陣元等功率約束下的MIMO雷達發射加權矩陣優化算法

黃中瑞 史英春 唐 波 秦立龍

(國防科技大學電子對抗學院 合肥 230037)

1 引言

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達是近年來提出的一種新體制雷達[1,2]，與傳統相控陣雷達相比，在許多方面具有更加優越的性能，因而引起了眾多信號處理學者的廣泛關注。根據陣元部署位置的不同，MIMO雷達可以分為統計MIMO雷達[3]和相干MIMO雷達[4]。相干MIMO雷達根據收發陣列配置的距離又可分為單基地MIMO雷達[5]和雙基地MIMO雷達[6]。本文主要以雙基地MIMO雷達為對象進行研究。

在MIMO雷達眾多的研究領域中，波形設計[7,8]是非常重要的一個研究方向，同時也是開展參數估計、目標檢測等研究的基礎。根據應用場合的不同，發射波形設計準則也相差較大，目前常用的優化準則有：基于信息論的發射波形設計[9]、基于最大化輸出信干噪比的發射波形設計[10]、MIMO雷達正交波形設計[11]以及基于期望方向圖匹配的發射波形設計[12]等。

傳統MIMO雷達通常發射理想正交波形，因而其發射功率為各向等值分布，在已知目標分布空域(可以利用先驗信息進行預估)時，會造成發射功率在旁瓣空域的損失，制約目標參數估計性能的提升。因此，如何根據目標分布空域信息，設計合適的發射方向圖使發射功率更多地聚焦在目標空域是一個關鍵問題。文獻[13]研究了發射方向圖匹配下的MIMO雷達協方差矩陣設計問題，建立了陣元等功率約束下的協方差矩陣優化模型，并基于半正定規劃算法給出了全局最優解。文獻[14]在文獻[13]的基礎上，進一步研究了協方差矩陣匹配下的發射波形合成問題。考慮到發射波形的恒模特性，原問題具有高度的非凸特性，一般優化方法難以對其進行有效求解。文獻[14]利用循環算法(Cyclic Algorithm,CA)對發射波形和輔助半正交矩陣進行聯合優化，由于每步優化都是求解兩個獨立的閉式解問題，因而其計算效率得到了較大的改善。

上述文獻雖然能夠使發射功率在期望空域進行聚焦，但是波形間的相關性使得合成導向矢量產生了畸變，因而不利于采用高效子空間類算法估計目標的參數(特別是目標的發射角度)。為了解決上述問題，文獻[15]研究了基于發射加權矩陣優化的MIMO雷達角度估計算法。通過對正交基波形進行加權使合成信號在期望空域能夠滿足所需的相關特性，在接收端利用正交基波形進行匹配濾波，從而獲取目標回波的相位信息，并基于特定的算法實現了目標角度的快速估計。但文獻[15]的缺點是發射陣元的功率不滿足均勻特性，造成了發射功率利用率的下降。文獻[16]在文獻[15]的基礎上，進一步提出了一種基于接收角自由搜索的發射加權矩陣設計方法，該方法不僅滿足陣元的等功率特性，而且能夠使合成導向矢量具有理想的旋轉不變特性，但該方法的缺點是：要求陣元數目為偶數，而且不便于擴展到雙基地MIMO雷達的參數估計中。文獻[17]在文獻[15]的基礎上，將算法推廣到了雙基地MIMO雷達中，文獻[18]進一步研究了陣元等功率約束下的雙基地MIMO雷達發射加權矩陣優化問題，并利用序列錐規劃方法對發射加權矩陣其進行了求解，在提高目標角度估計性能的基礎上，也同步改善了陣元發射功率的利用率。但該方法最大缺點是計算復雜度非常大，不利于實際工程的應用。

鑒于此，本文基于PDR(Projection Descent and Retraction)算法提出一種新的發射加權矩陣設計方法。該方法基于循環迭代思想構建了發射加權矩陣和尺度因子的聯合優化模型。其中，尺度因子的求解是一個無約束問題，可以方便地得到閉式解；發射加權矩陣的求解通過梯度計算、投影、縮放等運算，同樣可以簡化為一個閉式解問題，因此該方法的計算復雜度非常低。為保證所提方法的性能，從理論上證明了其收斂特性。最后，分別從發射方向圖合成和目標角度估計性能兩個方面進行仿真分析，驗證了本文算法的有效性。

2 MIMO雷達發射加權矩陣優化模型

考慮一雙基地MIMO雷達，收發陣列為均勻線性陣列，陣元數目分別為MT和MR，陣元間距為半波長。傳統MIMO雷達的發射功率在空間為等功率全向輻射，在已知目標分布空域的前提下，發射功率分散會制約目標處接收信號功率的提高，從而惡化接收端信號的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)。為了同時獲得發射功率聚焦和波形分集增益兩種優勢，本文在傳統MIMO雷達模型的基礎上，考慮發射加權網絡優化問題，具體結構如圖1所示。

圖1 發射加權網絡結構示意圖

令y(t)=[y1(t),y2(t),...,yK(t)]T為K個發射基波形，相互之間滿足理想正交特性，即

3 MIMO雷達發射加權矩陣優化

3.1 算法描述

這是一個恒模約束下的2次優化問題，目前已經有ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)算法、MM(Majorization Minimization)算法、SCF(Successive Closed Forms)算法以及傳統PDR算法等都可對其進行快速求解。約束w恒模雖然能夠滿足發射陣元的等功率輻射特性，但也會造成搜索可行域的減小，從而惡化發射方向圖性能。鑒于此，本文主要考慮陣元等功率約束下的發射加權矩陣求解問題，并采用改進PDR算法對其進行解決(在不引起混淆的情況下，本文仍將其簡稱為PDR算法)。

為了保證后續計算的有效性，構造式(9)的等價優化模型為

圖2 PDR算法示意圖

式(16)得到的優化變量并不滿足陣元等功率約束條件，因此，需要對其進行縮放操作，具體為

結合上述分析，可以給出基于改進PDR算法的MIMO雷達發射加權矩陣優化如表1所示。

表1 所提算法的具體流程

3.2 收斂性分析

由于優化模型式(9)是一個非凸問題，在理論上無法保證獲得全局最優解，因此，本文退而求其次，在3.1節給出了一個求解局部最優解的方法，為了說明本文方法的有效性，需要對所提方法的局部收斂性進行證明，下面對此進行詳細分析。

對式(17)進行變換可得

式(30)表明，所提方法的外循環同樣滿足收斂性條件。綜上，本文所提算法的收斂性是可以得到保證的。

3.3 計算復雜度分析

4 仿真分析

考慮某一雙基地MIMO雷達，其收發陣列均均勻線性陣列，陣元間距為半波長，發射陣元數目為MT=10 ，接收陣元數目MR=10，發射基波形數目K=6。分別考慮下述實驗。

4.1 發射方向圖性能分析

假設感興趣空域為[?10?,10?]，空間有兩個目標，發 射 角 為 [?3?,3?] ，接 收 角 為[?5?,5?] ，SNR=?10 dB 。期望空域的導向矢量為a?n=[1,e?j2πsinθ,e?j3πsinθ,e?j4πsinθ,e?j6πsinθ,e?j9πsinθ]T，加 權 系 數w′=[1,1,...,1]T，發射波形向量(矩陣)的初始值隨機產生，內外循環迭代終止條件均為：目標函數的歸一化增量小于 10?10。為說明所提方法的有效性，將文獻[13,17,18]的算法作為比較對象，并從方向圖綜合性能以及算法執行時間兩個方面進行考量。所有的程序均在相同的個人計算機上運行，具體配置參數為：Intel(R) Core(TM)i5-9400 CPU@2.9 GHz處理器，16 GB內存，64位操作系統。圖3給出了不同方法優化得到的發射方向圖。

從圖3可以看出，4種方法均能在期望空域實現發射功率聚焦。相對傳統MIMO雷達，目標處的信號功率提高了約5 dB，為后續目標角度估計奠定了有利基礎。通過比較不同的算法可以發現，文獻[13]和文獻[17]的算法性能較優，這是因為文獻[13]僅僅優化了發射加權矩陣的協方差矩陣，并沒有附加相應的秩約束，因此優化變量的自由度更高，但該方法需要利用二次優化才能得到滿足實際需求的發射加權矩陣。文獻[17]僅僅考慮了方向圖的性能優化，沒有考慮陣元的等功率約束，其優化變量的自由度也相對較大。本文方法與文獻[18]優化所得方向圖的性能相當，本文方法優化得到的方向圖具有更低的旁瓣電平，但是其主瓣波動相對文獻[18]更大。另外，與文獻算法相比，本文方法的最大優勢在于其計算復雜度比較低，在仿真條件相同時，所需計算時間比文獻方法低了約兩個數量級，具體見表2。

圖3 不同算法得到的發射方向圖

從表2可以看出，本文方法的計算時間相對其他方法非常短，為在線設計發射方向圖提供了有利條件。文獻[18]的計算時間比文獻[13]和文獻[17]要略大一些，主要原因是文獻[18]的優化模型相對更加復雜。

表2 不同方法所需的運算時間

圖4給出了不同方法得到的發射陣元功率分布圖。從中可以發現，由于優化模型沒有對陣元的發射功率進行約束，所以文獻[17]得到的陣元發射功率差異性較大，在實際工程中適用性將會大打折扣。文獻[18]雖然也能近似滿足發射陣元的等功率約束，但是需要合理設置每個陣元發射功率的門限上界，這在實際中需要經過不斷的調試才能獲得，因此其應用靈活性不足。綜上分析，本文方法在基于發射加權矩陣優化的方向圖設計上具有綜合的最優性能。

圖4 不同陣元的歸一化發射功率

圖5和圖6給出了采用2維MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)算法得到的空間角度估計圖，從中可以看出，在總發射功率一定時，本文方法獲得空間譜的峰值在目標處的幅度更大而且形狀更為尖銳，這表明本文方法的角度估計性能優于傳統MIMO雷達。主要原因是：通過優化發射加權矩陣實現了發射功率在目標空域的聚焦，增大了接收數據的SNR。但是2維MUSIC算法需要在2維空間進行搜索才能完成目標的角度估計，計算復雜度較大，難以在工程中得到應用。由于本文方法在優化發射加權矩陣時，考慮到了合成導向矢量的相位控制，因此可以采用平行因子(PARAllel FACtor，PARAFAC)算法實現目標角度的快速估計，詳見4.2節。

圖5 傳統MIMO雷達的空間譜

圖6 本文方法得到的空間譜

4.2 角度估計性能分析

為了進一步驗證本文方法在目標角度估計方面的性能，本部分采用PARAFAC算法(詳見文獻[18])來快速估計目標角度。為提高目標角度估計性能，令感興趣空域的加權系數為1000，其余空域的加權系數為1，發射 SNR=?5 dB，蒙特卡羅次數為200，其余仿真條件不變。

圖7和圖8分別給出了本文方法和傳統MIMO雷達估計得到的目標角度星座圖。從中可以發現，本文方法獲得的星座圖更為集中，而且離目標真實角度的距離更近。這說明發射功率聚焦使得目標角度的估計性能有了明顯提升。為進一步說明本文方法在目標角度估計方面的優勢，下面對角度估計均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE，具體定義見文獻[17,18])隨SNR的變化規律進行分析。

圖7 本文方法的角度估計星座圖

圖8 傳統MIMO雷達的角度估計星座圖

圖9分別給出了空間兩個目標發射角和接收角RMSE隨SNR的變化關系。從中可以發現，本文方法的估計性能均優于傳統MIMO雷達，特別是對于接收角而言，這是因為本文方法同時利用了功率聚焦和波形分集兩種優勢。對于發射角，在低SNR時，本文方法優于傳統MIMO雷達，但在高SNR時，兩者性能相差較小，甚至會出現本文算法性能差于傳統MIMO雷達的現象，這是因為本文方法是對理想期望導向矢量進行逼近，存在固定的匹配誤差，在高SNR下，該匹配誤差大于噪聲對目標角度估計的影響。但如果從克拉美-羅奧界(Cramer-Rao Bound, CRB)的性能進行比較，本文方法仍然優于傳統MIMO雷達。因此，在簡化發射加權矩陣優化的同時，如何保持合成導向矢量元素間的理想等比特性，仍需開展更加深入的研究。

圖9 目標的角度估計性能

5 結束語

針對傳統MIMO雷達發射功率分散致使感興趣空域內目標角度估計性能惡化的問題，本文提出了一種高效的發射加權矩陣優化方法。該方法首先建立了發射加權矩陣和尺度因子的聯合優化模型，然后采用循環優化策略和改進PDR算法對其進行解決，由于每次迭代均能獲得相應的閉式解，因此算法的計算復雜度較低，相比現有方法降低了約兩個數量級。另外，合理設計發射加權矩陣，能夠同時獲得發功率聚焦和波形分集兩種優勢，從而有效改善MIMO雷達的目標角度估計性能，特別是在低SNR時更為明顯。最后，仿真分析分別從發射方向圖合成和目標角度估計性能兩個方面驗證了本文方法的有效性。

由于所提方法對期望導向矢量逼近時，仍然存在固定的匹配誤差，該誤差在高SNR下對角度估計性能的影響高于噪聲所產生的影響。因此，在快速設計發射加權矩陣的同時，如何保證合成導向矢量各元素之間(對任意角度)具備理想的等比特性，是一個重要的研究方向。