠定了基礎。

（三）從學生能力角度

本課緊扣教學重點，讓學生自主操作和總結，通過自由裁剪、拼接，將圓形面積通過等積變形轉化為其他平面圖形，推導出圓形面積的計算公式。這種多角度的思考激發了學生對知識的探索欲，也成為新舊知識之間的聯系。

三、教學過程

（一）情境導入，引發思考

【問題情境】

（課件呈現）學校想要建一個半徑為10m的新的圓形草坪，想在草坪邊緣立樁，在里面種草。如果每2m打入一根木樁，應打入多少根木樁？如果草是每平方米10元，種草要多少錢？如圖1

師：同學們能幫忙解決這個問題嗎？

引導學生思考：想要秋應打入多少根木樁，需要先知道什么？怎樣計算？要求種草花多少錢，又是在求什么？

[預設學生活動：學生經過思考不難發現：要求木樁的數量實際是求圓的周長，植草花費的金額需要先知道圓的面積，而學生還不能解決這個問題。]

師：圓的周長我們會算，圓的面積大家會算嗎？

[預設學生活動：學生并不會算圓的面積，帶有迷惑。]

【引入課題】

師：什么是圓的面積呢？應該如何計算呢？這節課，就讓我們共同來研究圓的面積，只要我們認真學習，就能夠解決這個問題。

（二）自主合作，探究新知

【直觀感知，認識圓的面積】

請同學們拿出課前準備好的圓形卡紙，摸一摸，指出哪部分是圓的周長？

師：再親自感受一下，和同桌說一說，哪部分是圓的面積？

[預設學生活動：拿出圓形卡片，摸一摸，與同桌交流，哪部分是面積，哪部分是周長。]

課件動態演示圓的周長（紅色部分），然后在內部填充顏色（綠色部分）表示圓的面積。如圖2。

【合作實踐，了解測量方法】

引導學生思考、研究圓的面積的方法。

師：你能不能想出一個好的辦法來測量圓的面積？

[預設學生活動：交流、討論，想到可以在圓內畫正方形或是數方格的方法來估計圓的面積。]

結合學生操作以及課件演示，學生發現數方格雖有道理，但有一定的局限性，也不夠精確。

師：在實際生活中，我們往往要算出一個精確的結果，有沒有一種既簡便而又能準確地計算圓面積的方法呢？

【動手探索，推導公式】

（1）引導轉化，滲透方法

師：以前我們學過哪些平面圖形面積公式？當時是用什么樣的方法推導出它們的公式呢？

課件動態演示學生匯報的方法。如圖3

[預設學生活動：學生回憶以往學習過的求圖形面積公式時所采用的的方法，交流匯報：①割補法;②合拼法;③合拼法。]

（2）動手操作，體驗感知

師：想想看，能不能把圓轉化成已經學過的圖形來得出它的面積公式呢？請拿出課前準備好的學具，試一試，怎么剪和拼？

[預設學生活動：學生還是應該很難剪拼出來，這時教師及時引導學生可以沿半徑或直徑把圓等分剪拼。如有拼出來的，就請其說說剪拼的方法，并上展示臺投影展示。]

師生共同研究、探討如何剪拼。

操作活動一：

師：如果我們把這個圓16等分，又會拼成一個什么圖形呢？

學生猜想、回答后，教師用教具演示。

師：想一想，如果我們繼續，把圓再細分成更多的份數：32等分、128等分，拼成的圖形會更接近什么圖形？

[預設學生活動：通過直觀演示把圓4等分、8等分、16等分……學生會容易發現：拼成的圖形會越來越接近平行四邊形。]

結合課件直觀演示把圓分成64等份、128等份，轉化成近似平行四邊形形的過程。如圖4

引導學生在小組內交流：有什么發現？

[預設學生活動：學生在觀察、思考的過程中發現：圓等分的份數越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。]

【交流討論，引導發現】

師：仔細觀察剪拼成的平行四邊形，結合手中的學具，思考以下兩個問題：

●拼成的平行四邊形的面積與圓的面積有什么關系？

●拼成的平行四邊形的底和高與圓的周長和半徑有什么關系？

[預設學生活動：在學生認真觀察、交流討論后，匯報發現：1.剪拼前后，圖形的面積不變。2.轉化后，平行四邊形的底相當于圓周長的一半：πr，高相當于圓的半徑：r。如圖5]

結合學生回答，進行板書。

師：雖然圓的外表發生了變化，但面積未更改。無論如何拼和小扇形，圓的面積保持不變，即出入相補原理（無論圖形移動到何處以及如何剪切，拼接圖形的面積將等于原始圖形的面積）。

【順理成章，推導公式】

師：通過剛才的觀察可知，拼成的平行四邊形的面積與圓的面積相等，那么，如屏幕所見。同學們思考，平行四邊形的面積又可以寫成什么？

師：因為拼成的平行四邊形的面積等于原來圓的面積，所以圓的面積等于？

[預設學生活動：學生動腦思考、交流后發現，圓的面積=平行四邊形的面積=圓周長的一半×半徑。]

師：如果S表示圓的面積，r表示圓的半徑，圓的面積公式用字母可以怎樣表示？

[預設學生活動：學生根據長方形的面積公式，推導出圓的面積公式為S=πr2。發現圓的面積和半徑有關。]

根據學生回答進行課件演示，并板書：S=πr×r=πr2。

強調：r2=r×r，表示兩個r相乘，讀作：r的平方。

（三）問題解決，提升素養

1.再次回到課前導入新課的問題，引導學生交流、解答。（如圖7）

[預設學生活動：學生利用本節課剛推導出的圓的面積計算公式，解答課前未能解決的問題，獲得成功的喜悅。]

2.出示噴灌裝置圖。（如圖8）

師：同學們，這是生活中常用到的一種旋轉噴灌裝置，大家仔細觀察，這其中藏著什么奧秘？

引導學生思考：若該噴灌裝置的射程是15米。它能噴灌的面積是多少？（射程相當于圓的半徑。）

3.出示馬兒的困惑。（如圖9）

提出問題：拴在樹上的馬兒，繩子長為3米，它能吃到草的面積最多是多少呢？

[預設學生活動：學生觀察課件圖片思考，不管是噴灌的面積還是馬吃草的面積，其實都是想要求出圓的面積。]

（四）探尋歷史，追本溯源

請同學們課后去查閱資料，看看這“1800字”到底藏了些什么秘密呢？

[預設學生活動：學生對“1800字”留有好奇之心，為課下探索做鋪墊。]

（五）回顧總結，反饋評價

師：同學們，今天我們學了什么知識？是怎樣學習的？你有什么收獲和感受嗎？整節課滲透了哪些數學思想方法？了解了那幾位偉大的數學家？

[預設學生活動：學生思考回顧，踴躍分享本節課的收獲和感受，總結數學“化曲為直”、極限思想、出入相補原理等……對本課的知識進行回顧和整理。]

教師與學生一起回顧本節課學到的數學知識、解決問題的思想方法。根據學生回答，給予正面評價及適當鼓勵。

四、結束語

從生活情境入手，到提出問題，探索研究的方向與方法，引導學生推導出公式，教師在課堂上發揮的角色只是組織者和指導者，并在適當的時機進行點撥、引導。不僅能夠培養學生的空間想象力，又可以發展學生的邏輯思維推理能力。結合數學史融入數學教學，滲透教學過程，使得所學知識有跡可循，有理可依。

課程結束設置懸念，留給學生課下閱讀、探索數學史的空間。學生自我評價學習的收獲及感受，可以對本課的知識進行回顧整理，培養學生歸納、總結知識的能力，學生的情感態度在課堂上得到表現，有助于學生充分認識自我，建立學習的自信心，增強學生動手能力，切實體會數學圖形之美。

參考文獻

[1]顧東春.開普勒與葡萄酒[J].課外生活：小學版，2007（03）.

[2]彭剛.出入相補原理及其應用[J].四川教育學院學報，2009，25（04）：108-109+112.