一類重心權Hermite有理插值的二階導數收斂性

康寧，荊科

（1.南京財經大學經濟學院，江蘇 南京 210023； 2.南京財經大學應用數學學院，江蘇 南京 210023）

一類重心權Hermite有理插值的二階導數收斂性

康寧1，荊科2

（1.南京財經大學經濟學院，江蘇 南京 210023； 2.南京財經大學應用數學學院，江蘇 南京 210023）

研究了一類特殊情形的重心權Hermite有理插值，證明了該插值函數的二階導數在插值節點和非插值節點處分別以和的速度收斂于函數。數值例子進一步驗證了方法的有效性。

重心權有理插值；Hermite插值；收斂速度；二階導數

0 引言

并給出了插值函數在插值區間內無極點的必要條件和具有重心權形式的充分條件，遺憾的是，該插值方法雖然解決了計算復雜性問題，但逼近誤差可能較大。為解決重心權Hermite有理插值在實數范圍內無極點以及收斂性問題，文獻［3］給出了一種Hermite有理插值的Newton形式。文獻［5-7］提出了一種重心權Hermite有理插值的迭代構造方法，并研究了度量數值穩定性的Lebesgue常數性質。文獻［8］針對一類特殊情形的Hermite插值，證明了的收斂速度為，并給出了具有較高數值穩定性和較低計算復雜度的重心權函數式：

上述研究結果極大地豐富了重心權Hermite有理插值的理論方法，但研究重點集中在重心權Hermite有理插值函數及其一階導數的收斂性上。鑒于此，本文進一步探討文獻［8］中的重心權Hermite有理插值，并證明重心權Hermite有理插值的二階導數同樣具有高階收斂性質，以豐富已有研究成果。

1 收斂性質

由文獻［9］Hermite多項式插值的誤差公式：

得到式（2）的重心權Hermite有理插值的誤差估計：

為解決式（3）的極限問題，定義函數：

另外，由文獻［10-11］中擬等距節點的定義，有

其次，將式（8）分為4項：

依次證明各項的收斂性質。

其中，

又因文獻［8］式（3.10）已獲證

同理，

其中，

然后，對i賦值，可得

同理，

最后，與式（11）類似，可得

同理，

綜上，定理2得證。

2 數值例子

采用Matlab軟件進一步驗證重心權Hermite有理插值的二階導數收斂性質，并將其應用于2個經典的函數實例，見表1。

表1 函數、參數和插值節點Table 1 Functions ， parameters ， and interpolation nodes

表1 函數、參數和插值節點Table 1 Functions ， parameters ， and interpolation nodes

實驗函數參數插值區間插值節點xi12

表2 逼近誤差和收斂階Table 2 Approximation errors and convergence orders

圖1 實驗1中重心權Hermite有理插值的二階導數曲線Fig.1 Plot of the second derivatives of barycentric Hermite rational interpolation in experiment 1

圖2 實驗2中重心權Hermite有理插值的二階導數曲線Fig.2 Plot of the second derivatives of barycentric Hermite rational interpolation in experiment 2

由表2及圖1、圖2可知，重心權Hermite有理插值的二階導數的數值逼近誤差及收斂階支持定理1和定理2，進一步驗證了本文方法的有效性。

3 結論

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Convergence of second derivative of a family of barycentric Hermite rational interpolants

KANG Ning1, JING Ke2

（1. School of Economics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing210023，China；2. School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing210023，China）

In this paper, we further study a family of barycentric Hermite rational interpolants in a special caseand prove that the second derivativesof interpolation function converges to corresponding functionat the rate ofandat interpolation nodes and non-interpolation nodes, respectively. Finally, numerical examples further verify the effectiveness of the method.

barycentric rational interpolation; Hermite interpolation; convergence rates; second derivatives

O 241.3

A

1008?9497（2022）03?324?05

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.009

2021?04?06.

國家自然科學基金資助項目（11601224）；教育部人文社科項目（18YJC790069）；江蘇省高等學校自然科學研究項目（18KJD110007）；國家統計局項目（2018LY28）.

康寧（1986—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-2905-6193，女，博士，副教授，主要從事應用數值逼近、統計計算研究，E-mail：9120171058@nufe.edu.cn.