“構造輔助圓”在初中數學解題中的應用

劉懷權

【摘要】在初中數學解題中，學生們經常會遇到復雜的問題，無法將問題準確解答得出.“圓”作為初中數學教學中的重要知識，教師可以引導學生構建適當輔助圓使得數學問題簡單化，促使學生們能夠快速解決復雜的問題.本文將從“求線段長度問題”、“求三角形度數問題”、“求三角形相似性問題”三個方面談一談“構造輔助圓”在初中數學解題中的有效應用，期望初中生們能夠在數學解題過程中巧妙構建輔助圓進行解題.

【關鍵詞】數學解題;構造輔助圓;圓

1 在求線段長度問題中構建輔助圓

在初中數學解題教學中，教師們還可以引導學生在求解線段長度的數學問題中運用構建輔助圓的方式對問題進行簡化，其構造輔助圓的方法主要是利用共同端點的幾條線段相等的條件，以端點為圓心、等線段的長作為半徑.最后，再利用圓形的性質對線段長度的問題進行求解.

例1 如圖1所示，已知四邊形ABCD中AB∥CD，AB=AC=AD=5，且BC= 19，求線段BD的長度.

解析 根據題意可知A點為公共點，教師們可以引導學生在本例題中將A點作為圓心，又因為AB=AC=AD，所以可以將AB、AC、AD作為圓的半徑，使得B、C、D都在圓A上.然后再延長BA交圓與AE，連接ED.

已知AB∥CD，所以∠BDC≡∠DBE，

根據同圓或等圓中相等的圓周角所對應的弧是相等的，

因此可以知道ED與BC的弧長是相等的，

從而得到ED=BC= 19.

又根據作圖可得：EB為圓A的直徑，所以可以知道∠EDB=90°，

又因為BE=2AB=10，

所以可以得到BD= BE2-DE2

= 102- 192=9.

所以，通過解析過程可以明確線段BD的長度為9.

2 在求三角形度數問題中構建輔助圓

除了求解線段長度的問題以外，在求解三角形度數的問題中也可以通過構建輔助圓的方式進行解題.

在這個問題的解答過程中，教師們需要引導學生將公共頂點作為頂點，然后作三角形的外接圓，在這個過程中需要使得等角與輔助圓中有關角之間建立聯系，從而有效對問題進行解決.

例2 如圖2所示，已知△ABC中AB=AC，∠ABC的平分線交AC于點D.已知BD+AD=BC，求∠A的度數.

解析 由題目已知BD為∠ABC的角平分線，因此可以得到∠ABD=∠DBC=12∠ABC.

作ABD的外接圓，其中圓與BC相交于點E，連接DE.

因為固定相等的圓周角所對應的弧相等這一特性可以得到與所對應的弧長AD=DE相等.

如圖所示，可以知道輔助圓為四邊形ABDE的外接圓，因此，可以明確∠ABC、∠EDC和∠C三個角度是相等的，從而得到2∠C=∠DEB.

又由題可知BD+AD=BC=BE+EC，

因為AD=DE=EC，

所以可以得到BE=BD.

所以∠DEB=∠BDE=2∠C.

在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°.

所以可以得到4∠C+12∠C=180°，

因此，可以得到∠C=40°，

即∠ABC=∠C=40°.

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，

因此，可以得到∠A=100°.

所以，該例題中需要求解的∠A度數為100°.

3 在求三角形相似性問題中構建輔助圓

三角形的相關知識在初中數學教學內容中的占比是比較大的，是學生學習的重點與難點.

對于一些較為復雜的三角形相似性的求證問題中，很難用常規的方法將其證明.

構造輔助圓的方法可以使得學生們借助圓的相關特性提供一些證明條件，促使學生們能夠準確對三角形的相似性問題進行證明，這有利于提高學生解題的能力.

例3 如圖3所示，已知在△ABC中AB=AC=BC，且AD=AB=BC，同時AH⊥CD，PC⊥BC.交AH與點P.

求證△ABC的面積為 34AP·BD.

解析 如圖3所示，以△ABC中的點A為圓心、AB為半徑作圓，點B、C、D都在圓A上，因此可以得到∠BDC=12∠BAC，

因為△ABC中AB=AC=BC，

所以∠BDC=12∠BAC=30°.

又因為∠ACP=∠BCP-∠ACB=30°，

所以∠PCA=∠CDB.

因為∠CBD=12∠CAD=∠PAC.

所以可以得到△BDC與△ACP為相似三角形，從而可以得到BC∶AP=BD∶AC.

又因為BC=AC，

因此可以得到BC2=AP·BD，

所以△ABC的面積為 34AP·BD.

綜上所述，在初中數學解題教學中，教師們應當培養學生解題思路，“圓”作為數學知識中最為基本的平面圖形，在數學解題過程中具有重要意義.

構建輔助圓的方式能夠很好地簡化復雜的問題，促使學生們能夠準確抓住問題的核心，進而有效提高學生數學學習效率.