變形對雙側鰭線傳輸特性影響的數值計算

孫 海

(樂山師范學院 數理學院，四川 樂山 614000)

0 引言

鰭線作為一種新型毫米波段的傳輸線，和微帶線相比，因為具有較長的主模截止波長和單模帶寬、衰減和損耗較小、色散較弱和固體器件連接容易等特點，在混頻器、濾波器和諧振器等微波器件中被大量使用。自1977年Saad等[1]研究對脊鰭線以來，學術界對其研究一直處于較熱狀態， Beyer[2]使用模式匹配法研究了接地鰭線的特性阻抗和單模帶寬。Sharma 等[3]討論了鰭線設計的經驗公式。Zheng等[4]使用了多級理論分析了鰭線的傳輸特性。但是，在計算非均勻波導結構的傳輸特性時，全波分析比其他任何方法都能提供更高的精度，因此有限元法和基于邊緣的有限元法得到了廣泛的應用。Lu等[5]使用了節點有限元方法對鰭線主模電場模式進行了計算。孫海等[6-8]使用有限元法計算了單側鰭線和對脊鰭線的部分傳輸特性。以上討論和計算極大地豐富了鰭線的應用。

實際使用過程中，任何器件都可能出現模型某個區域的變形，鰭線也不例外。鰭線的幾何模型變形勢必引起其傳輸特性的改變，故對變形鰭線傳輸特性的討論具有較大的意義。關于變形傳輸線特性的計算問題，最早來源于國內蘭州交通大學逯邁、陳小強教授課題組，使用節點有限元方法集中研究了均勻傳輸線變形對其傳輸特性的影響，如變形矩形、圓形、梯形、三角形等脊波導和雙脊波導[9-17]的傳輸特性變化，關于非均勻變形傳輸線傳輸特性改變的研究尚沒有涉及，而非均勻傳輸線由于填充介質的不均勻性導致在分析和計算過程中具有一定的難度，加之非均勻傳輸線的應用更加廣泛，故本文首先從理論上詳細推導了非均勻傳輸線傳輸特性計算的基于磁場為工作變量的矢量有限元公式，然后運用推導的公式詳細地計算了變形雙側鰭線主模歸一化截止波長、單模帶寬和電場結構等傳輸特性，得出了模型變形對雙側鰭線傳輸特性影響的一些較為重要的結論。

1 原理

本文首先給出了變形前、后雙側鰭線的橫截面示意圖，如圖1所示。

(a) 雙側鰭線

(b) 變形雙側鰭線圖1 未變形和變形雙側鰭線的橫截面示意Fig.1 Schematic diagrams of cross sections of undeformed and deformed bilateral finlines

圖1中的白色部分為真空區域，介電常數為ε0，而網狀部分為填充介質區域，介電常數為εr，黑色部分為鰭，模型邊界、填充區域和鰭位置、大小由符號a，b，s，t1，t2，d1，d2表示，區域邊界變形的幅度由σ1～σ8表示。

根據Maxwell方程，雙側鰭線中電場E與磁場H應滿足以下矢量微分方程：

(1)

式中ε0，μ0，εr，μr分別表示真空的介電常數、真空的磁導率、填充介質的相對介電常數和填充介質的相對磁導率。對雙側鰭線主模截止波長、單模帶寬和電場結構的計算，需要建立基于磁場為工作變量的泛函矢量公式。由式(1)可以得到基于磁場H的矢量Helmholtz方程為：

(2)

(3)

(4)

式中，Γ1和Γ2分別代表導電壁和導磁壁。在計算過程中，實際波導的邊界只有導電壁Γ1，故磁場滿足的邊界條件為式(3)。經過詳細理論推導，上述問題等效于如下變分問題(要求εr和μr為實數)：

δF(H)=0，

(5)

式中，

(6)

由矢量有限元離散可以得到矩陣特征值方程：

(7)

式中，各矩陣元素分別為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

對模型進行整體標記可得：

(14)

使用里茲方法進行變分，可得如下方程：

(15)

合成可得特征值方程：

(16)

式(16)即為計算雙側鰭線傳輸特性的矢量有限元公式。在計算過程中，給出β的取值，就可以求解這個方程，從而得到相應的特征值。具體為可通過求解的最小非負特征值得到主模歸一化截止波長特性，將最小非負特征值和第二最小非負特征值做比便可求出單模帶寬特性，最后根據各個特征值所對應的特征向量可以得到各個模次的電場結構分布圖。

2 結果和分析

2.1 方法驗證

為了驗證本文推導的基于磁場為工作變量的矢量有限元公式的正確性和有效性，首先使用該方法計算了單側鰭線的主模歸一化截止波長，計算時假設單側鰭線的尺寸為b/a=0.5，d/b=0.25，t/a=0.01，計算結果如表1所示。由表1可以看出，其相對誤差均在2%之內，說明本文所推導的方法是可行的。

表1 單側鰭線模型的計算結果對照

利用上述方法計算變形對雙側鰭線主模歸一化截止波長、單模帶寬和場結構的影響。在計算過程中，假設εr=2.55，b/a=0.5，填充的介質區域位于模型最中間，s/a=0.3，d1/a=0.25，d2/a=0.05，t1/a=0.01，t2/a=0.05，雙側鰭線橫截面幾何變形幅度由σ1/a，σ2/a，σ3/a，σ4/a，σ5/a，σ6/a，σ7/a，σ8/a表示，其變形范圍設定為0.01～0.05。

2.2 變形對雙側鰭線主模歸一化截止波長和單模帶寬的影響計算

通過計算，雙側鰭線不變形時，其主模歸一化截止波長和單模帶寬值分別為3.108 9和1.893 9。雙側鰭線在使用過程中，可能出現σ1/a，σ2/a，σ3/a，σ4/a，σ5/a，σ6/a，σ7/a，σ8/a中的任意一個或者任意幾個變形，限于篇幅，本文著重計算了上述8個中的任意一個、任意2個及任意7個和8個同時出現變形對雙側鰭線主模歸一化截止波長和單模帶寬的影響，其他變化情況可以仿照計算。主模歸一化截止波長和單模帶寬隨任意一個σi/a變化而引起的變化趨勢如圖2所示，隨任意2個σi/a變化而引起的變化趨勢如圖3所示，隨任意7個和8個σi/a變化而引起的變化趨勢分別如圖4和圖5所示。

(a) 主模歸一化截止波長變化規律

(b) 單模帶寬變化規律

(a) 主模歸一化截止波長變化規律

(b) 單模帶寬變化規律

(a) 主模歸一化截止波長變化規律

(a) 主模歸一化截止波長變化規律

(b) 單模帶寬變化規律

2.3 變形對雙側鰭線電場結構的影響計算

本節主要計算雙側鰭線主模、第1高次模、第2高次模和第3高次模的電場結構隨σ1/a，σ2/a，σ3/a，σ4/a，σ5/a，σ6/a，σ7/a，σ8/a中的任意3個改變和8個同時改變而引起的改變，如圖6和圖7所示。為敘述方便和避免重復，每一行4個圖形分別對應主模場結構、第1高次模場結構、第2高次模場結構和第3高次模場結構。

(a) 未變形雙側鰭線

(b) 變形雙側鰭線σ2/a=σ3/a=σ4/a=0.05

(c) 變形雙側鰭線σ3/a=σ4/a=σ5/a=0.05

(d) 變形雙側鰭線σ6/a=σ7/a=σ8/a=0.05圖6 雙側鰭線的4種模式電場結構隨相鄰3個σi/a變化而引起的變化情況Fig.6 The variation of field patterns of four modes in bilateral finline with the change of three adjacent σi/a

圖7 雙側鰭線的4種模式電場結構隨8個σi/a變化而引起的變化情況(σ1/a=σ2/a=σ3/a=σ4/a=σ5/a=σ6/a=σ7/a=σ8/a=0.05)Fig.7 The variation of field patterns of four modes in bilateral finline with the change of eight σi/a

3 結束語

通過分析，可以得出變形對雙側鰭線的主模歸一化截止波長、單模帶寬和4種模式場結構影響的以下結論：

① 相比于不變形，當變形出現在真空區域邊界時，其主模歸一化截止波長和單模帶寬均減小；而變形出現在加載區域的邊界時，其主模歸一化截止波長和單模帶寬均增加；

② 絕大多數情形的主模歸一化截止波長和單模帶寬隨σi/a的增大呈減小趨勢；但也有例外情形，詳細為：主模歸一化截止波長和單模帶寬隨σ3/a(或σ7/a)增大而增大；主模歸一化截止波長隨σ3,7/a增大而增大，單模帶寬隨σ2,3/a,σ3,4/a(或σ6,7/a)的增大變化不大；當7個σi/a增大時，主模歸一化截止波長均減小，而單模帶寬隨σ1,2,3,4,5,6,8/a(或σ1,2,4,5,6,7,8/a)增大而減小，其余情形隨變形幅度增大而增大；

③ 分析上述例外情形，均包含了加載區域的變形(σ3/a，σ7/a)，說明加載區域的變形對雙側鰭線的主模歸一化截止波長和單模帶寬的影響較大;

④ 雙側鰭線變形后，4種模式的電場線在變形弧度較大區域出現較為集中的現象；

⑤ 相對于真空區域，介質加載區域的變形對電場結構的影響更大，尤其是對第1高次模和第2高次模的影響；

⑥σ1/a,σ5/a的變化對4種模式場結構的影響較小；

⑦ 未發生變形模型區域，4種模式電場結構整體上與整體模型不變形時大致一樣，說明場結構變化主要集中在變形區域附近；

⑧ 8個模型邊界均發生變形，雙側鰭線4種模式場結構與未變形時整體分布相似。

綜上，本文推導的矢量有限元計算公式可以進一步豐富和完善非均勻傳輸線傳輸特性的計算方法，對變形雙側鰭線傳輸特性的計算結果和結論可作為鰭線在新型微波和毫米波器件中使用時的一些參考。