一類雙擴散對流方程組的解對Lewis系數的連續依賴性研究

王澤

（廣東金融學院 互聯網金融與信息工程學院，廣東 廣州 510521）

一類雙擴散對流方程組的解對Lewis系數的連續依賴性研究

王澤

（廣東金融學院 互聯網金融與信息工程學院，廣東 廣州 510521）

研究了有界區域內多孔介質中一類雙擴散擾動模型的解的結構穩定性。首先得到了一些有用的先驗估計，然后利用這些先驗估計構建了解的差所滿足的一階微分不等式，最后通過積分該微分不等式，建立了解對Lewis系數的連續依賴性結果。該結果表明，用雙擴散擾動模型描述多孔介質中的流體流動是準確的。

雙擴散對流方程組；連續依賴性；Rayleigh系數；Lewis系數

0 引言

結構穩定性是指模型本身的穩定性。傳統的穩定性研究主要針對初始數據的連續依賴性，而實際上方程系數、方程組本身以及邊界數據的變化對解的影響很大。文獻［1］詳細介紹了結構穩定性的本質。本文旨在通過對結構穩定性的研究幫助理解模型（或方程組）在物理中的適用性。在實際建模過程中，數據的測量和計算都不可避免存在誤差，誤差時刻存在，若一個微小的誤差導致解急劇變化，說明方程組是不穩定的，用該方程組反映物理性質亦是不準確的。因此，結構穩定性的研究對物理建模至關重要。

多孔介質在現實生活中廣泛存在，很多物質都由多孔介質材料制作而成。對多孔介質中流體方程組解的性態研究已成為數學與力學領域的熱點問題。已有結果主要集中在Brinkman，Darcy和Forchheimer方程組。NIELD等［2］和STRAUGHAN［3］對這些方程組進行了廣泛討論。PAYNE等［4］討論了Brinkman，Darcy，Forchheimer和其他多孔介質方程的Saint-Venant原則，主要研究了多孔介質中流體方程組的空間衰減估計結果。FRANCHI等［5］、PAYNE等［6］、LIN等［7］研究了多孔介質中流體方程組的結構穩定性，近年來，取得了一些新結果［8-21］。雙擴散對流問題在現實生活中應用廣泛，相關研究可見文獻［22-23］。本文將繼續研究這類雙擴散對流問題，研究其解的穩定性問題，所討論的方程組含速度、壓力、溫度以及濃度擾動。有關這類方程組的詳細介紹可參見文獻［3，24-25］。

下文所用符號約定如下：

初始條件為

下文安排如下：首先得到一些有用的先驗估計，接著借助這些先驗估計，構建解的差所滿足的微分不等式，通過積分該不等式得到需要的結構穩定性結果。有關雙擴散擾動模型的結構穩定性的研究，目前尚無文獻涉及。由于溫度滿足的方程與Brinkman，Forchheimer及Darcy類方程組不同，導致無法估計溫度最大值。同時由于速度方程組不含拉普拉斯項，使得速度的梯度估計難度加大。所給的溫度與濃度擾動的邊界條件為Robin邊界，此時與均為正常數，如何處理邊界項是一大難點。本文通過其他估計較好地解決了這些問題。

1 先驗估計

為得到結論，需要以下引理。

對式（6）利用Schwarz不等式，可得

由式（7），即可得到式（4）。

證明 對于梯度，有恒等式

對于式（15）右邊第2項，由散度定理、式（2）和式（4），可得

聯合式（15）和式（16），可得

令

則

對于式（19），由Gronwall不等式，可得

將式（20）代入式（17），可得

將式（20）代入式（18），可得

令

則

由Gronwall不等式，可得

將式（26）和式（20）代入式（8），可得

證明 利用文獻［27］的結果，有

邊界條件為

初始條件為

定理1可分解為以下5個引理進行證明。

引理6得證。

對于式（42）右邊第2項，由散度定理和式（36），可得

對于式（42）右邊第3項，由散度定理和式（36），可得

對于式（42）右邊第4項，由散度定理和式（36），可得

聯合式（42）～式（45），可得

對于式（49）右邊第2項，由散度定理和式（36），可得

聯合式（49）和式（50），并由H?lder不等式，可得

證明 聯合式（40）、式（41）、式（48）和式（53），可得

令

則有

由Gronwall不等式，可得

定理1得證。

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Continuous dependence of solutions of a class of double diffusion convection equations on Lewis coefficients

WANG Ze

（School of Internet Finance and Information Engineering，Guangdong University of Finance，Guangzhou510521，China）

This paper studies the structural stability for solutions of a double diffusion perturbation model in porous medium in a bounded domain. We firstly obtain some useful a priori estimates. Using these a priori estimates, we then formulate a first order differential inequality that the solution satisfies. Finally, by integrating the inequality, we get the result of continuous dependence for the solutions on the Lewis coefficient. This result shows that it is accurate for the double diffusion perturbation model to be used to describe the flow in porous media.

double diffusion convection equations; continuous dependence; Rayleigh coefficient; Lewis coefficient

O 175

A

1008?9497（2022）03?300?08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

2020?06?22.

廣州市科技計劃項目（201707010126）.

王澤（1969—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-5208-5059，男，碩士，副教授，主要從事數據挖掘、人工智能、偏微分方程等研究，E-mail：20-030@gduf.edu.cn.